Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

More documents

Recommendations

Info

$P 0.1 Stabilişti natura şsi suma seriilor: a) Σ 1 n\ ; b) Σ arctan 1 n# + n ...$

146 Aproximarea funct¸ionalelor liniare R3(f) = f(6) (ξ) 6! A1 = A3 = 2√ π 3 A2 = 1√ π 3 ∞ −∞ = 8·3! √ π · 1 8 2 · f(6) (ξ) 6! = Problema 9.5.5 Fie formula de cuadratură de forma 1 −1 f(x) √ dx = 1−x 2 e −x2h23(t) dt = 82 √ π 4·5·6·8 f(6) (ξ) n Aif(xi)+Rn(f), f ∈ C 2n [−1,1]. i=1 1 ◦ Arătat¸i că coeficient¸iiAi s¸i nodurilexi sunt date de 1 Tn(x) Ai = √ −1 1−x 2 (x−xi)T ′ n xi = cosθi, θi = (2i−1) 2n dx, (xi) π , i = 1,n, 2 undeTn este polinomul Cebîs¸ev de spet¸a I de gradn. 2 ◦ Punând pentru1 ≤ i ≤ n, π δj = 0 cosjθ−cosjθi dθ, j = 1,2,... cosθ−cosθi arătat¸i căδj+1−2cosθiδj +δj−1 = 0, pentruj = 2,3,...s¸i calculat¸iδk+1. Deducet¸i că Ai = π, i = 1,n. n 3 ◦ Arătat¸i că Solut¸ie. Rn(f) = π 2 2n−1 f (2n) (ξ) , ξ ∈ (−1,1). (2n)! 1 ◦ T¸ inând cont că nodurile formulei vor fi rădăcinile polinomului lui Cebâs¸ev de spet¸a I, iar coeficient¸ii se obt¸in integrând polinoamele fundamentale, formulele de la punctul 1 ◦ sunt imediate.
9.5. Formule de cuadratură de tip Gauss 147 2 ◦ Punând x = cosθ avem π Ai = 0 cosnθ cosθ −cosθi căci cosnθi = 0, i = 1,n. Din relat¸ia rezultă pentruj ≥ 2 că T ′ n 1 δn = , (xi) (xi) T ′ n cos(j +1)θ+cos(j −1)θ = 2cosθcosjθ δj+1 +δj−1 = 2 = 2 π 0 π 0 cosθcosjθ−cosθicosjθi dθ cosθ−cosθi cosjθdθ+2cosθiδj s¸i δ0 = 0 s¸i δ1 = π. Relat¸ia de recurent¸ă δj+1 −2cosθiδj + δj−1 = 0 are solut¸ia generalăδj = Acosjθi +Bsinjθi; se obt¸ine s¸i cum se deduce căAi = π ,i = 1,n. n 3 ◦ Din expresia restului se obt¸ine Rn(f) = f(2n) (ξ) (2n)! δn = πsinnθi sinθi T ′ n (xi) = nsinnθi sinθi 1 −1 T2 n(x) 22n−2√ π = 1−x 2dx 22n−1 Problema 9.5.6 Deducet¸i o formulă de cuadratură de forma 1 −1 f (2n) (ξ) . (2n)! √ 1−x 2 f(x)dx = A1f(x1)+A2f(x2)+A3f(x3)+R3(f) Solut¸ie. Formula va fi de tip Gauss; polinoamele ortogonale care dau nodurile vor fi polinoamele Cebâs¸ev de spet¸a a II-a. Qn(t) = sin[(n+1)arccost] √ , t ∈ [−1,1] 1−t 2
Page 1 and 2:
Culegere de probleme de Analiză nu
Page 3 and 4:
CUPRINS iii 6.4 Interpolare Birkhof
Page 5 and 6:
Prefat¸ă Aici ar veni prefat¸a.
Page 7 and 8:
(restul în forma lui Cauchy) (Rnf)
Page 9 and 10:
se obt¸ine pentru valoarea derivat
Page 11 and 12:
Capitolul 2 Elemente de Analiză fu
Page 13 and 14:
2.1. Spat¸ii metrice, spat¸ii Ban
Page 15 and 16:
2.1. Spat¸ii metrice, spat¸ii Ban
Page 17 and 18:
2.2. Spat¸ii Hilbert 13 gn → 0
Page 19 and 20:
2.3. Serii Fourier 15 Solut¸ie. X
Page 21 and 22:
2.3. Serii Fourier 17 Spunem că si
Page 23 and 24:
2.4. Polinoame ortogonale 19 face u
Page 25 and 26:
2.4. Polinoame ortogonale 21 ∞
Page 27 and 28:
2.4. Polinoame ortogonale 23 Solut
Page 29 and 30:
2.4. Polinoame ortogonale 25 1 −
Page 31 and 32:
2.4. Polinoame ortogonale 27 ne dă
Page 33 and 34:
2.4. Polinoame ortogonale 29 undeC1
Page 35 and 36:
2.4. Polinoame ortogonale 31 (1) Ar
Page 37 and 38:
2.4. Polinoame ortogonale 33 (1) Ar
Page 39 and 40:
Capitolul 3 Teoria erorilor Definit
