Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

2.4. Polinoame ortogonale 19
face uz de proprietăt¸ile algebrice ale polinoamelor s¸i este sensibil la erorile de rotunjire.
Fie {Q0,Q1,...,Qn−1} o familie ortonormală de polinoame, astfel încât gradul
luiQi să fieis¸i fieQ n ⊥ Qi, i = 0,n−1.
Să considerăm polinomul
Q n(x)−αxQn−1(x)
Pentru o alegere convenabilă a lui α = 0, acest polinom are gradul ≤ n−1,
deci
n−1
Qn −αxQn−1 =
i=0
αiQi
Dacă 〈Q n,Qi〉 > 0 pentru oricei = 0,n−1 trebuie să avem
0 = 〈Q n,Qn−1〉 = α〈xQn−1,Qn−1〉+αn−1
(2.13)
0 = 〈Q n,Qn−2〉 = α〈xQn−1,Qn−2〉+αn−2
Putem alege α = 1, deoarece înmult¸irea cu o constantă nu afectează ortogonalitatea.
Deci αn−1 s¸i αn−2 se pot obt¸ine din ecuat¸iile de mai sus. Aplicând
rat¸ionamente similare lui Qi pentru i < n−2 obt¸inem αi = 0 pentru i < n−2.
Aceasta sugerează următoarea formulă de recurent¸ă pentru calculul lui Q n:
s¸i
Q n(x) = (x+an)Qn−1(x)+bnQn−2(x), n ≥ 2 (2.14)
Qn = Q n
Qn
an = −〈xQn−1,Qn−1〉 (2.15)
bn = −〈xQn−1,Qn−2〉 (2.16)
Se verifică că pentru an s¸i bn astfel determinate avem 〈Q n,Qi〉 = 0, i =
0,n−2 s¸i căQ n cu an s¸ibn determinate de (2.15) s¸i (2.16) este unic determinat.
Deci (2.14) ne dă o formulă de recurent¸ă pentru calculul polinoamelor ortogonale
(ortonormale) în L 2 w [a,b]. Vom începe punând Q0 = b0, unde b0 este o
constantă astfe încât Q0 = 1 s¸i luăm Q 1 = (x+a1)Q0. Din
se determină
s¸i se continuă.
〈Q 1,Q0〉 = 〈xQ0,Q0〉+a1 = 0
a1 = −〈xQ0,Q0〉
Exemplul 2.4.1 Pentru polinoamele Cebîs¸ev I aplicând (2.14)-(2.16) se obt¸ine
Tn(x) = 2xTn−1(x)−Tn−2(x).