Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a
Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a
Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Culegere</strong> <strong>de</strong> <strong>probleme</strong> <strong>de</strong> Analiză numerică<br />
Radu Tiberiu Trîmbit¸as¸<br />
8 noiembrie 2012
Cuprins<br />
Prefat¸ă 1<br />
1 Formula lui Taylor s¸i aplicat¸ii 2<br />
2 Elemente <strong>de</strong> Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării 7<br />
2.1 Spat¸ii metrice, spat¸ii Banach, spat¸ii Hilbert . . . . . . . . . . . . 7<br />
2.2 Spat¸ii Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
2.2.1 Funct¸ionale liniare în spat¸ii Hilbert . . . . . . . . . . . . 13<br />
2.3 Serii Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2.4 Polinoame ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
2.4.1 Calculul polinoamelor ortogonale . . . . . . . . . . . . . 18<br />
2.4.2 Exemple <strong>de</strong> polinoame ortogonale . . . . . . . . . . . . . 20<br />
3 Teoria erorilor 35<br />
3.1 Erori absolute s¸i relative. Cifre semnificative corecte . . . . . . . 36<br />
3.2 Propagarea erorilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
3.3 Erorile pentru vectori s¸i operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
3.4 Aritmetică în virgulă flotantă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
3.5 Condit¸ionarea unei <strong>probleme</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
4 Rezolvarea numerică a sistemelor algebrice liniare 54<br />
4.1 Descompunere LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
4.2 Descompunere LUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />
4.3 Sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<br />
5 Calculul cu diferent¸e 67<br />
6 Interpolare 78<br />
6.1 Interpolare polinomială . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78<br />
6.2 Interpolare Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82<br />
6.3 Interpolare Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br />
ii
CUPRINS iii<br />
6.4 Interpolare Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91<br />
6.5 Interpolare rat¸ională . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93<br />
6.6 Interpolare spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96<br />
7 Aproximări în medie pătratică 103<br />
8 Operatori liniari s¸i pozitivi 110<br />
8.1 Operatorul lui Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110<br />
8.2 B-spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
8.3 Alt¸i operatori liniari s¸i pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119<br />
9 Aproximarea funct¸ionalelor liniare 122<br />
9.1 Derivare numerică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122<br />
9.2 Formule <strong>de</strong> integrare numerică <strong>de</strong> tip Newton-Cotes . . . . . . . . 127<br />
9.2.1 Formule Newton-Cotes închise . . . . . . . . . . . . . . . 127<br />
9.2.2 Formule Newton-Cotes <strong>de</strong>schise . . . . . . . . . . . . . . 130<br />
9.3 Alte formule <strong>de</strong> tip interpolator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132<br />
9.4 Cuadraturi repetate. Metoda lui Romberg . . . . . . . . . . . . . 141<br />
9.5 Formule <strong>de</strong> cuadratură <strong>de</strong> tip Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 142<br />
10 Ecuat¸ii neliniare 151<br />
10.1 Ecuat¸ii înR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151<br />
10.2 Sisteme neliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161<br />
11 Rezolvarea numerică ecuat¸iilor diferent¸iale 164
iv CUPRINS
Prefat¸ă<br />
Aici ar veni prefat¸a.<br />
1
Capitolul 1<br />
Formula lui Taylor s¸i aplicat¸ii<br />
Fie I un interval s¸i f : I → R o funct¸ie <strong>de</strong>rivabilă <strong>de</strong> n ori în punctul a ∈ I.<br />
Polinomul<br />
(Tnf)(x) = f(a)+ x−a<br />
1! f′ (a)+···+ (x−a)n<br />
f<br />
n!<br />
(n) (a)<br />
se numes¸te polinomul lui Taylor <strong>de</strong> gradul n, atas¸at funct¸iei f în punctula.<br />
Cantitatea<br />
(Rnf)(x) = f(x)−(Tnf)(x)<br />
se numes¸te restul <strong>de</strong> ordinulnal formulei lui Taylor în punctulx.<br />
Formula<br />
f(x) = (Tnf)(x)+(Rnf)(x)<br />
sau<br />
f(x) = f(a)+ x−a<br />
1!<br />
f(a)+ (x−a)2<br />
2!<br />
f ′′ (a)+···+ (x−a)n<br />
f<br />
n!<br />
(n) (a)+(Rnf)(x)<br />
se numes¸te formula lui Taylor <strong>de</strong> ordinul n pentru funct¸ia f în vecinătatea punctuluia.<br />
Pentru rest avem<br />
(Rnf)(x) = (x−a)n<br />
ω(x), cu limω(x)<br />
= 0.<br />
n! x→a<br />
Dacăf ∈ C n+1 (I), atunci ∃θ ∈ (0,1) astfel încât<br />
(restul în forma lui Lagrange)<br />
(Rnf)(x) = (x−a)n+1 f (n+1) [a+θ(x−a)]<br />
(n+1)!<br />
(Rnf)(x) = (x−a)n+1 (1−θ) n f (n+1) [a+θ(x−a)]<br />
n!<br />
2
(restul în forma lui Cauchy)<br />
(Rnf)(x) =<br />
b<br />
a<br />
(x−t) n<br />
f<br />
n!<br />
(n+1) (t)dt<br />
(restul în formă integrală.<br />
Dacă în formula lui Taylor se iaa = 0, se obt¸ine formula lui MacLaurin<br />
un<strong>de</strong><br />
f(x) = f(0)+xf ′ (0)+···+ xn<br />
n! f(n) (0)+(Rnf)(x),<br />
(Rnf)(x) = xn+1<br />
(n+1)! f(n+1) (θx), θ ∈ (0,1).<br />
Dăm formulele lui Taylor (MacLaurin) pentru câteva funct¸ii uzuale<br />
e x = 1+x+ x2<br />
2!<br />
sinx = x− x3<br />
3!<br />
