Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

9.4. Cuadraturi repetate. Metoda lui Romberg 141
Astfel
Rf = Kf (m+1) (ξ ′ )+Lf (m+1) (ξ ′′ )
Deoarece K < 0 s¸i L < 0, Rf = (K + L)f (n+1) (ξ) pentru ξ ∈ (ξ ′ ,ξ ′′ ).
Deoarece
ϕn+1(x) = d
dx φn(x)(x−b)
integrarea prin părt¸i ne dă
K +L = In.
9.4 Cuadraturi repetate. Metoda lui Romberg
Se vor utiliza formulele
Rk,1 = 1
⎡
2
⎣Rk−1,1 +hk−1
2k−2
i=1
f
a+ i− 1
hk−1
2
⎤
⎦, k = 2,n
Rk,j = 4j−1Rk,j−1−Rk−1,j−1 4j−1 , k = 2,n
−1
R1,1 = h1 b−a
[f(a)+f(b)] =
2 2 [f(a)+f(b)]
hk = hk−1
2
= b−a
2 k−1
Problema 9.4.1 Aproximat¸i π
0 sinxdx prin metoda lui Romberg, ε = 10−2 .
Solut¸ie.
I =
π
0
sinxdx = 2
R1,1 = π
(0+0) = 0
2
R2,1 = 1
R1,1 +πsin
2
π
= 1.571
2
R2,2 = 1.571+(1,571−0)/3 = 2.094
R3,1 = 1
R2,1 +
2
π
2
(R2,2 −R1,1) > 0.01
sin π 3π
+sin
4 4
= 1.895