Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

6.6. Interpolare spline 99
s3(x) = − 1
2 x+2
x 3
+ −2 x− 1
3 +(x−1)
2
3
+
Pentru rest folosim teorema lui Peano
ϕ(x,t) =
(Rf)(x) =
b
1
(x−t)
(m−1)!
m−1
+ −
= (x−t)+ −
a
ϕ(x;t)f (m) (t)dt
3
si(x)(xi −t)+ =
i=1
3
si(x)(xi −t)+ =
i=1
1
= (x−t)+ −s1(x)(−t)+ −s2(x)
2 −t
+
−s3(1−t)+
Problema 6.6.3 Fie funct¸ia f(x) = sinπx s¸i nodurile x0 = 0, x1 = 1
6 , x2 =
1
2 , x3 = 1.
Să se determine o funct¸ie spline naturală s¸i o funct¸ie spline limitată (racordată)
care aproximează pef.
Solut¸ie. Vom rezolva un sistem liniar de formaAx = b.
Pentru funct¸ia spline naturală avem:
⎡
⎢
A = ⎢
⎣
1 0 0 ... ... 0
h0 2(h0 +h1) h1 ... ... 0
0 h1 2(h1 +h2) h2 ... 0
... ... ... ... ... ...
... ... hn−2 2(hn−1 +hn+1) hn−1
0 ... ... 0 0 1
⎡
⎢
b = ⎢
⎣
3
hn−1
0
3
(an −a1)− 3
(a1 −a0)
h1
h0
.
(an −an−1)− 3
0
(an−1 −an−2)
hn−2
⎤
⎥
⎥.
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