Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

14 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
Teorema 2.2.2 (Riesz) Pentru orice funct¸ională liniară s¸i continuă, definită pe
spat¸iul HilbertH,∃! y ∈ H astfel încât ∀x ∈ H,f(x) = 〈x,y〉 s¸i
f = y. (2.9)
Demonstrat¸ie. Fie H0 = {x ∈ H : f(x) = 0} = Kerf, f liniară s¸i continuă
⇒ H0 închis Dacă H0 = H ⇒ y = 0. Presupunem că H0 = H. Fie y0 ∈ H0.
Scriem y0 sub forma y0 = y ′ + y ′′ (y ′ ∈ H0, y ′′ ⊥ H0) Evident y ′′ = 0 s¸i
f(y ′′ ) = 0. Putem luaf(y ′′ ) = 1.
Observat¸ia 2.2.3 f(y0) = f(y ′ )
0
+f(y ′′ ) = f(y ′′ )
Putem lua f(y ′′ ) = 1. Să luăm x ∈ H s¸i punem f(x) = α. Elementul x ′ =
x−αy ′′ ∈ H0 căci
Deci
astfel încât
s¸i deci putem lua y =
f(x ′ ) = f(x)−αf(y ′′ ) = α−α = 0
〈x,y ′′ 〉 = 〈x ′ +αy ′′ ,y ′′ 〉 = α〈y ′′ ,y ′′ 〉+〈x ′ ,y ′′ 〉
f(x) = α =
y
x,
′′
〈y ′′ ,y ′′
〉
y ′′
〈y ′′ ,y ′′ 〉 . Unicitatea 〈x,y〉 = 〈x,y1〉 ⇒ 〈x,y −y1〉 = 0
deci y −y1 ⊥ H, posibil doar dacăy = y1. Pe de altă parte
Cazuri particulare.
f ≥ f
y
=
y
〈y,y〉
= y.
y
L2 [a,b] f(x) = 〈x,y〉 = b
a x(t)y(t)dt
l2 f(x) = 〈x,y〉 = ∞ k=1ξkη k
Rn f(x) = 〈x,y〉 = n k=1ξkη k
Problema 2.2.4 Să se arate că dualul unui spat¸iu Hilbert este tot un spat¸iu Hilbert.