Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

124 Aproximarea funct¸ionalelor liniare
f(x3) = 1
h4
[−f(x0)+6f(x1)−18f(x2)+10f(x3)+3f(x4)]−
12h 20 f(5) (ξ3)
f(x4) = 1
h4
[3f(x0)−16f(x1)+36f(x2)−48f(x3)+25f(x4)]+
124 4 f(5) (ξ4)
Problema 9.1.2 Să se construiască o formulă de forma
cu gradul de exactitater = 2.
Solut¸ie. ⎧ ⎨
Restul cu Peano x0 < x1
f ′ (α) = A0f(x0)+A1f(x1)+(Rf)(α)
⎩
A0 +A1 = 0
A0x0 +A1x1 = 1
A0x2 0 +A1x2 1 = 2α
⇒ A1 = −A0 =
(Rf)(α) =
x1 = 2α−x0
x1
x0
1
2(α−x0)
K2(s)f ′′′ (s)ds
K1(s) = (α−s)+ − (x1 −s) 2
4(α−x0) =
1 (s−x0)
= −
4(α−x0)
2 s ≤ α
(x1 −s) 2 ≤ 0
s > α
K2(s) ≤ 0, s ∈ [x0,x1], α > x0, f ∈ C 3 (x0,x1)
(Rf)(α) = f ′′′ (ξ)
x1
x0
2 (α−x0)
K2(s)ds = −
6
f ′′′ (ξ ′ )
f ′ 1
(α−2)2
(α) = − [2f(2α−2)−f(2)]− f
2(α−2) 6
′′′ (ξ)
λ ∈ R, λ = α, α = x0 +x1
2
S-a obt¸inut o familie de formule de derivare numerică.
Problema 9.1.3 Arătat¸i că
f ′′ (x0) = 1
h 2[f(x0 −h)−2f(x0)+f(x0 +h)]− h2
12 f(4) (ξ)
undef ∈ C 4 [x0 −h,x0 +h], ξ ∈ (x0 −h,x0 +h)