cosx = 1− x2<br />
2!<br />
+···+ xn<br />
n! +Rn(x); (1.1)<br />
+ x5<br />
5!<br />
+ x4<br />
4!<br />
+···+(−1)n x2n+1<br />
(2n+1)! +R2n+1(x); (1.2)<br />
+···+(−1)n x2n<br />
(2n)! +R2n(x); (1.3)<br />
x3 xn<br />
+ +···+(−1)n<br />
ln(1+x) = x− x2<br />
2 3 n+1 +Rn+1(x); (1.4)<br />
(1+x) k <br />
k k<br />
= 1+ x+ x<br />
1 2<br />
2 <br />
k<br />
+···+ x<br />
n<br />
n +Rn(x), (1.5)<br />
un<strong>de</strong> <br />
k<br />
=<br />
n<br />
k(k −1)...(k −n+1)<br />
Aplicat¸ii<br />
.<br />
n!<br />
I. La <strong>de</strong>terminarea punctelor <strong>de</strong> extrem s¸i inflexiune ale unor funct¸ii.<br />
Teorema 1.0.1 Fief : I → R s¸i a ∈ I. Dacă f admite <strong>de</strong>rivată <strong>de</strong> ordinul<br />
n peI, continuă peI, s¸i dacă<br />
atunci<br />
f ′ (a) = f ′′ (a) = ··· = f (n−1) (a) = 0 s¸i f (n) (a) = 0<br />
• dacăn = 2k s¸i f (n) (a) < 0, atunciaeste un punct <strong>de</strong> maxim relativ;<br />
• dacăn = 2k s¸i f (n) (a) > 0, atunciaeste un punct <strong>de</strong> minim relativ;<br />
3
4 Formula lui Taylor s¸i aplicat¸ii<br />
• dacă n = 2k +1s¸i a este un punct interior, atunci a este un punct <strong>de</strong><br />
inflexiune.<br />
II. Calculul aproximativ al funct¸iilor în unul din următoarele moduri:<br />
(a) Fiind dat un punctx ∈ I, să se <strong>de</strong>termine un număr naturaln(cât mai<br />
mic posibil) astfel încât<br />
|f(x)−(Tnf)(x)| < ε.<br />
(b) Să se <strong>de</strong>termină n astfel încât inegalitatea |f(x) − (Tnf)(x)| < ε să<br />
fie satisfăcută în toate punctele unui interval.<br />
(c) Fiind dat un număr natural n să se <strong>de</strong>termine intervalul în care are loc<br />
inegalitatea anterioară.<br />
III. La calculul unor limite.<br />
IV. La <strong>de</strong>ducerea unor meto<strong>de</strong> numerice.<br />
Problema 1.0.2 Să se scrie formula lui MacLaurin pentru funct¸iaf : [−a,∞) →<br />
R,f(x) = √ a+x,a > 0.<br />
Solut¸ie. Scriem f(x) = √ a+x = √ a 1+ x<br />
<br />
; se obt¸ine a<br />
f(x) = √ <br />
a<br />
1+ 1<br />
2<br />
x 1<br />
+(−1)1<br />
a 22 1<br />
2!<br />
<br />
x<br />
2 2 1<br />
+(−1)<br />
a 23 +(−1) n−11·3·5...(2n−3)<br />
n!2 n<br />
1<br />
<br />
x<br />
3! a<br />
<br />
x<br />
a<br />
3<br />
n<br />
+...<br />
<br />
+(Rnf)(x) .<br />
Problema 1.0.3 Să se scrie formula lui MacLaurin pentru funct¸ia f : R → R,<br />
f(x) = arctanx. Care este raza <strong>de</strong> convergent¸ă?<br />
Solut¸ie. Pornim <strong>de</strong> la<br />
Folosind apoi formula<br />
(arctanx) ′ = 1 1<br />
=<br />
1+x 2 2i<br />
<br />
1 1<br />
− .<br />
x−i x+i<br />
dn dxn <br />
1<br />
=<br />
x+a<br />
(−1)nn! (x+a) n+1,
se obt¸ine pentru valoarea <strong>de</strong>rivatei <strong>de</strong> ordinuln+1în 0<br />
(arctanx) (n+1) = x=0 1<br />
2i (−1)n <br />
1 1<br />
n! −<br />
(x−i) n+1 (x+i) n+1<br />
<br />
x=0<br />
=<br />
(−1) n+1 <br />
1 1<br />
n! −<br />
(−i) n+1 (i) n+1<br />
<br />
= (−1) n+1 n!sin(n+1) π<br />
2 .<br />
Formula MacLaurin corespunzătoare este<br />
arctanx = x− x3<br />
3<br />
Raza <strong>de</strong> convergent¸ă este<br />
+ x5<br />
5<br />
R = lim<br />
n→∞<br />
+... x2n+1<br />
2n+1 +(Rn+1f)(x).<br />
an<br />
an+1<br />
= 1.<br />
Problema 1.0.4 Să se <strong>de</strong>termine punctele <strong>de</strong> maxim s¸i <strong>de</strong> minim ale următoarelor<br />
funct¸ii:<br />
a) f : − 1<br />
<br />
1<br />
6 3 , → R,f(x) = 2x −x +3;<br />
2 2<br />
b) f : R → R, f(x) = 2cosx+x 2 .<br />
Solut¸ie.<br />
a) f ′ (x) = 12x 5 −3x 2 = 3x 2 (4x 3 −1) are rădăcinile realex1,2 = 0 s¸ix3,4,5 =<br />
1<br />
3√ 4 .<br />
f ′′ (x) = 60x 4 −6x, f ′′ (0) = 0,<br />
f ′′′ (x) = 240x 3 −6 = 6(40x 3 −1), f ′′′ (0) = −6 ⇒ 0 punct <strong>de</strong> inflexiune.<br />
Funct¸ia nu are puncte <strong>de</strong> extrem pe − 1<br />
2<br />
, 1<br />
2<br />
b) f ′ (x) = −2sinx+x = 2(x−sinx), f ′ (0) = 0,<br />
f ′′ (x) = −2cosx+2 = 2(1−cosx), f ′′ (0) = 0<br />
f ′′′ (x) = 2sinx, f ′′′ (0) = 0,<br />
f IV (x) = 2cosx, f IV (0) = 2.<br />
x = 0 este punct <strong>de</strong> minim s¸i f(0) = 2.<br />
Problema 1.0.5 Să se <strong>de</strong>termine numărul natural n astfel ca pentru a = 0 s¸i<br />
f : R → R, f(x) = e x Tnf să aproximezef în[−1,1] cu trei zecimale exacte.<br />
.<br />
5
6 Formula lui Taylor s¸i aplicat¸ii<br />
Solut¸ie. Impunem condit¸ia<br />
<br />
<br />
|(Rnf)(x)| = <br />
x<br />
<br />
n+1eθx <br />
<br />
<br />
(n+1)! < 10−3 .<br />
Deoarece θx < 1,eθx < e < 3, avem<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
<br />
n+1<br />
(n+1)! eθx<br />
<br />
<br />
<br />
<<br />
3<br />
(n+1)! < 10−3 ⇒ n = 6.<br />
În particular, luândx = 1, obt¸inem<br />
<br />
e− 1+ 1<br />
<br />
1<br />
+···+<br />
1! 6!<br />
< 1<br />
1000 .<br />
Problema 1.0.6 Să se aproximeze 3√ 999 cu 12 zecimale exacte.<br />
Solut¸ie. Avem<br />
<br />
3√<br />
999 = 10 1− 1<br />
1<br />
3<br />
.<br />
1000<br />
Folosim formula (1.5) pentru k = 1/3, x = − 1 . Într-o serie alternată modulul<br />
1000<br />
erorii este mai mic <strong>de</strong>cât modulul primului termen neglijat.<br />
<br />
<br />
1<br />
|(Rnf)(x)| < 3<br />
10<br />
n<br />
−3n<br />
<br />
<br />
<br />
.<br />
Pentru n = 4 avem<br />
|(Rnf)(x)| < 10<br />
243 10−12 =<br />
1<br />
24300000000000 .
