Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

2.2. Spat¸ii Hilbert 13
gn → 0 în ·1 s¸i · dar nu are limită în · ′ . f1 ≤ f ≤ f ′ , dar ele nu
sunt echivalente.
Problema 2.1.15 FiePspat¸iul liniar al polinoamelor cu coeficient¸i reali.
a) P(X) = a0 +a1X + ···+ anXn , atunci p(P) = |a0|+···+|an| este o
normă pePs¸ip(P1P2) ≤ p(P1)p(P2).
b) Aplicat¸ia ϕ : P → P, ϕ(P) = P ′ este o aplicat¸ie liniară care nu este
continuă fat¸ă de norma P .
c) Fie p1(P) = sup |P(x)|. Să se arate că p1 este o normă dar p s¸i p1 nu
x∈[−1,1]
sunt echivalente.
Solut¸ie. a)
(PQ)(x) = a0b0 +(a0b1 +a1b0)X +···+anbmX n+m
p(PQ) =
n+m
k=0
k
i=0
aibk−1
≤
n,m
i,j=0
|aibj| = p(P)p(Q)
b)Pn(x) = n−1Xn p(Pn) = n−1 Pn → 0 (înp) p(P ′ n ) = 1 P′ n 0
c) Se arată us¸or că p1(P) ≤ p(P) Presupunem că există C ≥ 0 astfel încât
p(P) ≤ Cp1(P), ∀p ∈ P . FiePn(x) = (n+1) −1 (1−x2 +x4 −···+(−1) nx2n )
p(Pn) = 1 Pn(x) = (n+1) −11+(−1)n x2n+2 1+x 2
n+1
P(p) = 2n+1
n+1
(P,·) este o algebră normată.
2.2 Spat¸ii Hilbert
2.2.1 Funct¸ionale liniare în spat¸ii Hilbert
p1(Pn) = (n+1) −1 ⇒ C ≥
Problema 2.2.1 Expresia generală a unei funct¸ionale liniare într-un spat¸iu Hilbert.
Solut¸ie. (H,〈·,·〉) spat¸iu Hilbert. Pentru y fixat 〈x,y〉 este o funct¸ională liniară,
continuă. Fie
f(x) = 〈x,y〉 (2.7)
|f(x)| = |〈x,y〉| ≤ xy ⇒ f ≤ y (2.8)
Să arătăm că funct¸ionalele de forma (2.7) sunt singurele din H s¸i că în (2.8)
are loc egalitatea.