Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

16 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
Pe de altă parte
x 2 = sn 2 +x−sn 2 ≥ sn 2
sn 2 =
Corolar 2.3.3 (Inegalitatea lui Bessel)
n
k=1
Trecând la limită pentru n → ∞
∞
k=1
n
|ak| 2
k=1
|ak| 2 ≤ x 2 .
|ak| 2 ≤ x 2
(2.10)
(2.11)
(2.12)
Dacă în (2.12) are loc egalitate pentru x ∈ X spunem că este verificată egalitatea
lui Parseval sau ecuat¸ia de închidere.
Teorema 2.3.4 Seria Fourier a oricărui element x ∈ H converge întotdeauna s¸i
suma sa este proiect¸ia lui H pe H0 = L({xk}). Pentru ca suma seriei Fourier să
fie egală cu un element dat x, este necesar s¸i suficient ca ecuat¸ia de închidere să
fie verificată pentru acel element.
Demonstrat¸ie. (2.12) ⇒ n
k=1 |ak| 2 convergentă. Pentru sumele part¸iale se
obt¸ine
sn+p −sn 2 =
n+p
k=n+1
|ak| 2 n→∞
−→ 0 ⇒ convergent¸a seriei Fourier
Fie s = ∞ k=1akxk. Deoarece s ∈ H0 s¸i x = s + x − s putem arăta ca în
demonstrat¸ia teoremei 2.3.1 că x − s ⊥ H0. T¸ inând cont de (2.11), (2.10) se
rescrie
n
|ak| 2 ⇒ concluzia.
x−sn 2 = x 2 −
k=1
Dacă {xk} este complet, H0 = H s¸i ∀ x ∈ H proiect¸ia lui x pe H0 coincide
cu X.
Corolar 2.3.5 Dacă {xk} este complet∀x ∈ H seria sa Fourier converge la x.