Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

10.1. Ecuat¸ii în R 155
f ′ (x) = 2x 2 −0.4x−0.2, x3 < x < 1.5
f ′ (x) ≥ 3.1198 2 −0.4·1.5−0.2 = 3·1.43−0.8 = 3.49
0 < ξ −x3 < 0.0072
≈ 0.002
3.49
ξ = 1.198+0.002θ, θ ∈ (0,1]
Problema 10.1.2 Utilizând metoda lui Newton, calculat¸i o rădăcină negativă a
ecuat¸iei
f(x) ≡ x 4 −3x 2 +75x−10000 = 0
cu 5 zecimale exacte.
Solut¸ie.
Luăm x0 = −11
f(0) = −10000, f(−10) = −1050
f(−100) = 1−8
f(−11) = 3453, f ′ (x) < 0, f ′′ (x) > 0
f(−11) > 0, f ′′ (−11) > 0
xn+1 = xn − f(xn)
f ′ (xn)
x1 = −11− 3453
= −10.3
−5183
x2 = −10.3− 134.3
= −10.3+0.03 = −10.27
−4234
x3 = −10.27− 37.8
= −10.27+0.009 = −10.261
−4196
|x2 −x3| = |0.09|, s¸.a.m.d.
Problema 10.1.3 Fie ecuat¸ia
s¸if ′′ este continuă s¸i îs¸i păstrează semnul pe(−∞,∞).
Arătat¸i că:
a) Ecuat¸ia are cel mult două rădăcini.
b) Să presupunem că
f(x) = 0 (10.5)
f(x0)f ′ (x0) < 0, f(x0)f ′′ (x) < 0