Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

114 Operatori liniari s¸i pozitivi
8.2 B-spline
∆ : t0 ≤ t1 ≤ ··· ≤ tk ≤ a ≤ ··· ≤ b ≤ tn ≤ ··· ≤ tn+k
multiplicitateari +1 ≤ k +1
Foarte frecvent avem
t0 = t1 = ··· = tk = a < tk+1 ≤ ··· ≤ tn−1 < b = tm = ··· = tn+k
1 dacăx ∈ [ti,ti+1]
Bi,0(x) =
0 în caz contrar
⎧
⎨ x−ti
dacăti < ti+k
ωi,k(x) = ti+k −ti
⎩
0 în caz contrar
(8.2)
Bi,k(x) = ωi,k(x)Bi,k−1(x)+(1−ωi+1,k(x))Bi+1,k−1(x) (8.3)
Bi,k(x) = (ti+k+1 −ti)[ti,...,ti+k+1,(·−x) k + ]
Problema 8.2.1 Să se scrie expresia funct¸iilor B-spline de grad 3 cu nodurile
{ti = i|i ∈ Z}
Solut¸ie. Avem
Bi,k(x) = Bj+l,k(x+l),
s¸i deci este suficient să determinăm un singur spline.
Bj,k(x) = ωi,k(x)Bi,k−1(x)+(1−ωi+1,k(x))Bi+1,k−1(x) =
= x−i
i+k −i Bi,k−1(x)+
x−i−1
1−
i+1+k −i−1
= x−i k +i+1−x
Bi,k−1(x)+ Bi+1,k−1(x)
k k
Bj+l,k(x+l) =
Bi+1,k−1(x) =
x+l −j −l
i+l+k −i−l Bi+l,k−1(x+l)+
x+l−i−l −1
1−
Bi+l+1,k−1 =
i+l +1+k −i−l−1
= x−i
k
k −i−1−x
Bi+l,k−1(x+l)− Bi+l+1,k−1(x+l)
k
B0,3(x) = ω0,3(x)B0,2(x)+(1−ω1,3(x))B1,2(x)) = 1
3 [xB0,2(x)+(4−x)B1,2(x)]
B0,2(x) = ω0,2(x)B0,1(x)+(1−ω1,2(x))B1,1(x) = 1
2 [xB0,1(x)+(3−x)B1,1(x)]