Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

130 Aproximarea funct¸ionalelor liniare
9.2.2 Formule Newton-Cotes deschise
La aceste formule nodurile sunt echidistante
xi = x0 +ih, i = 0,m, h = b−a
m+2
x0 = ah, xm = b−h
x−1 = a, xm+1 = b
Coeficient¸ii au expresia
b
Ai =
a
li(x)dx = (−1) m−i h
i!(m−i)!
m+1
−1
t [m+1]
t−i dt
Problema 9.2.5 Deducet¸i formula Newton-Cotes deschisă pentrum = 1.
căci
Solut¸ie.
b−a
2
b
a
f(x)dx = A0f(x0)+A1f(x1)+R1(f)
A0 = A1 = −h
2
R1(f) =
⎧
⎪⎨
K1(t) =
⎪⎩
t(t−1)
dt =
t
3h
2
−1
b
a
(a−t) 2
2
(a−t) 2
2
(b−t) 2
2
K1(t)f ′′ (t)dt
+ b−a
2
2a+b
3 −t
2a+b
3 −t
a+2b
+
3 −t
=
Se verifică că pentru oricet ∈ [a,b], K1(t) ≥ 0.
Aplicând corolarul la teorema lui Peano obt¸inem
= b−a
2
b
a
(x−t)dx
R1(f) = 1
2! f′′ (ξ)R(e2) =
= 1
2 f′′ b
(ξ) x
a
3 dx− b−a
2a+b 2
2
a+2b
+ =
2 3 3
= 1
2 f′′ (ξ) b−a
b
3
2 +ab+a 2 − 5a2 +8ab+5b 2
=
6
= (b−a)3
f
36
′′ (ξ) = 3h3
4 f′′ (ξ).