Page 41 and 42:
3.2. Propagarea erorilor 37 Teorema
Page 43 and 44:
3.3. Erorile pentru vectori s¸i op
Page 45 and 46:
3.4. Aritmetică în virgulă flota
Page 47 and 48:
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54:
3.5. Condit¸ionarea unei probleme
Page 55 and 56:
Page 57 and 58:
Page 59 and 60:
4.1. Descompunere LU 55 ⎛ ⎝ 13
Page 61 and 62:
4.2. Descompunere LUP 57 = 1 0 =
Page 63 and 64:
4.2. Descompunere LUP 59 cu solut¸
Page 65 and 66:
4.3. Sisteme de ecuat¸ii 61 obt¸i
Page 67 and 68:
4.3. Sisteme de ecuat¸ii 63 adică
Page 69 and 70:
4.3. Sisteme de ecuat¸ii 65 TJm =
Page 71 and 72:
Capitolul 5 Calculul cu diferent¸e
Page 73 and 74:
Definit¸ia 5.0.9 Prederivata de or
Page 75 and 76:
Problema 5.0.15 Să se stabilească
Page 77 and 78:
Problema 5.0.17 Să se calculeze∆
Page 79 and 80:
m−1 + (xm −x0)[x0,...,xk;f][xk
Page 81 and 82:
Presupunem că (a+b) [m−1,h] =
Page 83 and 84:
6.1. Interpolare polinomială 79 cu
Page 85 and 86:
6.1. Interpolare polinomială 81 Ca
Page 87 and 88:
6.2. Interpolare Lagrange 83 (a) (L
Page 89 and 90:
6.3. Interpolare Hermite 85 Problem
Page 91 and 92:
6.3. Interpolare Hermite 87 u ′ 2
Page 93 and 94:
6.3. Interpolare Hermite 89 Tm+1(x
Page 95 and 96:
6.4. Interpolare Birkhoff 91 6.4 In
Page 97 and 98:
6.5. Interpolare rat¸ională 93 Tr
Page 99 and 100: 6.5. Interpolare rat¸ională 95 a3
Page 101 and 102: 6.6. Interpolare spline 97 Demonstr
Page 103 and 104: 6.6. Interpolare spline 99 s3(x) =
Page 105 and 106: 6.6. Interpolare spline 101 ⎡ ⎤
Page 107 and 108: Capitolul 7 Aproximări în medie p
Page 109 and 110: matricial Gjk = dk = n = 1, g1(x) =
Page 111 and 112: = ⎡ ⎢ ⎣ 1 1 1 1 1 i −1 −i
Page 113 and 114: am = a2 = Re(e 2−πi c2/2) = y0
Page 115 and 116: 8.1. Operatorul lui Bernstein 111 P
Page 117 and 118: 8.1. Operatorul lui Bernstein 113 r
Page 119 and 120: 8.2. B-spline 115 B1,2(x) = ω1,2(x
Page 121 and 122: 8.2. B-spline 117 Problema 8.2.3 Pe
Page 123 and 124: 8.3. Alt¸i operatori liniari s¸i
Page 125 and 126: 8.3. Alt¸i operatori liniari s¸i
Page 127 and 128: 9.1. Derivare numerică 123 (Rmf)(x
Page 129 and 130: 9.1. Derivare numerică 125 Solut¸
Page 131 and 132: 9.2. Formule de integrare numerică
Page 137 and 138: 9.3. Alte formule de tip interpolat
Page 145 and 146: 9.4. Cuadraturi repetate. Metoda lu
Page 147 and 148: 9.5. Formule de cuadratură de tip
Page 149: 9.5. Formule de cuadratură de tip
Page 153 and 154: 9.5. Formule de cuadratură de tip
Page 155 and 156: Capitolul 10 Ecuat¸ii neliniare 10
Page 157 and 158: 10.1. Ecuat¸ii în R 153 f(a) a ξ
Page 159 and 160: 10.1. Ecuat¸ii în R 155 f ′ (x)
Page 161 and 162: 10.1. Ecuat¸ii în R 157 Ecuat¸ia
Page 163 and 164: 10.1. Ecuat¸ii în R 159 Observat
Page 165 and 166: 10.2. Sisteme neliniare 161 x1 −x
Page 167 and 168: 10.2. Sisteme neliniare 163 Solut¸
Page 169 and 170: 165 Să aplicăm acum pentru aceeas
Page 171 and 172: = 1 5 h 12 h3f ′′ (µi,y(µi)
Page 173 and 174: − 1 12 [f(xi+1,yi+1)−2f(xi,yi)+
show all

Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?