Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

20 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
2.4.2 Exemple de polinoame ortogonale
I. Polinoamele lui Cebîs¸ev de spet¸a I
Tn(t) = cos(narccost), t ∈ [−1,1]
Ele sunt ortogonale pe[−1,1] în raport cu pondereaw(t) = 1
√ 1−t 2 .
1
−1
Are loc relat¸ia de recurent¸ă
II. Polinoamele lui Hermite
∞
−∞
⎧
Tm(t)Tn(t)
⎨
√ dt =
1−t 2 ⎩
0, m = n
π,
m = n = 0 2
π, m = n = 0
Tn+1(t) = 2tTn(t)−Tn−1(t)
T0(t) = 1, T1(t) = t
hn(t) = (−1) n dn
t2
e
dtn(e−t2), t ∈ R
a = −∞, b = ∞, w(t) = e −t
e −t2
hm(t)hn(t)dt =
III. Polinoamele lui Laguerre
∞
IV. Polinoamele lui Hermite
0
0, m = n
2 n n! √ π, m = n
hn+1(t) = 2thn(t)−2nhn−1(t)
h0(t) = 1, h1(t) = 2t
gn(t) = et d
n!
n
dtn(tn e −t )
a = 0, b = ∞, w(t) = e −t
e −t
0, m = n
gm(t)gn(t)dt =
1, m = n
gn+1(t) = 2n+1−t
gn(t)−ngn−1(t)
n+1
g0(t) = 1, g1(t) = 1−t
w(t) = e −t2
pe R (a = −∞, b = ∞)