Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

120 Operatori liniari s¸i pozitivi
cu (Mmf)(1) = f(1).
Să se arate că pentru oricef ∈ [0,1] avem
lim
m→∞ Mmf = f uniform pe orice interval de forma[0,a), 0 < a < 1.
Solut¸ie.Mm liniar s¸i pozitiv
(1−v) −α =
∞
α+k −1
v
k
k
k=0
Punând α = m+1 s¸iv = x găsim
Apoi
=
k=1
k=0
(|v| < 1)
∞
m+k
x
k
k (1−x) m+1 = Mm(1;x) = 1
Mm(t;x) =
∞
m+k
k=1
∞
m+k −1
x
k −1
k (1−x) m+1 = x
T.B.P.K. ⇒ conv. uniformă
k
k
m+k xk (1−x) m+1 =
∞
m+j
x j (1−x) m+1 = x
k=0
x 2 ≤ Mm(t 2 ;x) ≤ x 2 + x(1−x)
m+1
Problema 8.3.3 (Operatorul lui Baskakov) Fie f : R → R mărginită s¸i operatorul
∞
m+k −1 x
(Lmf)(x) =
k
k
(1+x) m+kf
k
m
k=0
Să se arate că dacă f ∈ C[0,1] avem limm→∞Lmf = f uniform pe [0,a],
0 < a < ∞.
Solut¸ie. Lucrând cu seria binomială în care se iaα = n, v = x se obt¸ine 1+x
Lm(1;x) = 1 Lm(t;x) = x
Lm(t 2 ;x) = x 2 + x(x+1)
m
T.B.P.K. ⇒ conv. uniformă.
j