Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

96 Interpolare
G0 = 1 G1(x) = f(x0)
H0 = 0 H1(x) = 1
Gk+1(x) = rk(xk)Gk(x)+(x−xk−1)Gk−1(x)
Pentru calculul diferent¸elor divizate inverse se construies¸te tabelul
x0 v00
x1 v10 v11
x2 v20 v21 v22
... ... ... ...
. ..
xi vi0 vi1 vi2 ... vii
... ... ... ... ... ...
. ..
xn vm0 vm1 vm2 ... vmi ... vmm
vi0 = f(xi) vik =
În cazul nostru
0 1
1
1 2 2
1 −2 −1
2
3 −3
1
2
F2(x) = f(x0)+
Restul are expresia
xi −xk−1
vi,k−1 −vk−1,k−1
v1,1 = x1 −x0
v1,0 −v0,0
v2,1 = x2 −x1
v2,1 −v1,1
(Rmf)(x) =
x−x0
v11 + x−x1
v22
6.6 Interpolare spline
=
1
2 −0
2
3 −1
= − 3
2
= −2, v2,2 = x2 −x1
v2,1 −v1,1
= 1+
− 3
2 +
x
k = 1,i i = 1,m
x− 1
2
−1
= −1
= 1
x+1
(−1) m u(x)
Hm+1(x)[vm+1(x)Hm+1(x)+(x−xm)Hm(x)] .
Problema 6.6.1 Arătat¸i că orice funct¸ie f ∈ C m [a,b] poate fi aproximată uniform,
împreună cu derivatele ei până la ordinul m printr-o funct¸ie spline de gradulm,
derivatele ei respectiv prin derivatele funct¸iei spline până la ordinulm.