Capitolul 2<br />
Elemente <strong>de</strong> Analiză funct¸ională s¸i<br />
teoria aproximării<br />
2.1 Spat¸ii metrice, spat¸ii Banach, spat¸ii Hilbert<br />
Problema 2.1.1 Spat¸iulsal s¸irurilor numerice în care distant¸a dintre<br />
x = (x1,x2,...,xk,...) s¸i y = (y1,y2,...,yk,...) este dată <strong>de</strong><br />
d(x,y) =<br />
este un spat¸iu metric complet.<br />
∞<br />
k=1<br />
1<br />
2k |xk −yk|<br />
1+|xk −yk|<br />
Solut¸ie. Pozitivitatea s¸i simetria se verifică imediat. Inegalitatea triunghiului:<br />
este crescătoare pentru λ ≥ 0, <strong>de</strong> un<strong>de</strong><br />
funct¸iaϕ(2) = λ<br />
λ+1<br />
|α+β| |α|+|β|<br />
≤<br />
1+|α+β| 1+|α|+|β|<br />
d(x,y) =<br />
=<br />
∞<br />
k=1<br />
∞<br />
k=1<br />
1<br />
2k |xk −yk|<br />
1+|xk −yk|<br />
1<br />
2k |xk −zk|<br />
1+|xk −zk| +<br />
= d(x,z)+d(y,z)<br />
|α| |β|<br />
≤ +<br />
1+|α| 1+|β|<br />
∞<br />
k=1<br />
1<br />
2k |zk −yk|<br />
1+|zk −yk|<br />
Completitudinea: Convergent¸a însînseamnă convergent¸a pe componente.<br />
xn = (x (n)<br />
1 ,x(n)<br />
2 ,...,x(n)<br />
k ,...), x0 = (x (0)<br />
1 ,x(0)<br />
2 ,...,x(0)<br />
k ,...)<br />
7
8 Elemente <strong>de</strong> Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării<br />
1<br />
2 k<br />
|x (n)<br />
k −x(0)<br />
k |<br />
1+|x (n)<br />
k −x(0)<br />
Din (2.1) rezultă că în<br />
xn → x0 ⇔ lim x<br />
n→∞ (n)<br />
n = x(0)<br />
k<br />
k | ≤ d(xn,x0) → 0 ⇒ x (n)<br />
k<br />
S =<br />
∞<br />
k=1<br />
1<br />
2 k<br />
|x (n)<br />
k −x(0)<br />
k |<br />
1+|x (n)<br />
k −x(0)<br />
k |<br />
→ x(0)<br />
k<br />
∀k ∈ N<br />
(2.1)<br />
se poate trece la limită termen cu termen <strong>de</strong>oarece S este uniform convergentă<br />
(este majorată <strong>de</strong> seria numerică ∞ 1<br />
k=1 2k ) fiecare termen tinzând la zero rezultă<br />
d(xn,x0) → 0. Dacă(xn) este s¸ir Cauchy, atunci fiecare componentă este Cauchy.<br />
= lim , k ∈ N.<br />
Fiex (0)<br />
k<br />
n→∞ x(n)<br />
k<br />
x0 = (x (0)<br />
1 ,...,x (0)<br />
k ,...), xn → x0.<br />
Observat¸ia 2.1.2 s este un spat¸iu vectorial topologic.<br />
Problema 2.1.3 Asemănător se arată că C(K) este complet.<br />
Demonstrat¸ie. Fie(xn) un s¸ir Cauchy înC(K).∀ε > 0∃Nε a.î.∀m,n ≥ Nε<br />
d(xm,xn) = max<br />
t∈K |xm(t)−xn(t)| < ε<br />
∀t ∈ K |xm(t)−xn(t)| < ε (2.2)<br />
Fixăm t ∈ K (xn(t)) s¸ir numeric Cauchy ⇒ ∃ lim<br />
n→∞ xn(t) = x0(t) x0 ∈ C(K)?<br />
xn → x0. Trecând la limită când m → ∞ în (2.2) obt¸inem<br />
|x0(t)−xn(t)| ≤ ε<br />
xn ⇉ x0 ⇔ xn → x0 înC(K) ⇒ x0 continuă<br />
Problema 2.1.4 Spat¸iul Lc(X,Y) = B(X,Y) al aplicat¸iilor liniare s¸i continue<br />
<strong>de</strong>finite pe X cu valori în Y , un<strong>de</strong> X s¸i Y sunt spat¸ii liniare normate, este un<br />
spat¸iu liniar normat. Dacă Y este spat¸iu Banach atunci s¸i Lc(X,Y) este spat¸iu<br />
Banach.<br />
Solut¸ie. FieU ∈ L(X,Y).
2.1. Spat¸ii metrice, spat¸ii Banach, spat¸ii Hilbert 9<br />
Propozit¸ia 2.1.5 U continuu în x0 ∈ X ⇔ U continuu pe X. ( ⇒ ) Fie (xn),<br />
xn → x (x,xn ∈ Ω)<br />
( ⇐)evi<strong>de</strong>ntă.<br />
xn = [x0 +(xn −x)]+(x−x0)<br />
x0 +xn −x → x0<br />
Uxn = U[x0 +(xn −x)]+U(x−x0) → U(x0)+U(x−x0)<br />
Definit¸ia 2.1.6 U ∈ L(X,Y), X,Y spat¸ii liniare normate. U mărginit dacă<br />
existăC ∈ R astfel încât<br />
Teorema 2.1.7 U continuu ⇔ U mărginit.<br />
∀x ∈ X Ux ≤ Cx (2.3)<br />
Demonstrat¸ie.(⇒) U continuu, fieC0 = sup Ux < ∞ Într-a<strong>de</strong>văr dacă<br />
x<br />
x∈X<br />
C0 = ∞, atunci există(xn) (xn ∈ X, xn = 1) astfel încâtλn = Uxn → ∞.<br />
Fie (x ′ n ) x′ xn<br />
n = x 2n ′ (cont)<br />
n → 0 =⇒ Ux ′ n → 0, dar Ux′ n = 1 contradict¸ie. Fie<br />
x = 0; x ∈ X s¸i x ′ = x<br />
x ⇒ x′ = 1 Ux ′ ≤ C0; dar Ux ′ = 1<br />
xUx Ux ≤ C0x, <strong>de</strong>ci (2.3) este a<strong>de</strong>vărată pentru C = C0. ( ⇐ ) (2.3) ⇒ U<br />
continuă în 0 ⇒ U continuu peX.<br />
În (2.3) luămC = C0 = U.<br />
Ux ≤ Ux (2.4)<br />
Dacă am stabilit o inegalitate <strong>de</strong> tipul (2.3) pentru un anumitC, atunciU ≤ C.<br />
Să arătăm că Lc(X,U) ≤ L(X,Y) s¸i că este normat. Fie U1,U2 ∈ Lc(X,Y),<br />
U = U1+U2. AvemUx ≤ U1x+U2x ≤ (U1+U2) s¸iλu = |λ|U.<br />
U = 0 ⇒ Ux = 0 ∀x ∈ X ⇒ U = 0<br />
Completitudinea(Un) Cauchy ⇒ ∀ ε > 0 ∃Nε : ∀m,n ∈ Nε<br />
Um −Un < ε (2.5)<br />
∀x ∈ X Umx−Unx < εx ⇒ (Unx) Cauchy (2.6)<br />
complet.lui Y<br />
=⇒ ∃Ux = lim<br />
n→∞ Unx (x ∈ X); (2.5) ⇒ Ux−Unx = lim<br />
m→∞ Umx−<br />
Unxl ≤ εx ⇒ V = U −Un ∈ B(X,Y) ⇒ U = V +Un ∈ B(X,Y) (2.6)<br />
⇒ U −Un ≤ ε ⇒ Un → U
10 Elemente <strong>de</strong> Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării<br />
Corolar 2.1.8 Dacă X,Y s.l.n. ⇒ Lc(X,Y) s.l.n.; X s.l.n., Y Banach ⇒<br />
Lc(X,Y) Banach<br />
Observat¸ia 2.1.9 Interpretarea geometrică a luiU - este marginea superioară<br />
a coeficientului <strong>de</strong> dilatare al unui vector prin operatorulU.<br />
Corolar 2.1.10 X ∗ este Banach.<br />
f ∈ X ∗<br />
X ∗ = Lc(X,K)<br />
f = sup f(x)<br />
x≤1<br />
Observat¸ia 2.1.11 Dacă K = C, atunci(λf)(x) = λf(x).<br />
Problema 2.1.12 FieC[a,b] s¸i f : C[a,b] → R.<br />
f(x) =<br />
n<br />
ckx(tk)<br />
t1,...,tn ∈ [a,b], ck ∈ R. Să se arate că f este liniară s¸i f = n<br />
k=1 |ck|.<br />
k=1<br />
k=1<br />
Solut¸ie. Liniaritatea este imediată.<br />
<br />
n n<br />
<br />
|f(x)| = ckx(tk) ≤ max |x(t)| |ck| =<br />
t∈[a,b]<br />
k=1<br />
n<br />
|ck|x<br />
f continuă s¸i f ≤ n<br />
k=1 |ck|<br />
Să construim acum pe [a,b] o funct¸ie x, liniară pe port¸iuni, care ia în t1, t2,<br />
..., tn valorile<br />
x(tk) = signck, k = 1,n,<br />
s¸i care să fie liniară pe intervalul [tk,tk+1], k = 1,n−1 s¸i constantă în [a,t1] s¸i<br />
