Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

9.3. Alte formule de tip interpolator 133
b
A1j =
a
h1j(x)dx =
= s(s−1)...(s−j) (b−a)j+1
·
2s(2s−1)...(2s−j) (j +1)!
b
a
s j x−a (x−b)
b−a j!
f ∈ C 2s [a,b] ⇒ R2s−1(f) =
n−j
n+ν x−b
dx = (−1)
ν a−b
j A0j
ν=0
2 2s+1 s! (b−a)
f
(2s)! 2s+1
(2s) (ξ)
K2s−1 = (b−t)2s
(2s)! −
s−1
A1j
j=0
= 1
(2s)! (b−t)s (s−t) s
(b−t) 2s−j−1
(2s−j −1)! =
K2s−1(t) are semn constant pe [a,b], iar f (2s) este continuă s¸i se poate aplica
formula de medie sau corolarul la teorema lui Peano.
Problema 9.3.3 Stabilit¸i o formulă de cuadratură de forma
b
a
f(x)dx = Af ′ (a)+Bf(b)+R1(f)
Solut¸ie. Pornim de la formula de interpolare de tip Birkhoff
Integrând se obt¸ine
f(x) = (x−b)f ′ (a)+f(b)+(R1f)(x)
int b
a−b
af(x)dx = (b−a)
2 f′
(a)+f(b) +R1(f)
Pentru rest se aplică teorema lui Peano s¸i se ajunge în final la
R1(f) = − (b−a)3
f
3
′′ (ξ), ξ ∈ [a,b].
Problema 9.3.4 Deducet¸i o formulă de cuadratură integrând formula de aproximare
a lui Bernstein.