Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

8 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
1
2 k
|x (n)
k −x(0)
k |
1+|x (n)
k −x(0)
Din (2.1) rezultă că în
xn → x0 ⇔ lim x
n→∞ (n)
n = x(0)
k
k | ≤ d(xn,x0) → 0 ⇒ x (n)
k
S =
∞
k=1
1
2 k
|x (n)
k −x(0)
k |
1+|x (n)
k −x(0)
k |
→ x(0)
k
∀k ∈ N
(2.1)
se poate trece la limită termen cu termen deoarece S este uniform convergentă
(este majorată de seria numerică ∞ 1
k=1 2k ) fiecare termen tinzând la zero rezultă
d(xn,x0) → 0. Dacă(xn) este s¸ir Cauchy, atunci fiecare componentă este Cauchy.
= lim , k ∈ N.
Fiex (0)
k
n→∞ x(n)
k
x0 = (x (0)
1 ,...,x (0)
k ,...), xn → x0.
Observat¸ia 2.1.2 s este un spat¸iu vectorial topologic.
Problema 2.1.3 Asemănător se arată că C(K) este complet.
Demonstrat¸ie. Fie(xn) un s¸ir Cauchy înC(K).∀ε > 0∃Nε a.î.∀m,n ≥ Nε
d(xm,xn) = max
t∈K |xm(t)−xn(t)| < ε
∀t ∈ K |xm(t)−xn(t)| < ε (2.2)
Fixăm t ∈ K (xn(t)) s¸ir numeric Cauchy ⇒ ∃ lim
n→∞ xn(t) = x0(t) x0 ∈ C(K)?
xn → x0. Trecând la limită când m → ∞ în (2.2) obt¸inem
|x0(t)−xn(t)| ≤ ε
xn ⇉ x0 ⇔ xn → x0 înC(K) ⇒ x0 continuă
Problema 2.1.4 Spat¸iul Lc(X,Y) = B(X,Y) al aplicat¸iilor liniare s¸i continue
definite pe X cu valori în Y , unde X s¸i Y sunt spat¸ii liniare normate, este un
spat¸iu liniar normat. Dacă Y este spat¸iu Banach atunci s¸i Lc(X,Y) este spat¸iu
Banach.
Solut¸ie. FieU ∈ L(X,Y).