Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

160 Ecuat¸ii neliniare
f(x ∗ +h) = f(n) (x ∗ )h m
m!
(1+O(h))
f ′ (x ∗ +h) = fm (x∗ )hm−1 (1+O(h))
(m−1)!
f(x ∗ +h)
f ′ (x ∗ +h)
s¸i pentru f ′ (x ∗ +h) = 0,
h h
= (1+O(h)) =
m m +O(h2 )
g(x ∗ +h) = x ∗ +h−m
h
m +O(h2
)
g ′ (x ∗ g(x
) = lim
h→0
∗ +h)−g(x ∗ )
h
h−h+mO(h
= lim
h→0
2 )
h
Problema 10.1.10 Deducet¸i formula
=
< 1 convergentă
xi+1 = xi − f(xi)
f ′
1 f(xi)
−
(xi) 2 f ′ 2 ′′ f (xi)
(xi) f(xi)
Solut¸ie. Folosim interpolarea Taylor inversă:
F T m(xi) = xi +
m−1
k=1
(−1) l
k!
[f(xi)] k g (k) (f(xi))
Problema 10.1.11 Stabilit¸i următoarea metodă de aproximare a unei rădăcini
reale a ecuat¸iei f(x) = 0
xk+1 = xk −
f(xk)
[xk−1,xk;f] −
[xk−2,xk−1,xk;f]f(xk−1)f(xk)
[xk−2,xk−1;f][xk−2,xk;f][xk−1,xk;f]
k = 3,4,...
Solut¸ie. Folosim polinomul de interpolare inversă a lui Newton.
g(y) ≈ g(y0)+(y −y0)[y0,y1;g]+(y −y0)(y −y1)[y0,y1,yi;f]
g(0) ≈ g(y0)−y0[y0,y1;g]+y0y1[y0,y1,y2;g] =