Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

154 Ecuat¸ii neliniare
xn−1 ∈ (xn−1,ξ),xn−1 ∈ (a,xn−1). Deci
sau
|ξ −xn| = |f′ (xn−1)−f ′ (ξn−1)|
f ′ |xn −xn−1|
(ξn−1)|
Deoarece f ′ are semn constant pe[a,b] s¸ixn−1,ξn−1 ∈ [a,b] obt¸inem
|f ′ (xn−1)−f ′ (ξn−1)| ≤ M1 −m1
Deci
|ξ −xn| ≤ M1 −m1
|xn −xn−1|
m1
Dacă M1 ≤ 2m1 (lucru care se poate întâmpla dacă [a,b] este mic)
|ξ −xn| ≤ |xn −xn−1|
Deci dacă programăm această metodă, putem folosi drept criteriu de oprire
M1 −m1
m1
|xn −xn−1| < ε
|xn −xn−1| < ε
Problema 10.1.1 Determinat¸i o rădăcină pozitivă a ecuat¸iei
cu precizia 0.002.
Solut¸ie.
f(x) = x 3 −0.2x 2 −0.2x−1.2
f(1) = −0.6 < 0, f(2) = 5.6 > 0
ξ ∈ (1,2), f(1.5) = 1.425, ξ ∈ (1,1.5)
x1 = 1+
x2 = 1.15+
0.6
(1.5−1) = 1+0.15 = 1.15
1.425+0.6
f(x1) = −0.173
0.173
(1.5−1.15) = 1.15+0.040 = 1.150
1.425+0.173
f(x2) = −0.036
x3 = 1.150+
0.036
1.425+0.036 (1.5−1.15) = 1.190
f(x3) = −0.0072