Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

Capitolul 2
Elemente de Analiză funct¸ională s¸i
teoria aproximării
2.1 Spat¸ii metrice, spat¸ii Banach, spat¸ii Hilbert
Problema 2.1.1 Spat¸iulsal s¸irurilor numerice în care distant¸a dintre
x = (x1,x2,...,xk,...) s¸i y = (y1,y2,...,yk,...) este dată de
d(x,y) =
este un spat¸iu metric complet.
∞
k=1
1
2k |xk −yk|
1+|xk −yk|
Solut¸ie. Pozitivitatea s¸i simetria se verifică imediat. Inegalitatea triunghiului:
este crescătoare pentru λ ≥ 0, de unde
funct¸iaϕ(2) = λ
λ+1
|α+β| |α|+|β|
≤
1+|α+β| 1+|α|+|β|
d(x,y) =
=
∞
k=1
∞
k=1
1
2k |xk −yk|
1+|xk −yk|
1
2k |xk −zk|
1+|xk −zk| +
= d(x,z)+d(y,z)
|α| |β|
≤ +
1+|α| 1+|β|
∞
k=1
1
2k |zk −yk|
1+|zk −yk|
Completitudinea: Convergent¸a însînseamnă convergent¸a pe componente.
xn = (x (n)
1 ,x(n)
2 ,...,x(n)
k ,...), x0 = (x (0)
1 ,x(0)
2 ,...,x(0)
k ,...)
7