[tn,b] (vezi figura 2.1)<br />
Evi<strong>de</strong>nt |x(t)| ≤ 1, adicăx ≤ 1 s¸i<br />
f = sup |f(x)| ≥ f(x) =<br />
x≤1<br />
n<br />
ckx(tk) =<br />
k=1<br />
k=1<br />
n<br />
cknξnck =<br />
k=1<br />
n<br />
|ck|<br />
k=1
2.1. Spat¸ii metrice, spat¸ii Banach, spat¸ii Hilbert 11<br />
Figura 2.1: Funct¸ia x din problema 2.1.12<br />
Problema 2.1.13 Se consi<strong>de</strong>ră următoarele trei norme peR 2<br />
x2 = (|x1| 2 +|x2| 2 ) 1/2 , x1 = |x1|+|x2|, x∞ = max{|x1|,|x2|}<br />
Să se reprezinte grafic mult¸imile B1(0) în raport cu toate cele 3 norme. Să se<br />
<strong>de</strong>termine geometric cele mai mici constantea,b,c,d astfel încât<br />
Solut¸ie. Avem inegalităt¸ile: √2<br />
Graficele apar în figura 2.2.<br />
ax1 ≤ x2 ≤ bx1,<br />
cx∞ ≤ x2 ≤ dd∞.<br />
2<br />
≤ x2<br />
x1<br />
1 ≤ x2<br />
x∞<br />
Problema 2.1.14 FieC 1 [0,1] s¸i normele<br />
f1 =<br />
1<br />
0<br />
≤ 1<br />
≤ √ 2<br />
|f(t)|dt, f = sup |f(t)|<br />
t∈[0,1]<br />
f ′ = |f(0)|+ sup |f<br />
t∈[0,1]<br />
′ (t)|
12 Elemente <strong>de</strong> Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării<br />
Figura 2.2: Normele||.||2,||.||1 s¸i||.||∞<br />
(a) Să se verifice că · ′ este normă peC 1 [0,1].<br />
(b) Orice s¸ir convergent în norma· este convergent s¸i în norma·1; orice<br />
s¸ir convergent în norma· ′ este convergent s¸i în norma·.<br />
(c) Să se studieze convergent¸a s¸irurilorfn(t) = t n s¸i gn(t) = n −1 sinnt. Ce se<br />
poate afirma <strong>de</strong>spre cele trei norme?<br />
Solut¸ie. a) f ′ ≥ 0 0 ′ = 0 f ′ = 0 ⇒ f(0) = 0, f ′ (t) = 0 ⇒<br />
|f(t)| = |f(t)−f(0)| = |tf ′ (θ)| = 0 ⇒ f = 0<br />
|λf ′ = |λf(0)|+ sup |λf<br />
t∈[0,1]<br />
′ (t)| = |λ|f ′<br />
f +g ′ = |(f +g)(0)|+ sup |(f +g)<br />
t∈[0,1]<br />
′ (t)| ≤<br />
≤ |f(0)|+|g(0)|+ sup (|f<br />
t∈[0,1]<br />
′ (t)|+|g ′ (t)|) ≤ f ′ +g ′<br />
b) fn − f → 0 ⇒ sup |fn(t) − f(t)| → 0 ⇒<br />
t∈[0,1]<br />
1<br />
0 |fn(t) − f(t)|dt → 0<br />
fn → f în· ′ ⇒ fn−f ′ → 0 ⇒ |fn(0)−f(0)|+ sup<br />
t∈[0,1]<br />
|f ′ n(t)−f ′ (t)| →<br />
0 ⇒ fn −f → 0 .<br />
c) fn1<br />
1<br />
= t<br />
0<br />
n dt = 1<br />
n+1<br />
fn = sup t<br />
t∈[0,1]<br />
n ⎫<br />
⎪⎬<br />
= 1 ⎪⎭ ⇒ fn → 0 în · 1 fn → f în · ⇒<br />
fn → f în ·1, adicăf = 0,f = 1 fn în·1 ⇒ nu converge în·<br />
gn = sup |n<br />
t∈[0,1]<br />
−1 sinnt| ≤ n −1 gn ′ =<br />
= |n −1 sin0|+ sup |cosnt| = 1<br />
t∈[0,1]
2.2. Spat¸ii Hilbert 13<br />
gn → 0 în ·1 s¸i · dar nu are limită în · ′ . f1 ≤ f ≤ f ′ , dar ele nu<br />
sunt echivalente.<br />
Problema 2.1.15 FiePspat¸iul liniar al polinoamelor cu coeficient¸i reali.<br />
a) P(X) = a0 +a1X + ···+ anXn , atunci p(P) = |a0|+···+|an| este o<br />
normă pePs¸ip(P1P2) ≤ p(P1)p(P2).<br />
b) Aplicat¸ia ϕ : P → P, ϕ(P) = P ′ este o aplicat¸ie liniară care nu este<br />
continuă fat¸ă <strong>de</strong> norma P .<br />
c) Fie p1(P) = sup |P(x)|. Să se arate că p1 este o normă dar p s¸i p1 nu<br />
x∈[−1,1]<br />
sunt echivalente.<br />
Solut¸ie. a)<br />
(PQ)(x) = a0b0 +(a0b1 +a1b0)X +···+anbmX n+m<br />
p(PQ) =<br />
n+m <br />
k=0<br />
<br />
k<br />
<br />
<br />
<br />
i=0<br />
aibk−1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
≤<br />
n,m <br />
i,j=0<br />
|aibj| = p(P)p(Q)<br />
b)Pn(x) = n−1Xn p(Pn) = n−1 Pn → 0 (înp) p(P ′ n ) = 1 P′ n 0<br />
c) Se arată us¸or că p1(P) ≤ p(P) Presupunem că există C ≥ 0 astfel încât<br />
p(P) ≤ Cp1(P), ∀p ∈ P . FiePn(x) = (n+1) −1 (1−x2 +x4 −···+(−1) nx2n )<br />
p(Pn) = 1 Pn(x) = (n+1) −11+(−1)n x2n+2 1+x 2<br />
n+1<br />
P(p) = 2n+1<br />
n+1<br />
(P,·) este o algebră normată.<br />
2.2 Spat¸ii Hilbert<br />
2.2.1 Funct¸ionale liniare în spat¸ii Hilbert<br />
p1(Pn) = (n+1) −1 ⇒ C ≥<br />
Problema 2.2.1 Expresia generală a unei funct¸ionale liniare într-un spat¸iu Hilbert.<br />
Solut¸ie. (H,〈·,·〉) spat¸iu Hilbert. Pentru y fixat 〈x,y〉 este o funct¸ională liniară,<br />
continuă. Fie<br />
f(x) = 〈x,y〉 (2.7)<br />
|f(x)| = |〈x,y〉| ≤ xy ⇒ f ≤ y (2.8)<br />
Să arătăm că funct¸ionalele <strong>de</strong> forma (2.7) sunt singurele din H s¸i că în (2.8)<br />
are loc egalitatea.
14 Elemente <strong>de</strong> Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării<br />
Teorema 2.2.2 (Riesz) Pentru orice funct¸ională liniară s¸i continuă, <strong>de</strong>finită pe<br />
spat¸iul HilbertH,∃! y ∈ H astfel încât ∀x ∈ H,f(x) = 〈x,y〉 s¸i<br />
f = y. (2.9)<br />
Demonstrat¸ie. Fie H0 = {x ∈ H : f(x) = 0} = Kerf, f liniară s¸i continuă<br />
⇒ H0 închis Dacă H0 = H ⇒ y = 0. Presupunem că H0 = H. Fie y0 ∈ H0.<br />
Scriem y0 sub forma y0 = y ′ + y ′′ (y ′ ∈ H0, y ′′ ⊥ H0) Evi<strong>de</strong>nt y ′′ = 0 s¸i<br />
f(y ′′ ) = 0. Putem luaf(y ′′ ) = 1.<br />
Observat¸ia 2.2.3 f(y0) = f(y ′ )<br />
<br />
0<br />
+f(y ′′ ) = f(y ′′ )<br />
Putem lua f(y ′′ ) = 1. Să luăm x ∈ H s¸i punem f(x) = α. Elementul x ′ =<br />
x−αy ′′ ∈ H0 căci<br />
Deci<br />
astfel încât<br />
s¸i <strong>de</strong>ci putem lua y =<br />
f(x ′ ) = f(x)−αf(y ′′ ) = α−α = 0<br />
〈x,y ′′ 〉 = 〈x ′ +αy ′′ ,y ′′ 〉 = α〈y ′′ ,y ′′ 〉+〈x ′ ,y ′′ 〉<br />
f(x) = α =<br />
<br />
y<br />
x,<br />
′′<br />
〈y ′′ ,y ′′ <br />
〉<br />
y ′′<br />
〈y ′′ ,y ′′ 〉 . Unicitatea 〈x,y〉 = 〈x,y1〉 ⇒ 〈x,y −y1〉 = 0<br />
<strong>de</strong>ci y −y1 ⊥ H, posibil doar dacăy = y1. Pe <strong>de</strong> altă parte<br />
Cazuri particulare.<br />
f ≥ f<br />
<br />
y<br />
=<br />
y<br />
〈y,y〉<br />
= y.<br />
y<br />
L2 [a,b] f(x) = 〈x,y〉 = b<br />
a x(t)y(t)dt<br />
l2 f(x) = 〈x,y〉 = ∞ k=1ξkη k<br />
Rn f(x) = 〈x,y〉 = n k=1ξkη k<br />
Problema 2.2.4 Să se arate că dualul unui spat¸iu Hilbert este tot un spat¸iu Hilbert.
