Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

8.1. Operatorul lui Bernstein 111
Problema 8.1.3 Să se arate că pentruf(t) = cost avem
(Bmf)
x,− π
2
Solut¸ie. Se foloses¸te identitatea
π
, =
2
1
cos
2
π
2m +i2x
m π
sin +
π 2m
+ 1
cos
2
π
2m −i2x
m π
sin
π 2m
cosx = 1
2 (eix +e −ix )sinx = 1
2i (eix −e −ix )
Problema 8.1.4 Să se arate că dacăf este convexă pe[0,1] atunci are loc inegalitatea
f(x) ≤ (Bmf)(x) pe [0,1]
Solut¸ie.
f convexă Jensen
⇒ f
m
αk ∈ [0,1],
k=0
m
f pmk(x)
k=0
k
≤
m
x
Problema 8.1.5 Dacă f ∈ C r [0,1] atunci
Solut¸ie. Se arată întâi că
lim
m→∞ (Bmf) (r) = f (r)
(Bmf) (r) (x) = m [r]
m−r
n=0
αkxk
≤
m
αk = 1
k=0
m
αkf(xk)
k=0
m
pm,k(x)f
k=0
k
m
uniform pe [0,1]
pm−r,k(x)∆ r
k
1 f , (8.1)
m m