Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

152 Ecuat¸ii neliniare
f(a)
a
h 1
x 1
ξ
Figura 10.1: Metoda falsei pozit¸ii
Convergent¸a metodei. Presupunem că rădăcina este izolată s¸i căf ′′ are semn
constant pe[a,b].
Presupunem că f ′′ (x) > 0 pe [a,b] (cazul f ′′ (x) < 0 se reduce la precedentul
scriind −f(x) = 0. Curba y = f(x) este convexă s¸i putem avea două situat¸ii:
f(a) > 0 s¸i f(b) > 0 (figura 10.2).
În primul caz capătul este fix iar aproximat¸iile succesive se obt¸in astfel
xn+1 = xn −
x0 = b
s¸irul obt¸inut fiind monoton descrescător s¸i mărginit.
f(xn)
f(xn)−f(a) (xn −a), n = 0,1,2,... (10.4)
a < ξ < ··· < xn+1 < xn < ··· < x1 < x0
Pentru celălalt cazbeste fix s¸i x0 = a
xn+1 = xn −
S¸irul obt¸inut este crescător s¸i mărginit
f(x1)
f(b)−f(x1) (b−xn)
b
f(b)
x0 < x1 < x2 < ··· < xn < xn+1 < ··· < ξ < b