Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

126 Aproximarea funct¸ionalelor liniare
4·(9.2)−(9.3) ⇒
ξ ∈ (x0 −2h,x0 +2h)
3f ′ (x0) = 2
h [f(x0 +h)−f(x0 −h)]−
− 1
4h [f(x0 +2h)−f(x0 −2h)]− h4
30 f(5) ( ξ)+ 2h4
15 f(5) ( ξ)
f ′ (x0) = 1
12h [f(x0 −2h)−8f(x) −h)+8f(x0+h)−f(x0+h)]+ h4
30 f(5) (ξ)
(am obt¸inut o formulă cu 5 puncte).
Problema 9.1.6 Pornind de la formula
f ′ (x0) = 1
h [f(x0 +h)−f(x0)]− h
2 f′′ (x0)− h2
6 f′′′ (x0)+O(h 3 )
deducet¸i o formulăO(h 3 ) folosind extrapolarea.
Solut¸ie.
f ′ (x0) = 1
12h [f(x0 +4h)−18f(x0 +2h)+32f(x0 +h)−21f(x0)]+O(h 3 )
Problema 9.1.7 Să presupunem că avem tabela de extrapolare
N1(h)
h
N1
N2(h) 2
h
N3(h)
N1
4
N2
h
2
construită pentru a aproximaM cu formula
M = N1(h)+K1h 2 +K2h 4 +K3h 6
a) Arătat¸i că polinomul liniar de interpolare P0,1(h) ce trece prin punctele
(h2 ,N1(h)) s¸i (h2 /4,N1(h/2))
satisfaceP0,1(0) = N2(h).
h
La fel P1,2(0) = N2 , 2
b) Arătat¸i că polinomul P0,2(h) ce trece prin (h4
h4 ,N2(h)) s¸i 16 ,N2
h
2
satisfaceP0,2(0)
= N3(h).
Generalizare.