Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

18 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
Problema 2.3.9 Fief(x) = x 2 . Se cere seria sa Fourier pe[−π,π].
Solut¸ie.
Pentru x = π
an = 1
π
π −π
π
x
0
2 cosnxdx = x2nknx π
x 2 cosnxdx = 2
x
π 0
2 cosnxdx
n
π
−
0
2
π
xnknxdx =
n 0
= − 2
−x
n
cosnx
n
π
+
0
1
π
cosnxdx =
n 0
= − 2
−π
n
cosnπ 1sinnx
+
n n n
π
=
0
2π 2π
cosnπ =
n2 n2(−1)n a0 = 1
π
n
k=1
π
−π
1 π2
=
n2 6 .
x 2 dx = 2
π
x 2 = π3
3 +4
π
0
∞
n=1
x 2 dx = 2 π
π
3
3
(−1) ncosnx
n 2
Problema 2.3.10 Dezvoltat¸if(x) = x pe[−π,π] s¸i[0,2π].
Solut¸ie.
bn = 2
π
π
0
xsinnx = 2
π
⇒ x = 2
−x cosnx
n
∞
n=1
2.4 Polinoame ortogonale
π
0
= 2
3 π2
+ 1
π
cosnxdx =
4 0
2(−1)n+1
n
(−1) n−1sinnx
n
2.4.1 Calculul polinoamelor ortogonale
Se poate da o metodă generală de construire a unei familii de polinoame ortogonale
în raport cu orice funct¸ie pondere pe un interval finit [a,b] sau pe o mult¸ime
finită de puncte (în cazul unei mult¸imi finite, familia va fi de asemenea finită). Se
poate aplica procedeul Gramm-Schmidt mult¸imii{1,x,x 2 ,...}, dar procedeul nu