Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

10.1. Ecuat¸ii în R 153
f(a)
a
ξ
x 2
x 1
b=x 0
f(b)
f(a)
a=x 0
Figura 10.2: Convergent¸a metodei falsei pozit¸ii
Pentru a arăta că limita este rădăcină a ecuat¸iei init¸iale se trece la limită în
relat¸ia de recurent¸ă. Pentru delimitarea erorii folosim formula
unde|f ′ (x)| ≤ m1 pentrux ∈ [a,b]
|xn −ξ| ≤ |f(xn)|
m1
f(xn)−f(ξ) = (xn −ξ)f ′ (c), c ∈ (xn,ξ)
|f(xn)−f(ξ)| = |f(xn)| ≥ m1|xn −ξ|
Vom da o delimitare mai bună dacăf este continuă pe[a,b],[a,b] cont¸ine toate
aproximantele s¸if ′ îs¸i păstrează semnul.
Pentru primul caz avem
x 1
0 < m1 ≤ |f ′ (x)| ≤ M1 < ∞
xn = xn−1 −
f(xn−1)
f(xn−1)−f(a) (xn−1 −a)
f(ξ)−f(xn−1) = f(xn−1)−f(a)
(xn −xn−1)
xn−1 −a
Utilizând teorema lui Lagrange avem
(ξ −xn−1)f ′ (ξn−1) = (x−xn−1)f ′ (xn−1)
ξ
x 2
b
f(b)