Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

2.3. Serii Fourier 15
Solut¸ie. X ∗ spat¸iu Banach. Să arătăm că norma este indusă de un produs scalar.
f,g ∈ X ∗ ⇒ ∃ x,y ∈ X astfel încât f(u) = 〈u,x〉,g(u) = 〈u,y〉, ∀ u ∈ X
Fie 〈f,g〉 = 〈y,x〉. Să arătăm că aplicat¸ia astfel definită verifică axiomele produsului
scalar.
〈f,f〉 = x 2 = f 2 ≥ 0
Fief ′ (u) = 〈u,x ′ 〉
〈f,g〉 ? = 〈g,f〉
(f +f ′ )(u) = f(u)+f ′ (u) = 〈u,x〉+〈u,x ′ 〉 = 〈u,x+x ′ 〉
〈f +f ′ ,g〉 = 〈y,x+x ′ 〉 = 〈y,x〉+〈y,x ′ 〉 = 〈f,g〉+〈f ′ ,g〉
2.3 Serii Fourier
(λf)(u) = λf(u) = 〈λu,x〉 = 〈u,λx〉
〈λf,g〉 = 〈y,λx〉 = λ〈y,x〉 = λ〈f,g〉
Fie un sistem ortonormal {xk} într-un spat¸iu Hilbert (H,〈·,·〉) s¸i x ∈ H. Numerele
ak = 〈x,xk〉, k ∈ N
se numesc coeficient¸i Fourier ai elementului x în raport cu sistemul considerat,
iar seria
∞
k=1
akxk
seria Fourier a elementuluix.
Considerăm subspat¸iulHn = L({x1,...,xn}).
Avem
Teorema 2.3.1 Suma part¸ialăsn = n
k=1 akxk a seriei Fourier a unui elementx
este proiect¸ia acelui element pe subspat¸iulHn.
Demonstrat¸ie. x = sn +(x−sn) s¸i pentru sn ∈ Hn este suficient să arătăm
căx−sn ⊥ Hn. x−sn ⊥ xk (x ⊥ E ⇒ x ⊥ L(E)) ⇒ x−sn ⊥ Hn.
Corolar 2.3.2 Pentru orice element
n
z =
avem
k=1
αkxk ∈ Hn
x−sn = d(x,Hn) ≤ x−z