Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

9.2. Formule de integrare numerică de tip Newton-Cotes 131
Problema 9.2.6 Aceeas¸i problemă pentrum = 2.
Solut¸ie.
b
a
−1
b
f(x)dx = A0f(x0)+A1f(x1)+A2f(x2)+R2(f)
3
A0 = A2 = h t(t−1)(t−2)
dt =
2 −1 t
8h 8 b−a
= ·
3 3 4
3
t(t−1)(t−2)
A1 = −h dt = −
t−1
4h
= −b−a
3 3
R2(f) = K2(t)f
a
(4) (t)dt
K2(t) = 1
(b−t)
3!
4
−
4
b−a
3a+b
2
3 4 −t
3
2a+2b a+3b
− −t +2
4 4 −t
3
K2(t) = 1
6
+
⎧
⎪⎨
⎪⎩
(a−t) 4
4
(a−t) 4
4
(b−t) 4
4
(b−t) 4
4
− 2(b−a)
3
− 2(b−a)
3
+
3
3a+b
4 −t 3
a+3b
4 −t 3
−
+
= 2(b−a)
3
t ∈ a, 3a+b
4
t ∈ 3a+b
t ∈ a+b
2
, 4 a+b
2
, a+3b
4
t ∈ a+3b
4 ,b
Se verifică că K2(t) ≥ 0, t ∈ [a,b] s¸i aplicând corolarul la teorema lui Peano
se obt¸ine
R2(f) = 1
4! f(4) (ξ)R(e4)
R(e4) =
b
a
x 4 dx− b−a
3
3a+b
2
4
4
2a+2b
−
4
4
4
a+3b
+2 =
4
4 3 2 2 3 4
b +ab +a b +a b+a
= (b−a)
−
5
148a4 +176a3b+120a 2b2 +176ab3 +148b4
=
768
= b−a
5·768 ·28(b−a)4 = 7·4
15·4·64 (b−a)5
R2(f) = 14h5
45 f(4) (ξ) = 14
45
b−a
4
5
f (4) (ξ)