Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

144 Aproximarea funct¸ionalelor liniare
Problema 9.5.2 Aproximat¸i ln2 cu două zecimale exacte folosind o formulă gaussiană
repetată.
n = 5
Solut¸ie.
ln2 =
2
1
dx
x
Vom folosi formula repetată a dreptunghiului
2
1
b
a
f(x)dx = b−a
n
n
i=1
M2f = 2 ξ ∈ (a,b)
f(xi)+ (b−a)3
f
3
′′ (ξ)
|Rn(f)| ≤ 1
24n2M2f = 1 1
<
12n2 2 ·10−2 ⇒ 6n 2 ≥ 100
dx
x
1
≈
5
1
1+ 1
10
= 1
10
5 11
= 2
+ 1
1+ 3
10
+ 1
1+ 5
10
+ 1
1+ 7
10
10 10 10 10
+ + + +
13 15 17 19
1 1 1 1 1
+ + + +
11 13 15 17 19
=
+ 1
1+ 9
=
10
Problema 9.5.3 Determinat¸i o formulă cu grad de exactitate cel put¸in doi pentru
a aproxima ∞
e −x f(x)dx
în ipoteza că integrala improprie există.
0
Solut¸ie. Polinoamele ortogonale pe[0,∞) relativ la pondereaw(t) = e −t sunt
polinoamele lui Laguerre
gn(t) = et d
n!
n
dtn(tn e −t )
g2(t) = t 2 −4t+2
cu rădăcinilet1 = 2− √ 2,t2 = 2+ √ 2.