Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

8.3. Alt¸i operatori liniari s¸i pozitivi 119
8.3 Alt¸i operatori liniari s¸i pozitivi
Problema 8.3.1 (operatorul lui Fejer) Se obt¸ine din polinomul de interpolare
Hermite cu noduri duble rădăcini ale polinomului Cebâs¸ev de spet¸a I, Tm+1.
xk = cos
(H2m+1)(x) =
2k +1
π k = 0,m
2(m+1)
m
hk0(x)f(x)+
k=0
m
hk1(x)f ′ (x)
omit¸ând a doua sumă sau considerând echivalentf ′ (xk) = 0, k = 0,n
Solut¸ie.
(F2m+1)(x) =
k=0
m
hk(x)f(xk)
k=0
Tm+1(x)
hk(x) = hk0(x) = (1−xkx)
(m+1)(x−xk)
F2m+1((t−x) 2 ;x) =
=
F2m+1f ⇉ f pe [−1,1]
F2m+1(1;x) = 1 x ∈ [−1,1]
m
Tm+1(x)
(1−xkx)
(m+1)(x−xk)
n=0
1
(m+1) 2T2 m+1(x)
m
k=0
2
2
(xk −x) 2 =
(1−xkx) = 1
m+1 T2 m+1(x) ≤ 1
m+1
căci m
k=0 xk = 0.
Deci,
lim
m→∞ F2m+1((t−x) 2 ;x) = 0 uniform pe [−1,1]
Problema 8.3.2 (Operatorul lui Meyer-König s¸i Zeller) Fie B[0,1) spat¸iul liniar
al funct¸iilor reale definite s¸i mărginite pe[0,1).
Se defines¸te operatorul lui Meyer-König s¸i Zeller Mm : B[0,1) → C[0,1)
pentru oricex ∈ [0,1] prin egalitatea
(Mmf)(x) =
m
m+k
x
k
k (1−x) m+1
k
f
m+k
k=0