Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

6.6. Interpolare spline 97
Demonstrat¸ie. f ∈ C m [a,b] ⇒ f (m) ∈ [a,b] ⇒ f (m) poate fi aproximată
uniform pe [a,b] printr-o funct¸ie în scară, continuă la dreapta s¸i discontinuă în
x1,x2,...,xn ∈ [a,b], notată cu hm.
Fie problema diferent¸ială
s (m) (x) = hm(x), x ∈ [a,b]
s (r) (a) = f (r) (a), r = 0,m−1
Solut¸ia acestei probleme pe[a,b] este
s(x) = f(a)+(x−a)f ′ (a)+···+ (x−a)m−1
(m−1)! f(m−1) x
(x−t)
(a)+
a
m−1
(m−1)! hm(t)dt
(6.2)
s este o funct¸ie spline de grad m căci
s|(xi,xi+1) ∈ Pm−1, s ∈ C m−1 [a,b]
f ∈ C m [a,b] ⇒
f(x) = f(a)+(x−a)f ′ (a)+···+ (x−a)m−1
(m−1)! f(m−1) x
(a)+
a
(6.2), (6.3) ⇒ f (r) (x) − s (r) (x) = x
a
0,m−1
f (r) −s (r) ∞ ≤ (b−a)m−r
(x−t) m−1
(m−1)! f(m) (t)dt
(6.3)
(x−t) m−r−1
(m−r−1)! [f(m) (t) − hm(t)]dt, r =
(m−r)! f(m) −hm ∞, r = 0,m−1
Problema 6.6.2 Fiea,b ∈ R, a < 0, b > 1, f : [a,b] → R s¸tiind căf ∈ C 1 [a,b]
s¸i cunoscând f(0),f
1
2