Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

12 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
Figura 2.2: Normele||.||2,||.||1 s¸i||.||∞
(a) Să se verifice că · ′ este normă peC 1 [0,1].
(b) Orice s¸ir convergent în norma· este convergent s¸i în norma·1; orice
s¸ir convergent în norma· ′ este convergent s¸i în norma·.
(c) Să se studieze convergent¸a s¸irurilorfn(t) = t n s¸i gn(t) = n −1 sinnt. Ce se
poate afirma despre cele trei norme?
Solut¸ie. a) f ′ ≥ 0 0 ′ = 0 f ′ = 0 ⇒ f(0) = 0, f ′ (t) = 0 ⇒
|f(t)| = |f(t)−f(0)| = |tf ′ (θ)| = 0 ⇒ f = 0
|λf ′ = |λf(0)|+ sup |λf
t∈[0,1]
′ (t)| = |λ|f ′
f +g ′ = |(f +g)(0)|+ sup |(f +g)
t∈[0,1]
′ (t)| ≤
≤ |f(0)|+|g(0)|+ sup (|f
t∈[0,1]
′ (t)|+|g ′ (t)|) ≤ f ′ +g ′
b) fn − f → 0 ⇒ sup |fn(t) − f(t)| → 0 ⇒
t∈[0,1]
1
0 |fn(t) − f(t)|dt → 0
fn → f în· ′ ⇒ fn−f ′ → 0 ⇒ |fn(0)−f(0)|+ sup
t∈[0,1]
|f ′ n(t)−f ′ (t)| →
0 ⇒ fn −f → 0 .
c) fn1
1
= t
0
n dt = 1
n+1
fn = sup t
t∈[0,1]
n ⎫
⎪⎬
= 1 ⎪⎭ ⇒ fn → 0 în · 1 fn → f în · ⇒
fn → f în ·1, adicăf = 0,f = 1 fn în·1 ⇒ nu converge în·
gn = sup |n
t∈[0,1]
−1 sinnt| ≤ n −1 gn ′ =
= |n −1 sin0|+ sup |cosnt| = 1
t∈[0,1]