Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

10 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
Corolar 2.1.8 Dacă X,Y s.l.n. ⇒ Lc(X,Y) s.l.n.; X s.l.n., Y Banach ⇒
Lc(X,Y) Banach
Observat¸ia 2.1.9 Interpretarea geometrică a luiU - este marginea superioară
a coeficientului de dilatare al unui vector prin operatorulU.
Corolar 2.1.10 X ∗ este Banach.
f ∈ X ∗
X ∗ = Lc(X,K)
f = sup f(x)
x≤1
Observat¸ia 2.1.11 Dacă K = C, atunci(λf)(x) = λf(x).
Problema 2.1.12 FieC[a,b] s¸i f : C[a,b] → R.
f(x) =
n
ckx(tk)
t1,...,tn ∈ [a,b], ck ∈ R. Să se arate că f este liniară s¸i f = n
k=1 |ck|.
k=1
k=1
Solut¸ie. Liniaritatea este imediată.
n n
|f(x)| = ckx(tk) ≤ max |x(t)| |ck| =
t∈[a,b]
k=1
n
|ck|x
f continuă s¸i f ≤ n
k=1 |ck|
Să construim acum pe [a,b] o funct¸ie x, liniară pe port¸iuni, care ia în t1, t2,
..., tn valorile
x(tk) = signck, k = 1,n,
s¸i care să fie liniară pe intervalul [tk,tk+1], k = 1,n−1 s¸i constantă în [a,t1] s¸i
[tn,b] (vezi figura 2.1)
Evident |x(t)| ≤ 1, adicăx ≤ 1 s¸i
f = sup |f(x)| ≥ f(x) =
x≤1
n
ckx(tk) =
k=1
k=1
n
cknξnck =
k=1
n
|ck|
k=1