2.3. Serii Fourier 15<br />
Solut¸ie. X ∗ spat¸iu Banach. Să arătăm că norma este indusă <strong>de</strong> un produs scalar.<br />
f,g ∈ X ∗ ⇒ ∃ x,y ∈ X astfel încât f(u) = 〈u,x〉,g(u) = 〈u,y〉, ∀ u ∈ X<br />
Fie 〈f,g〉 = 〈y,x〉. Să arătăm că aplicat¸ia astfel <strong>de</strong>finită verifică axiomele produsului<br />
scalar.<br />
〈f,f〉 = x 2 = f 2 ≥ 0<br />
Fief ′ (u) = 〈u,x ′ 〉<br />
〈f,g〉 ? = 〈g,f〉<br />
(f +f ′ )(u) = f(u)+f ′ (u) = 〈u,x〉+〈u,x ′ 〉 = 〈u,x+x ′ 〉<br />
〈f +f ′ ,g〉 = 〈y,x+x ′ 〉 = 〈y,x〉+〈y,x ′ 〉 = 〈f,g〉+〈f ′ ,g〉<br />
2.3 Serii Fourier<br />
(λf)(u) = λf(u) = 〈λu,x〉 = 〈u,λx〉<br />
〈λf,g〉 = 〈y,λx〉 = λ〈y,x〉 = λ〈f,g〉<br />
Fie un sistem ortonormal {xk} într-un spat¸iu Hilbert (H,〈·,·〉) s¸i x ∈ H. Numerele<br />
ak = 〈x,xk〉, k ∈ N<br />
se numesc coeficient¸i Fourier ai elementului x în raport cu sistemul consi<strong>de</strong>rat,<br />
iar seria<br />
∞<br />
k=1<br />
akxk<br />
seria Fourier a elementuluix.<br />
Consi<strong>de</strong>răm subspat¸iulHn = L({x1,...,xn}).<br />
Avem<br />
Teorema 2.3.1 Suma part¸ialăsn = n<br />
k=1 akxk a seriei Fourier a unui elementx<br />
este proiect¸ia acelui element pe subspat¸iulHn.<br />
Demonstrat¸ie. x = sn +(x−sn) s¸i pentru sn ∈ Hn este suficient să arătăm<br />
căx−sn ⊥ Hn. x−sn ⊥ xk (x ⊥ E ⇒ x ⊥ L(E)) ⇒ x−sn ⊥ Hn.<br />
Corolar 2.3.2 Pentru orice element<br />
n<br />
z =<br />
avem<br />
k=1<br />
αkxk ∈ Hn<br />
x−sn = d(x,Hn) ≤ x−z
16 Elemente <strong>de</strong> Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării<br />
Pe <strong>de</strong> altă parte<br />
x 2 = sn 2 +x−sn 2 ≥ sn 2<br />
sn 2 =<br />
Corolar 2.3.3 (Inegalitatea lui Bessel)<br />
n<br />
k=1<br />
Trecând la limită pentru n → ∞<br />
∞<br />
k=1<br />
n<br />
|ak| 2<br />
k=1<br />
|ak| 2 ≤ x 2 .<br />
|ak| 2 ≤ x 2<br />
(2.10)<br />
(2.11)<br />
(2.12)<br />
Dacă în (2.12) are loc egalitate pentru x ∈ X spunem că este verificată egalitatea<br />
lui Parseval sau ecuat¸ia <strong>de</strong> închi<strong>de</strong>re.<br />
Teorema 2.3.4 Seria Fourier a oricărui element x ∈ H converge întot<strong>de</strong>auna s¸i<br />
suma sa este proiect¸ia lui H pe H0 = L({xk}). Pentru ca suma seriei Fourier să<br />
fie egală cu un element dat x, este necesar s¸i suficient ca ecuat¸ia <strong>de</strong> închi<strong>de</strong>re să<br />
fie verificată pentru acel element.<br />
Demonstrat¸ie. (2.12) ⇒ n<br />
k=1 |ak| 2 convergentă. Pentru sumele part¸iale se<br />
obt¸ine<br />
sn+p −sn 2 =<br />
n+p <br />
k=n+1<br />
|ak| 2 n→∞<br />
−→ 0 ⇒ convergent¸a seriei Fourier<br />
Fie s = ∞ k=1akxk. Deoarece s ∈ H0 s¸i x = s + x − s putem arăta ca în<br />
<strong>de</strong>monstrat¸ia teoremei 2.3.1 că x − s ⊥ H0. T¸ inând cont <strong>de</strong> (2.11), (2.10) se<br />
rescrie<br />
n<br />
|ak| 2 ⇒ concluzia.<br />
x−sn 2 = x 2 −<br />
k=1<br />
Dacă {xk} este complet, H0 = H s¸i ∀ x ∈ H proiect¸ia lui x pe H0 coinci<strong>de</strong><br />
cu X.<br />
Corolar 2.3.5 Dacă {xk} este complet∀x ∈ H seria sa Fourier converge la x.
2.3. Serii Fourier 17<br />
Spunem că sistemul ortonormal{xk} este închis dacă ecuat¸ia <strong>de</strong> închi<strong>de</strong>re este<br />
verificată pentru oricex ∈ H.<br />
Corolar 2.3.6 {xk} închis ⇔ {xk} complet.<br />
Demonstrat¸ie. Teorema 2 ⇒ ecuat¸ia <strong>de</strong> închi<strong>de</strong>re are loc ∀ x ∈ H0, <strong>de</strong>ci<br />
închi<strong>de</strong>rea este echivalentă cu H0 = H, adică completitudinea.<br />
Exemplul 2.3.7 Să se <strong>de</strong>termine seria Fourier trigonometrică pentru funct¸ia:<br />
Solut¸ie. Funct¸iile <strong>de</strong> bază sunt<br />
iar coeficient¸ii<br />
f(x) = |x|, −π < x < π<br />
x0 = 1<br />
√ 2π ,...,xk = 1<br />
√ π coskx, yk = 1<br />
√ π sinkx,...,<br />
ak = 1<br />
π<br />
√<br />
π −π<br />
π<br />
bk = 1<br />
√ π<br />
−π<br />
π<br />
a0 =<br />
−π<br />
π<br />
ak = 1<br />
√<br />
π<br />
bk = 1<br />
√<br />
π<br />
f(x) 1<br />
√ dx =<br />
2π<br />
−π<br />
π<br />
−π<br />
f(x)coskxdx,<br />
f(x)sinkxdx,<br />
√ 2π 2<br />
2 √ π ,<br />
|x|coskxdx = 2<br />
π<br />
√ xcoskx =<br />
π 0<br />
2<br />
√ [(−1)<br />
πk k −1],<br />
|x|sinkxdx = 0.<br />
sn(x) = π 2<br />
+<br />
2 π<br />
n<br />
k=1<br />
(−1) k −1<br />
k 2<br />
coskx.<br />
Observat¸ia 2.3.8 Seria Fourier trigonometrică pe[−l,l] are expresia:<br />
sn = a0<br />
2 +<br />
akcos nπx nπx<br />
<br />
+bksin ,<br />
l l<br />
iar coeficient¸ii sunt dat¸i <strong>de</strong> formulele<br />
ak = 1<br />
l<br />
l<br />
−l<br />
f(x)cos nπx<br />
l dx,<br />
bk = 1<br />
l<br />
f(x)sin<br />
l −l<br />
nπx<br />
l dx.
