Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

2.4. Polinoame ortogonale 21
∞
−∞
e −t2
0, m = n
hn(t)hn(t) =
2nn! √ π, m = n
hn(t) = (−1) n dn t2
e
dtn(e−t2), t ∈ R
hn+1(t) = 2thn(t)−2nhn−1(t)
h0(t) = 1, h1(t) = 2t
Proprietăt¸i ale polinoamelor ortogonale
P1. Rădăcini reale, distincte, situate în(a,b).
P2. Relat¸ia de recurent¸ă dată de ecuat¸iile (2.14), (2.15) s¸i (2.16).
P3. pn ⊥ Pn−1, pn = minp
p∈Pn
P4. Caracterizarea cu ajutorul ecuat¸iilor diferent¸iale.
Fie Pn = {p0,...,pn} o mult¸ime de polinoame ortogonale pe intervalul[a,b]
în raport cu pondereaw.
Avem
b
a
w(t)pi(t)t k dt = 0, i = 1,...,n, k = 0,...,i−1. (2.17)
Se consideră funct¸iaUi astfel încât
Din (2.17) se obt¸ine
b
Se integrează dek+1 ori prin părt¸i
a
w(t)pi(t) = U (i)
i (t), i = 1,n
U (i)
i (t)tk dt = 0, k = 0,...,i−1
[U (i−1)
i (t)t k −kU (i−2)
i (t)t k−1 +···+(−1) k k!U (i−k−1)
i (t)] b c
pentruk = 0,1,...,i−1condit¸ii satisfăcute dacă
Întrucât 1
diferent¸iale
w U(i)
U (i−1)
i (a) = U (i−2)
i (a) = ··· = Ui(a) = 0
U (i−1)
i (b) = U (i−2)
i (b) = ··· = Ui(b) = 0
= 0
(2.18)
i = pi ∈ Pi, funct¸ia Ui poate fi obt¸inută ca solut¸ie a ecuat¸iei
d i+1
dt i+1
1
w(t) U(i) i (t)
= 0
de ordinul2i+1 cu condit¸iile la limită (2.18).