Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

2.1. Spat¸ii metrice, spat¸ii Banach, spat¸ii Hilbert 11
Figura 2.1: Funct¸ia x din problema 2.1.12
Problema 2.1.13 Se consideră următoarele trei norme peR 2
x2 = (|x1| 2 +|x2| 2 ) 1/2 , x1 = |x1|+|x2|, x∞ = max{|x1|,|x2|}
Să se reprezinte grafic mult¸imile B1(0) în raport cu toate cele 3 norme. Să se
determine geometric cele mai mici constantea,b,c,d astfel încât
Solut¸ie. Avem inegalităt¸ile: √2
Graficele apar în figura 2.2.
ax1 ≤ x2 ≤ bx1,
cx∞ ≤ x2 ≤ dd∞.
2
≤ x2
x1
1 ≤ x2
x∞
Problema 2.1.14 FieC 1 [0,1] s¸i normele
f1 =
1
0
≤ 1
≤ √ 2
|f(t)|dt, f = sup |f(t)|
t∈[0,1]
f ′ = |f(0)|+ sup |f
t∈[0,1]
′ (t)|