18 Elemente <strong>de</strong> Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării<br />
Problema 2.3.9 Fief(x) = x 2 . Se cere seria sa Fourier pe[−π,π].<br />
Solut¸ie.<br />
Pentru x = π<br />
an = 1<br />
π<br />
π −π<br />
π<br />
x<br />
0<br />
2 cosnxdx = x2nknx π<br />
x 2 cosnxdx = 2<br />
x<br />
π 0<br />
2 cosnxdx<br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
π<br />
−<br />
0<br />
2<br />
π<br />
xnknxdx =<br />
n 0<br />
= − 2<br />
<br />
−x<br />
n<br />
cosnx<br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
π<br />
+<br />
0<br />
1<br />
π <br />
cosnxdx =<br />
n 0<br />
= − 2<br />
<br />
−π<br />
n<br />
cosnπ 1sinnx<br />
<br />
<br />
+ <br />
n n n<br />
π<br />
<br />
=<br />
0<br />
2π 2π<br />
cosnπ =<br />
n2 n2(−1)n a0 = 1<br />
π<br />
n<br />
k=1<br />
π<br />
−π<br />
1 π2<br />
=<br />
n2 6 .<br />
x 2 dx = 2<br />
π<br />
x 2 = π3<br />
3 +4<br />
π<br />
0<br />
∞<br />
n=1<br />
x 2 dx = 2 π<br />
π<br />
3<br />
3<br />
(−1) ncosnx<br />
n 2<br />
Problema 2.3.10 Dezvoltat¸if(x) = x pe[−π,π] s¸i[0,2π].<br />
Solut¸ie.<br />
bn = 2<br />
π<br />
π<br />
0<br />
xsinnx = 2<br />
<br />
π<br />
⇒ x = 2<br />
−x cosnx<br />
n<br />
∞<br />
n=1<br />
2.4 Polinoame ortogonale<br />
<br />
<br />
π<br />
0<br />
= 2<br />
3 π2<br />
+ 1<br />
π <br />
cosnxdx =<br />
4 0<br />
2(−1)n+1<br />
n<br />
(−1) n−1sinnx<br />
n<br />
2.4.1 Calculul polinoamelor ortogonale<br />
Se poate da o metodă generală <strong>de</strong> construire a unei familii <strong>de</strong> polinoame ortogonale<br />
în raport cu orice funct¸ie pon<strong>de</strong>re pe un interval finit [a,b] sau pe o mult¸ime<br />
finită <strong>de</strong> puncte (în cazul unei mult¸imi finite, familia va fi <strong>de</strong> asemenea finită). Se<br />
poate aplica proce<strong>de</strong>ul Gramm-Schmidt mult¸imii{1,x,x 2 ,...}, dar proce<strong>de</strong>ul nu
2.4. Polinoame ortogonale 19<br />
face uz <strong>de</strong> proprietăt¸ile algebrice ale polinoamelor s¸i este sensibil la erorile <strong>de</strong> rotunjire.<br />
Fie {Q0,Q1,...,Qn−1} o familie ortonormală <strong>de</strong> polinoame, astfel încât gradul<br />
luiQi să fieis¸i fieQ n ⊥ Qi, i = 0,n−1.<br />
Să consi<strong>de</strong>răm polinomul<br />
Q n(x)−αxQn−1(x)<br />
Pentru o alegere convenabilă a lui α = 0, acest polinom are gradul ≤ n−1,<br />
<strong>de</strong>ci<br />
n−1<br />
Qn −αxQn−1 =<br />
i=0<br />
αiQi<br />
Dacă 〈Q n,Qi〉 > 0 pentru oricei = 0,n−1 trebuie să avem<br />
0 = 〈Q n,Qn−1〉 = α〈xQn−1,Qn−1〉+αn−1<br />
(2.13)<br />
0 = 〈Q n,Qn−2〉 = α〈xQn−1,Qn−2〉+αn−2<br />
Putem alege α = 1, <strong>de</strong>oarece înmult¸irea cu o constantă nu afectează ortogonalitatea.<br />
Deci αn−1 s¸i αn−2 se pot obt¸ine din ecuat¸iile <strong>de</strong> mai sus. Aplicând<br />
rat¸ionamente similare lui Qi pentru i < n−2 obt¸inem αi = 0 pentru i < n−2.<br />
Aceasta sugerează următoarea formulă <strong>de</strong> recurent¸ă pentru calculul lui Q n:<br />
s¸i<br />
Q n(x) = (x+an)Qn−1(x)+bnQn−2(x), n ≥ 2 (2.14)<br />
Qn = Q n<br />
Qn<br />
an = −〈xQn−1,Qn−1〉 (2.15)<br />
bn = −〈xQn−1,Qn−2〉 (2.16)<br />
Se verifică că pentru an s¸i bn astfel <strong>de</strong>terminate avem 〈Q n,Qi〉 = 0, i =<br />
0,n−2 s¸i căQ n cu an s¸ibn <strong>de</strong>terminate <strong>de</strong> (2.15) s¸i (2.16) este unic <strong>de</strong>terminat.<br />
Deci (2.14) ne dă o formulă <strong>de</strong> recurent¸ă pentru calculul polinoamelor ortogonale<br />
(ortonormale) în L 2 w [a,b]. Vom începe punând Q0 = b0, un<strong>de</strong> b0 este o<br />
constantă astfe încât Q0 = 1 s¸i luăm Q 1 = (x+a1)Q0. Din<br />
se <strong>de</strong>termină<br />
s¸i se continuă.<br />
〈Q 1,Q0〉 = 〈xQ0,Q0〉+a1 = 0<br />
a1 = −〈xQ0,Q0〉<br />
Exemplul 2.4.1 Pentru polinoamele Cebîs¸ev I aplicând (2.14)-(2.16) se obt¸ine<br />
Tn(x) = 2xTn−1(x)−Tn−2(x).
