Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

136 Aproximarea funct¸ionalelor liniare
b) Presupunem n impar (n = 2m + 1). Reluând demonstrat¸ia precedentă s¸i
descompunând[−1,1] în două subintervale[−1,τn−1] s¸i [τn−1,τn] deducet¸i că
Rn(f) = hn+2
(n+1)! f(n+1) (η)
cu η ∈ [−1,1].
m+1
s(s
−m
2 −1 2 )(s 2 −2 2 )...(s 2 −m 2 )(s−m−1)ds
Solut¸ie. 1◦ este imediată din definit¸ia diferent¸ei divizate cu noduri multiple s¸i
formula de medie pentru diferent¸e divizate.
2◦ Rn(f) =
1
−1
[f(x)−Ln(x)]dx =
1
−1 i=0
3 ◦ a)n = 2m. Prin simetriew(−1) = w(1). Avem
τk+1
Ik =
τk
n
(x−τi)[τ0,...,τn,x;f]dx
un(t)dt
s¸i deci (−1) kIk > 0.
Cum |un(t + h)| = |un(t)|
t+1+h
t−1 < un(t) dacă t ∈ [τ0,τ0 − 1) avem
|Ik| > |Ik+1| pentru k ≤ m − 1 deci w(τk) = I0 + I1 + ··· + Ik−1 are semnul
lui I0 pentru k = 0,...,m s¸i prin simetrie s¸i pentru alte valori k ≤ 2m; dacă
x ∈ [τk,τk+1]
w(τk) < w(x) < w(τk+1)
căci w ′ (x) = un(x) păstrează semn constant, deci pentru orice x ∈ [−1,1],
w(x) ≥ 0 (semnul luiI0).
Integrând prin părt¸i
după formula de medie
Rn(f) =
cum 1
w(x)dx =
−1
1
−1
un[τ0,...,τn,x;f]dx =
1
= − w(x)[τ0,...,τn,x;f]dx
−1
Rn(f) = −[τ0,τ1,...,τn,η,η]
1
−1
1
−1
w(x)dx
1
(1−t)un(t)dt = − tun(t)dt =
−1