Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

10.1. Ecuat¸ii în R 159
Observat¸ia 10.1.7 Numărul de zecimale corecte se dublează la fiecare pas, comparativ
cu numărul original de zecimale corecte.
x0 = √ a(1+δ)
x1 = 1
x0 +
2
a
=
x0
1 √ √ −1
a(1+δ)+ a(1+δ)
2
=
= 1
√ √ 2
a(1+δ +1−δ +δ ) = x 1+
2
δ2
2
b) Folosim metoda secantei
xn+1 = xn − (xn −xn−1)f(xn)
f(xn)−f(xn−1) =
= xn − (xn −xn−1)(x 2 n −a)
x 2 n −x2 n−1
= xn − x2 n −a
xn +xn−1
=
= x2 n +xnxn−1 −x 2 n +a
xn +xn−1
x0 > 0
Problema 10.1.8 La fel pentru rădăcina cubică 3√ x.
yn+1 = 1
2yn +
3
x
y2
n
y0 > 0
Problema 10.1.9 Strict aplicabilitatea metodei lui Newton pentru rădăcini multiple.
Solut¸ie. Fiex ∗ o rădăcină multiplă de ordinulm.
Dorim convergent¸ă de ordinul 2.
g(x) = x−m(f ′ (x)) −1 f(x)
g(x ∗ ) = x ∗
Presupunem căf(x ∗ ) = f ′ (x ∗ ) = ··· = f (m−1) (x ∗ ) = 0
f (m) (x ∗ ) = 0