20 Elemente <strong>de</strong> Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării<br />
2.4.2 Exemple <strong>de</strong> polinoame ortogonale<br />
I. Polinoamele lui Cebîs¸ev <strong>de</strong> spet¸a I<br />
Tn(t) = cos(narccost), t ∈ [−1,1]<br />
Ele sunt ortogonale pe[−1,1] în raport cu pon<strong>de</strong>reaw(t) = 1<br />
√ 1−t 2 .<br />
1<br />
−1<br />
Are loc relat¸ia <strong>de</strong> recurent¸ă<br />
II. Polinoamele lui Hermite<br />
∞<br />
−∞<br />
⎧<br />
Tm(t)Tn(t)<br />
⎨<br />
√ dt =<br />
1−t 2 ⎩<br />
0, m = n<br />
π,<br />
m = n = 0 2<br />
π, m = n = 0<br />
Tn+1(t) = 2tTn(t)−Tn−1(t)<br />
T0(t) = 1, T1(t) = t<br />
hn(t) = (−1) n dn<br />
t2<br />
e<br />
dtn(e−t2), t ∈ R<br />
a = −∞, b = ∞, w(t) = e −t<br />
e −t2<br />
hm(t)hn(t)dt =<br />
III. Polinoamele lui Laguerre<br />
∞<br />
IV. Polinoamele lui Hermite<br />
0<br />
0, m = n<br />
2 n n! √ π, m = n<br />
hn+1(t) = 2thn(t)−2nhn−1(t)<br />
h0(t) = 1, h1(t) = 2t<br />
gn(t) = et d<br />
n!<br />
n<br />
dtn(tn e −t )<br />
a = 0, b = ∞, w(t) = e −t<br />
e −t <br />
0, m = n<br />
gm(t)gn(t)dt =<br />
1, m = n<br />
gn+1(t) = 2n+1−t<br />
gn(t)−ngn−1(t)<br />
n+1<br />
g0(t) = 1, g1(t) = 1−t<br />
w(t) = e −t2<br />
pe R (a = −∞, b = ∞)
2.4. Polinoame ortogonale 21<br />
∞<br />
−∞<br />
e −t2<br />
<br />
0, m = n<br />
hn(t)hn(t) =<br />
2nn! √ π, m = n<br />
hn(t) = (−1) n dn t2<br />
e<br />
dtn(e−t2), t ∈ R<br />
hn+1(t) = 2thn(t)−2nhn−1(t)<br />
h0(t) = 1, h1(t) = 2t<br />
Proprietăt¸i ale polinoamelor ortogonale<br />
P1. Rădăcini reale, distincte, situate în(a,b).<br />
P2. Relat¸ia <strong>de</strong> recurent¸ă dată <strong>de</strong> ecuat¸iile (2.14), (2.15) s¸i (2.16).<br />
P3. pn ⊥ Pn−1, pn = minp<br />
p∈Pn<br />
P4. Caracterizarea cu ajutorul ecuat¸iilor diferent¸iale.<br />
Fie Pn = {p0,...,pn} o mult¸ime <strong>de</strong> polinoame ortogonale pe intervalul[a,b]<br />
în raport cu pon<strong>de</strong>reaw.<br />
Avem<br />
b<br />
a<br />
w(t)pi(t)t k dt = 0, i = 1,...,n, k = 0,...,i−1. (2.17)<br />
Se consi<strong>de</strong>ră funct¸iaUi astfel încât<br />
Din (2.17) se obt¸ine<br />
b<br />
Se integrează <strong>de</strong>k+1 ori prin părt¸i<br />
a<br />
w(t)pi(t) = U (i)<br />
i (t), i = 1,n<br />
U (i)<br />
i (t)tk dt = 0, k = 0,...,i−1<br />
[U (i−1)<br />
i (t)t k −kU (i−2)<br />
i (t)t k−1 +···+(−1) k k!U (i−k−1)<br />
i (t)] b c<br />
pentruk = 0,1,...,i−1condit¸ii satisfăcute dacă<br />
<br />
Întrucât 1<br />
diferent¸iale<br />
w U(i)<br />
U (i−1)<br />
i (a) = U (i−2)<br />
i (a) = ··· = Ui(a) = 0<br />
U (i−1)<br />
i (b) = U (i−2)<br />
i (b) = ··· = Ui(b) = 0<br />
= 0<br />
(2.18)<br />
i = pi ∈ Pi, funct¸ia Ui poate fi obt¸inută ca solut¸ie a ecuat¸iei<br />
d i+1<br />
dt i+1<br />
<br />
1<br />
w(t) U(i) i (t)<br />
<br />
= 0<br />
<strong>de</strong> ordinul2i+1 cu condit¸iile la limită (2.18).
22 Elemente <strong>de</strong> Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării<br />
Deci Ui se <strong>de</strong>termină până la o constantă multiplicativă:<br />
pi(t) = Ai<br />
w(t) U(i)<br />
i (t)<br />
ConstantaAi se poate <strong>de</strong>termina impunând condit¸ii suplimentare, <strong>de</strong> exemplu<br />
ortonormalitate b<br />
w(t)p 2 i(t)dt = 1<br />
a<br />
pn(x) = (x−2n)pn−1(x)−µnpn−2(x)<br />
µn =<br />
pn−1 2<br />
pn−22, λn = 〈xpn−1,pn−1〉<br />
pn−12 Problema 2.4.2 Polinoamele Cebîs¸ev <strong>de</strong> spet¸a I<br />
Stabilit¸i proprietăt¸ile următoare:<br />
Tn(x) = cosnarccosx<br />
Tn+1(x)−2xTn(x)+Tn−1(x) = 0 (2.19)<br />
Tn(Tn(x)) = Tnm(x) = Tm(Tn(x)) (2.20)<br />
Tn(2x 2 −1) = 2Tn(x) 2 −1 (2.21)<br />
Tn(x)Tm(x) = 1<br />
2 (Tn+m(x)+Tm−n(x)), dacă m ≥ n (2.22)<br />
<br />
Tn(x)dx = 1<br />
<br />
Tn+1(x) Tn−1(x)<br />
− , dacă n > 1 (2.23)<br />
2 n+1 n−1<br />
Tn(x) = 1<br />
2 (Qn(x)−Qn−2(x)) dacă Qn(x) = sin(n+1)θ<br />
;<br />
sinθ<br />
(2.24)<br />
cu x = cosθ (polinom Cebîs¸ev <strong>de</strong> spet¸a a II-a)<br />
2 n−1 x n = <br />
<br />
n<br />
Tn−2k(x), n ≥ 1<br />
k<br />
(2.25)<br />
∞<br />
t n Tn(x) =<br />
m=0<br />
∞<br />
t n Un(x) =<br />
n=0<br />
0≤k≤ n<br />
2<br />
d<br />
dx Tn(x) = nUn−1(x), n ≥ 1 (2.26)<br />
1−xt<br />
1−2xt+t 2,<br />
pentru |t| < 1 (funct¸ia generatoare) (2.27)<br />
1<br />
1−2xt+t 2, pentru |t| < 1, |x| < 1 (2.28)
2.4. Polinoame ortogonale 23<br />
Solut¸ie. (2.19)-(2.24) s¸i (2.26) cu ajutorul formulelor trigonometrice uzua-<br />
le. (2.25) se obt¸ine <strong>de</strong>zvoltând x n = (cosθ) n =<br />
n eiθ +e−iθ 2<br />
s¸i făcând să apară<br />
Tn−2k(x). Funct¸iile generatoare se obt¸in ca pentru polinoamele Legendre (vezi<br />
problema 2.4.7).<br />
Problema 2.4.3<br />
1. . Zerourile polinoamelor Cebîs¸ev <strong>de</strong> spet¸a I sunt<br />
ξj := ξ (n)<br />
<br />
2j −1<br />
j = cos<br />
2n π<br />
<br />
, j = 1,n.<br />
În [-1,1] existăn+1extreme<br />
ηk := η (n)<br />
k := cos kπ<br />
, k = 0,n<br />
n<br />
un<strong>de</strong>Tn are un minim sau un maxim local. În aceste puncte<br />
Tn(ηk) = (−1) k , k = 1,n<br />
s¸i Tn ∞ = 1 pe [−1,1]. Zerourile s¸i extremele polinoamelor Cebîs¸ev sunt<br />
foarte importante ca noduri <strong>de</strong> interpolare. În raport cu produsul scalar<br />
n+1<br />
(f,g)T := f(ξk)g(ξk)<br />
k=1<br />
un<strong>de</strong> {ξ1,...,ξn+1} este mult¸imea zerourilor lui Tn+1 are loc următoarea<br />
proprietate ⎧<br />
⎨ 0, i = j<br />
n+1<br />
(Ti,Tj) T = , i = j = 0 .<br />
⎩ 2<br />
n+1, i = j = 0<br />
2. În raport cu produsul scalar<br />
