Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

9.1. Derivare numerică 125
Solut¸ie. Se aplică formula lui Taylor
f(x0 +h) = f(x0)+4f ′ (x0)+ 1
2 h2 f ′′ (x0)+ 1
6 f′′′ (x0)+ 1
24 h4 f (4) (ξ1)
f(x0 −h) = f(x0)−hf ′ (x0)+ 1
2 h2 f ′′ (x0)− 1
6 f′′′ (x0)+ 1
24 h4 f (4) (ξ2)
f(x0 +h)−f(x0 −h) = 2f(x0)+h 2 f ′′ (x0)+ 1
24 [f(4) (ξ1)+f (4) (ξ2)]
f ′′ (x0) = 1
h 2[f(x0 +h)−2f(x0)+f(x0 −h)]− h2
12 f(4) (ξ2)
Problema 9.1.4 Stabilit¸i formula
f ′ (x0) = 1
24 [f(x0 +h)−f(x0 −h)]− h2
6 f(3) (ξ), ξ ∈ (x0 −h,x0 +h)
Solut¸ie. Cu Taylor
Problema 9.1.5 (Aplicarea extrapolării Richardson) Pornind de la formula
f ′ (x0) = 1
24 [f(x0 +h)−f(x0 −2h)]− h2
6 f′′′ (x0)− h4
120 f(5) (ξ)
obt¸inet¸i o formulăO(h 4 ) folosind extrapolarea Richardson.
Solut¸ie. Să stabilim întâi formula de pornire
+ 1
f(x) = f(x0)−f ′ (x0)(x−x0)+ 1
2 f′′ (x0)(x−x0) 2 +
6 f′′′ (x0)(x−x0) 3 + 1
24 f(4) (x0)(x−x0) 4 + 1
120 f(5) (ξ)(x−x0) 5
Scăzând dezvoltările lui f(x0 +h) s¸i f(x0 −h) obt¸inem
f ′ (x0) = 1
2h [f(x0 +h)−f(x0 −h)]− h2
6 f′′′ (x0)− h4
120 f(5)( ξ1), (9.2)
Făcând în (9.2)h = 2h avem
ξ ∈ (x0 −h,x0 +h)
f ′ (x0) = 1
4h [f(x0 +2h)−f(x0 −2h)]− 4h2
6 f′′′ (x0)− 16h4
120 f(5) ( ξ) (9.3)