Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

22 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
Deci Ui se determină până la o constantă multiplicativă:
pi(t) = Ai
w(t) U(i)
i (t)
ConstantaAi se poate determina impunând condit¸ii suplimentare, de exemplu
ortonormalitate b
w(t)p 2 i(t)dt = 1
a
pn(x) = (x−2n)pn−1(x)−µnpn−2(x)
µn =
pn−1 2
pn−22, λn = 〈xpn−1,pn−1〉
pn−12 Problema 2.4.2 Polinoamele Cebîs¸ev de spet¸a I
Stabilit¸i proprietăt¸ile următoare:
Tn(x) = cosnarccosx
Tn+1(x)−2xTn(x)+Tn−1(x) = 0 (2.19)
Tn(Tn(x)) = Tnm(x) = Tm(Tn(x)) (2.20)
Tn(2x 2 −1) = 2Tn(x) 2 −1 (2.21)
Tn(x)Tm(x) = 1
2 (Tn+m(x)+Tm−n(x)), dacă m ≥ n (2.22)
Tn(x)dx = 1
Tn+1(x) Tn−1(x)
− , dacă n > 1 (2.23)
2 n+1 n−1
Tn(x) = 1
2 (Qn(x)−Qn−2(x)) dacă Qn(x) = sin(n+1)θ
;
sinθ
(2.24)
cu x = cosθ (polinom Cebîs¸ev de spet¸a a II-a)
2 n−1 x n =
n
Tn−2k(x), n ≥ 1
k
(2.25)
∞
t n Tn(x) =
m=0
∞
t n Un(x) =
n=0
0≤k≤ n
2
d
dx Tn(x) = nUn−1(x), n ≥ 1 (2.26)
1−xt
1−2xt+t 2,
pentru |t| < 1 (funct¸ia generatoare) (2.27)
1
1−2xt+t 2, pentru |t| < 1, |x| < 1 (2.28)