Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

158 Ecuat¸ii neliniare
Solut¸ie.
f(1) = −1 < 0, f(2) = 5 > 0
x−x 3 −1
f(x) = x 3 −1, ϕ ′ (x) = 3x 2
ϕ ′′ (x) ≥ 3 pentrux ∈ [1,2]
dar nu se poate aplica m.a.s.
x = 3√ x+1
ϕ(x) = 3√ x+1, ϕ ′ 1
(x) =
3 3 (x+1) 2
0 < ϕ ′ (x) < 1
3 3√ 1
< = 2 pentru a ≤ x ≤ 2
4 4
metoda aproximat¸iilor succesive are o convergent¸ă rapidă
|xn −x ∗ | ≤ qn
1−q |x1 −x0|
x0 = 1, x1 = 3√ 2
1+ 3
1+ 3√ 2
x2 = 3
1+ 3√ 2, x3 = 3
Problema 10.1.6 Concepet¸i o metodă cu un pas s¸i una cu doi pas¸i pentru a aproxima
√ a,a > 0.
Solut¸ie. Folosim metoda lui Newton
(Metoda lui Heron)
xn+1 = xn − x2 n −a
2xn
f(x) = x 2 −a
= 1
xn +
2
a
xn
f ′ (x) = 2x > 0 pentrux > 0
f ′′ (x) = 2 > 0
f ′ (x) = 0 pe[a,b] ⊂ (0,∞)
f ′′ (x) > 0 pe[a,b]
Orice valoare pozitivă poate fi utilizată ca valoare de pornire.