Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

Capitolul 7
Aproximări în medie pătratică
Se pune problema să se aproximeze o mult¸ime de date (xi,yi), i = 1,m, yi =
f(xi) printr-o funct¸ie F care se exprimă ca o combinat¸ie liniară a unor funct¸ii
g1,...,gn liniar independente astfel încât
în cazul continuu sau
b
a
w(x)[f(x)−F(x)] 2 dx
m
w(x)[f(xi)−F(xi)] 2
i=0
1/2
1/2
→ min,
→ min
în cazul discret (principiul celor mai mici pătrate).
Dacă f(xi)−F(xi) = 0, i = 0,m ajungem la interpolarea clasică.
P.c.m.m.p. constă în determinarea unui e.c.m.b.a în L 2 w[a,b] adică g ∗ ∈ A ⊂
L 2 w[a,b] astfel încât
Dacă A este spat¸iu liniar
Punând g =
n
λigi, g ∗ =
i=1
f −g ∗ = minf
−g
g∈A
〈f −g ∗ ,g〉 = 0, ∀g ∈ A. (7.1)
n
i=1
λ ∗ igi
(7.1) ⇔ 〈f −g ∗ ,gk〉 = 0, k = 1,n ⇔
n
λi〈gi,gk〉 = 〈f,gk〉, k = 1,n. (7.2)
i=1
103