Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

2.3. Serii Fourier 17
Spunem că sistemul ortonormal{xk} este închis dacă ecuat¸ia de închidere este
verificată pentru oricex ∈ H.
Corolar 2.3.6 {xk} închis ⇔ {xk} complet.
Demonstrat¸ie. Teorema 2 ⇒ ecuat¸ia de închidere are loc ∀ x ∈ H0, deci
închiderea este echivalentă cu H0 = H, adică completitudinea.
Exemplul 2.3.7 Să se determine seria Fourier trigonometrică pentru funct¸ia:
Solut¸ie. Funct¸iile de bază sunt
iar coeficient¸ii
f(x) = |x|, −π < x < π
x0 = 1
√ 2π ,...,xk = 1
√ π coskx, yk = 1
√ π sinkx,...,
ak = 1
π
√
π −π
π
bk = 1
√ π
−π
π
a0 =
−π
π
ak = 1
√
π
bk = 1
√
π
f(x) 1
√ dx =
2π
−π
π
−π
f(x)coskxdx,
f(x)sinkxdx,
√ 2π 2
2 √ π ,
|x|coskxdx = 2
π
√ xcoskx =
π 0
2
√ [(−1)
πk k −1],
|x|sinkxdx = 0.
sn(x) = π 2
+
2 π
n
k=1
(−1) k −1
k 2
coskx.
Observat¸ia 2.3.8 Seria Fourier trigonometrică pe[−l,l] are expresia:
sn = a0
2 +
akcos nπx nπx
+bksin ,
l l
iar coeficient¸ii sunt dat¸i de formulele
ak = 1
l
l
−l
f(x)cos nπx
l dx,
bk = 1
l
f(x)sin
l −l
nπx
l dx.