Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

128 Aproximarea funct¸ionalelor liniare
Volumul obt¸inut prin rotat¸ia arcului y în jurul axeiOx este
V = π
h/2
−h/2
Valoarea exactă a integralei de mai sus este
y 2 (x)dx.
V = πh
60 (8D2 +4Dd+3d 2 ).
În practicăV se aproximează cu formula lui Simpson s¸i se obt¸ine:
V ≈ πh 2 2
d +2D
12
.
Problema 9.2.3 Deducet¸i restul formulei lui Simpson
R2(f) = − (b−a)5
2880 fIV (ξ)
Solut¸ie. Gradul de exactitate fiind r = 3 avem
K2(t) = 1
6
⎪⎩
R2(f) =
b
a
K2(t)f IV (t)dt
unde
K2(t) = 1
(b−t)
3!
4
−
4
b−a
(a−t)
6
3 + +4
a+b
2 −t
3 +(b−t)
+
3
+
⎧
(b−t)
⎪⎨
4
−
4
b−a
a+b
4
6 2 −t
3 +(b−t) 3
t ∈ a, a+b
2
9b−t) 4
4
− b−a
6 (b−t)3
Se verifică că pentrut ∈ [a,b], K2(t) ≤ 0
R2(f) = 1
4! fIV (ξ)R(e4) = 1
= 1
24 fIV (ξ)(b−a)
24 fIV (ξ)
b 5 −a 5
b 4 +b 3 a+b 2 a 2 +ba 3 +b 4
= − 4a4 +a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 +4b 4
24
5
5
− b−a
6
−
= fIV (ξ)
(b−a)
24
−a4 +4a3b−6a 2b2 +4ab3 −b4 120
=
t ∈
a+b
2 ,b
a 4
a+b
+4
2
= − (b−a)5
2880 fIV (ξ)
4
+b 4
=