Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

2.1. Spat¸ii metrice, spat¸ii Banach, spat¸ii Hilbert 9
Propozit¸ia 2.1.5 U continuu în x0 ∈ X ⇔ U continuu pe X. ( ⇒ ) Fie (xn),
xn → x (x,xn ∈ Ω)
( ⇐)evidentă.
xn = [x0 +(xn −x)]+(x−x0)
x0 +xn −x → x0
Uxn = U[x0 +(xn −x)]+U(x−x0) → U(x0)+U(x−x0)
Definit¸ia 2.1.6 U ∈ L(X,Y), X,Y spat¸ii liniare normate. U mărginit dacă
existăC ∈ R astfel încât
Teorema 2.1.7 U continuu ⇔ U mărginit.
∀x ∈ X Ux ≤ Cx (2.3)
Demonstrat¸ie.(⇒) U continuu, fieC0 = sup Ux < ∞ Într-adevăr dacă
x
x∈X
C0 = ∞, atunci există(xn) (xn ∈ X, xn = 1) astfel încâtλn = Uxn → ∞.
Fie (x ′ n ) x′ xn
n = x 2n ′ (cont)
n → 0 =⇒ Ux ′ n → 0, dar Ux′ n = 1 contradict¸ie. Fie
x = 0; x ∈ X s¸i x ′ = x
x ⇒ x′ = 1 Ux ′ ≤ C0; dar Ux ′ = 1
xUx Ux ≤ C0x, deci (2.3) este adevărată pentru C = C0. ( ⇐ ) (2.3) ⇒ U
continuă în 0 ⇒ U continuu peX.
În (2.3) luămC = C0 = U.
Ux ≤ Ux (2.4)
Dacă am stabilit o inegalitate de tipul (2.3) pentru un anumitC, atunciU ≤ C.
Să arătăm că Lc(X,U) ≤ L(X,Y) s¸i că este normat. Fie U1,U2 ∈ Lc(X,Y),
U = U1+U2. AvemUx ≤ U1x+U2x ≤ (U1+U2) s¸iλu = |λ|U.
U = 0 ⇒ Ux = 0 ∀x ∈ X ⇒ U = 0
Completitudinea(Un) Cauchy ⇒ ∀ ε > 0 ∃Nε : ∀m,n ∈ Nε
Um −Un < ε (2.5)
∀x ∈ X Umx−Unx < εx ⇒ (Unx) Cauchy (2.6)
complet.lui Y
=⇒ ∃Ux = lim
n→∞ Unx (x ∈ X); (2.5) ⇒ Ux−Unx = lim
m→∞ Umx−
Unxl ≤ εx ⇒ V = U −Un ∈ B(X,Y) ⇒ U = V +Un ∈ B(X,Y) (2.6)
⇒ U −Un ≤ ε ⇒ Un → U