Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

9.3. Alte formule de tip interpolator 137
= −h n+3
m
deci nucleul are semn constant.
b)n = 2m+1
t
−m
2 (t 2 −1)...(t 2 −m 2 ),
w(x) =
x
−1
u2m(t)dt
analog ca la a).
w(−1) = w(τ2m) = 0 s¸i w(x) ≥ 0 pe[−1,τ2m]
Avem
[τ0,τ1,...,τn,x;f] = [τ0,τ1,...,τn,x;f](x−1)u2m(x) =
= ([τ0,...,τn−1,x]−[τ0,...,τn−1,τn;f])u2m(x)
se deduce
τ2m
(f(x)−pn(x))dx =
−1
τ2m
τ2m
−1
[τ0,...,τn−1,x;f]dx =
τ2m
= −f[τ0,...,τn−1,η,η] w(x)dx
−1
La fel un fiind negativ pe[τ2m,1],
1
(f(x)−on(x)) = −[τ0,...,τn,η ′
1
;f]
w(x)dx
Utilizând teorema de medie pentru integrale s¸i formula de medie pentru diferent¸e
divizate se obt¸ine că
Rn(f) = cnf (n+1) (ξ)
Luând f = un se obt¸ine
1
−1
τ2m
un(x)dx = Rn(un) = cn(n+1)!
Problema 9.3.10 Arătat¸i că pentru f ∈ Cm+2 [a,b] restul în formula de cuadratură
Newton-Cotes închisă este dat de
pentrumpar s¸i
pentrumimpar.
Rm(f) = hm+3 f (m+2) (ξ)
(m+2)!
Rm(f) = hm+2 f (m+1) (ξ)
(m+1)!
m
0
m
0
tt [m+1] dt, ξ ∈ (a,b)
t [m+1] dt, ξ ∈ (a,b)