Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

9.5. Formule de cuadratură de tip Gauss 143
iar coeficient¸ii s¸i restul au expresiile
s¸i respectiv
(m!)
Ak =
4 (b−a) 2m+1
[(2m)!] 2 (xk −a)(b−xk)[v ′ k
Rm(f) = (m!)4
[(2m)!] 3
(xk)] 2, k = 1,m
(b−a) 2m+1
f
2m+1
(2m) (ξ), ξ ∈ [a,b]
Problema 9.5.1 Stabilit¸i o formulă de cuadratură de tip Gauss în cazulw(x) ≡ 1
s¸im = 3.
Solut¸ie. Polinomul Legendre de grad 3 corespunzând intervalului[−1,1] este
P3(t) = 1
2 (5t3 −3t)
cu rădăcinile
3
t1 = −
5 , t2 = 0, t3 =
Coeficient¸ii sunt solut¸iile sistemului
⎧
⎪⎨ A1 +A2 +A3
= 2
3 −
⎪⎩
5A1
3 + 5A3 = 0
Pentru rest se obt¸ine
3
5 A1 + 3
5 A2 = 2
3
A1 = A3 = 5
9 A2 = 8
9
R3(f) = (3!)4
(6!) 3
3
5
(b−a) 7
f
7
(6) (ξ)
Trecerea de la[−1,1] la[a,b] se poate face prin schimbarea de variabilă
b
a
x = b+a b−a
+
2 2 t
f(x)dx = b−a
1
b+a b−a
f +
2 −1 2 2 t
dt
b
f(x)dx ≈ b−a
m
Aif(xi)
2
a
unde xi = b+a b−a
+
2 2 t2, ti fiind rădăcinile polinomului Legendre corespunzător
intervalului[−1,1].
i=1