Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

9.3. Alte formule de tip interpolator 135
= 1
1+
12
1 4
+
2 3 +4
4 4
+ .
5 7
Problema 9.3.8 Deducet¸i formula repetată a lui Newton.
b
f(x)dx = b−a
n−1
f(a)+f(b)+2 f(xi)+
8n
a
n−1
2xi +xi+1
n−1
+3 f +3 f
3
i=0
i=0
xi +2xi+1
3
i=1
Problema 9.3.9 (Semnul nucleului lui Peano în FNC închise)
− (b−a)5
648n 4 f(4) (ξ)
Fie f ∈ Cn+2 [−1,1] s¸i τj = −1 + 2j
, j = 0,n n+1 puncte echidistante
n
pe[−1,1] cu pasulh = 2
n .
1 ◦ Arătat¸i că
a) pentruj = 0,n, lim
x→τj
x=τj
[τ0,...,τn,x;f] există
b) pentru orice x ∈ [−1,1], d
dx [τ0,...,τn,x;f] are sens s¸i că există ξx ∈
[−1,1] astfel încât
d
dx [τ0,...,τn,x;f] = f(n+2) (ξx)
(n+2)!
2 ◦ Arătat¸i că eroarea de integrare numerică a funct¸ieif prin FNCî în punctele
τ0,τ1,...,τn este dată de
Rn(f) =
3 ◦ Punem w(x) =
x
1
−1 j=0
−1 j=0
n
(x−τj)[τ0,τ1,...,τn,x;f]dx
n
(t − tj)dt s¸i Ik = w(τk+1) − w(τk) pentru k =
0,n−1
a) Presupunem n par (n = 2m); arătat¸i că Ik este un s¸ir alternant, descrescător
în valoare absolută; deducet¸i că w(x) păstrează un semn constant pe
[−1,1] cu w(1) = w(−1) = 0. Arătat¸i că existăη ∈ [−1,1] astfel încât
Rn(f) = hn+3
(n+2)! f(n+2) m
(η) s
−m
2 (s 2 −1)...(s 2 −m 2 )ds