Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

165
Să aplicăm acum pentru aceeas¸i problemă metoda Runge-Kutta de ordinul IV.
y0 = α = y(a)
k1 = hf(xi,yi)
k2 = kf xi + h
2 ,yi + 1
2 k1
k3 = hf xi + h
2 ,yi + 1
2 k2
k4 = hf(xi +h,yi +k3), τ ∈ O(h 4 )
yi+1 = yi + 1
6 (k1 +2k2 +2k3 +k4)
xi val.exactă yi eu
0 1.0 1.0 0
0.1 1.0048374180 1.0048375000 8.1·15 −8
0.2 1.0187307531 1.0187309014 1.483·10 −7
0.3 1.0408
Problema 11.0.5 Aproximat¸i solut¸ia ecuat¸iei
y ′ = −y +1
y(0) = 0
folosind:
a) metoda Euler cu h = 0.025;
b) metoda Euler modificată cu h = 0.05;
c) metoda Runge-Kutta cu h = 0.1.
Comparat¸i rezultatele celor 3 metode în punctele 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 între
ele s¸i cu valoarea exactă.
Solut¸ie. y0 = α
yi+1 = yi + h
2 [f(xi,yi)+f(xi+1,yi +hf(xi,yi))]
x Euler Euler mod. RK4 val.exactă
0.1 0.096312 0.095123 0.0951620 0.095162582
0.2 0.183348 0.181198 0.18126910 0.181269247
0.3 0.262001 0.259085 0.25918158 0.259181779
0.4 0.333079 0.329563 0.32967971 0.329679954
0.5 0.397312 0.393337 0.39346906 0.393469340
Problema 11.0.6 Deducet¸i metode predictor corector de tip Adams de ordinul
2,3,4.