Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

146 Aproximarea funct¸ionalelor liniare
R3(f) = f(6) (ξ)
6!
A1 = A3 = 2√
π
3
A2 = 1√
π
3
∞
−∞
= 8·3! √ π · 1
8 2 · f(6) (ξ)
6! =
Problema 9.5.5 Fie formula de cuadratură de forma
1
−1
f(x)
√ dx =
1−x 2
e −x2h23(t) dt =
82 √
π
4·5·6·8 f(6) (ξ)
n
Aif(xi)+Rn(f), f ∈ C 2n [−1,1].
i=1
1 ◦ Arătat¸i că coeficient¸iiAi s¸i nodurilexi sunt date de
1
Tn(x)
Ai = √
−1 1−x 2 (x−xi)T ′ n
xi = cosθi, θi = (2i−1)
2n
dx,
(xi)
π
, i = 1,n,
2
undeTn este polinomul Cebîs¸ev de spet¸a I de gradn.
2 ◦ Punând pentru1 ≤ i ≤ n,
π
δj =
0
cosjθ−cosjθi
dθ, j = 1,2,...
cosθ−cosθi
arătat¸i căδj+1−2cosθiδj +δj−1 = 0, pentruj = 2,3,...s¸i calculat¸iδk+1.
Deducet¸i că Ai = π,
i = 1,n. n
3 ◦ Arătat¸i că
Solut¸ie.
Rn(f) = π
2 2n−1
f (2n) (ξ)
, ξ ∈ (−1,1).
(2n)!
1 ◦ T¸ inând cont că nodurile formulei vor fi rădăcinile polinomului lui Cebâs¸ev
de spet¸a I, iar coeficient¸ii se obt¸in integrând polinoamele fundamentale, formulele
de la punctul 1 ◦ sunt imediate.