(f,g) U := 1<br />
1<br />
f(η0)g(η0)+f(η1)g(η1)+···+f(ηn−1)g(ηn−1)+<br />
2 2 f(ηn)g(ηn)<br />
n′′<br />
= f(ηk)g(ηk),<br />
k=0<br />
un<strong>de</strong> {η0,...,ηn} este mult¸imea extremelor lui Tn, are loc o propritate similară<br />
⎧<br />
⎨ 0, i = j<br />
n<br />
(Ti,Tj) U = , i = j = 0<br />
⎩ 2 .<br />
n, i = j = 0
24 Elemente <strong>de</strong> Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării<br />
Solut¸ie. Avem arccosξk = 2k−1π,<br />
k = 1,n+1. Să calculăm acum produsul<br />
2n+2<br />
scalar:<br />
(Ti,Tj) T = (cosiarccost,cosjarccost) T =<br />
n+1<br />
= cos(iarccosξk)cos(jarccosξk) =<br />
k=1<br />
n+1<br />
<br />
<br />
2k −1<br />
= cos i<br />
2(n+1)<br />
k=1<br />
π<br />
<br />
2k −1<br />
cos j<br />
2(n+1) π<br />
<br />
=<br />
= 1 n+1<br />
<br />
2k −1 2k −1<br />
cos(i+j) π +cos(i−j)<br />
2 2(n+1) 2(n+1) π<br />
<br />
=<br />
k=1<br />
= 1 n+1<br />
i+j 1 n+1<br />
i−j<br />
cos(2k−1) π + cos(2k −1)<br />
2 2(n+1) 2 2(n+1) π.<br />
k=1<br />
Notămα = i+j i−j<br />
π, β = π s¸i<br />
2(n+1) 2(n+1)<br />
Deoarece<br />
S1 = 1<br />
n+1<br />
2<br />
k=1<br />
S2 = 1 n+1<br />
2<br />
k=1<br />
k=1<br />
<br />
cos(2k −1)α,<br />
cos(2k −1)β.<br />
2sinαS1 = sin2(n+1)α,<br />
2sinβS2 = sin2(n+1)β,<br />
se obt¸ineS1 = 0 s¸iS2 = 0. Cealaltă proprietate se <strong>de</strong>monstrează analog.<br />
Problema 2.4.4 Polinoame Cebîs¸ev <strong>de</strong> spet¸a a II-a.<br />
Definit¸ia 2.4.5 Qn ∈ Pn dat <strong>de</strong><br />
Qn(t) = sin[(n+1)arccost]<br />
√ , t ∈ [−1,1]<br />
1−t 2<br />
se numes¸te polinomul lui Cebîs¸ev <strong>de</strong> spet¸a a II-a.<br />
Qn = 1<br />
n+1 T′ n+1 (t), t ∈ [−1,1]
2.4. Polinoame ortogonale 25<br />
1<br />
−1<br />
Qn = 1<br />
2nQn, Qn<br />
∈ Pn<br />
<br />
√<br />
1−t 2 0 pentru m = n<br />
Qm(t)Qn(t)dt =<br />
pentru m = n<br />
PolinoameleQm, m = 0,1,2,... sunt ortogonale pe[−1,1] în raport cu pon<strong>de</strong>rea<br />
w(t) = √ 1−t 2 .<br />
Are loc relat¸ia <strong>de</strong> recurent¸ă<br />
π<br />
2<br />
Qn+1(t) = 2tQn(t)−Qn−1(t)<br />
Ea rezultă imediat din relat¸ia sin(n + 2)θ + sinnθ = 2cosθsin(n + 1)θ. Dăm<br />
primele 4 polinoame ortogonale:<br />
Q0(t) = 1<br />
Q1(t) = 2t<br />
Q2(t) = 4t 2 −1<br />
Q3(t) = 8t 3 −4t<br />
Q4(t) = 16t 4 −12t 2 +1<br />
Pentru alte intervale se face schimbarea <strong>de</strong> variabilă x = 1<br />
2 [(b−a)x+a+b].<br />
Polinoame Cebîs¸ev s¸i economizarea seriilor <strong>de</strong> puteri<br />
Polinoamele Cebîs¸ev <strong>de</strong> spet¸a I pot fi utilizate pentru a reduce gradul unui<br />
polinom <strong>de</strong> aproximare cu o pier<strong>de</strong>re minimă <strong>de</strong> precizie. Această tehnică este<br />
utilă când se utilizează pentru aproximare polinomul Taylor. Des¸i polinoamele<br />
Taylor sunt foarte precise în vecinătatea punctului în care se face <strong>de</strong>zvoltarea,<br />
dacă ne în<strong>de</strong>părtăm <strong>de</strong> acel punct precizia se <strong>de</strong>teriorează rapid. Din acest motiv,<br />
pentru a atinge precizia dorită este nevoie <strong>de</strong> polinoame Taylor <strong>de</strong> grad mai mare.<br />
Deoarece polinoamele Cebîs¸ev <strong>de</strong> spet¸a I au cea mai mică normă Cebîs¸ev pe un<br />
interval, ele pot fi utilizate pentru a reduce gradul polinomului Taylor fără a <strong>de</strong>păs¸i<br />
gradul <strong>de</strong> tolerant¸ă admis.<br />
Exemplul 2.4.6 f(x) = e x poate fi aproximată pe [−1,1] prin polinomul Taylor<br />
<strong>de</strong> grad 4 în jurul lui 0.<br />
P4(x) = 1+x+ x2<br />
2!<br />
R4(x) = |f(ξ) (ξ(x))||x 5 |<br />
5!<br />
+ x3<br />
3!<br />
+ x4<br />
4!<br />
≤ e<br />
≈ 0.023, x ∈ [−1,1]<br />
120
26 Elemente <strong>de</strong> Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării<br />
Să presupunem că eroarea esteε = 0.05 s¸i că dorim să înlocuim termenul din<br />
polinomul Taylor care îl cont¸ine pex 4 cu un polinom Cebîs¸ev <strong>de</strong> grad ≤ 4.<br />
Să <strong>de</strong>ducem reprezentarea luix k cu ajutorul polinoamelor Cebîs¸ev.<br />
s¸i<br />
Deci<br />
Tn+1 = 2tTn −Tn−1<br />
T0(t) = 1<br />
T1(t) = t<br />
T2(t) = 2t 2 −1<br />
T3(t) = 4t 3 −3t 2<br />
T4(t) = 8t 4 −8t 2 +1<br />
k Tk xk 0 1 T0<br />
1<br />
2<br />
x<br />
2x<br />
T1<br />
2 −1<br />
1<br />
2T0 + 1<br />
2T2 3 4x3 3<br />
−3x 4T1 + 1<br />
4T3 4 8x4 −8x2 3 +1 8T0 + 1<br />
2T2 + 1<br />
8T4 5 16x5 −20x3 5 +5x 8T1 + 5<br />
16T3 + 1<br />
16T5 6 32x6 −48x4 +18x2 5 −1 16T0 + 15<br />
32T2 + 3<br />
16T4 + 1<br />
32T6 P4(x) = 1+x+ 1<br />
2 x2 + 1<br />
6 x3 + 1<br />
24<br />
3<br />
8<br />
1 1<br />
T0(x)+ T2(x)+<br />
2 8 T4(x)<br />
<br />
= 1+x+ 1<br />
2 x2 + 1<br />
6 x3 + 1 1 1<br />
T0(x)+ T2(x)+<br />
64 48 192 T4(x)<br />
= 191 13<br />
+x+<br />
192 24 x2 + 1<br />
6 x3 + 1<br />
192 T4(x)<br />
max<br />
x∈[−1,1] |T4(x)| = 1<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
192<br />
T4(x)<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
≤ = 0.0053<br />
192<br />
<br />
<br />
|R4(x)|+ <br />
1<br />
192<br />
T4(x)<br />
<br />
<br />
<br />
≤ 0.023+0.0053 = 0.0283 < 0.05<br />
Deci termenul <strong>de</strong> grad 4, 1<br />
192 T4(x), poate fi omis fără a afecta precizia dorită.<br />
Polinomul <strong>de</strong> grad 3<br />
P3(x) = 191 13<br />
+x+<br />
192 24 x2 + 1<br />
6 x3
2.4. Polinoame ortogonale 27<br />
ne dă precizia dorită pe[−1,1].<br />
Încercăm să eliminăm termenul <strong>de</strong> grad 3 înlocuindx 3 cu 3<br />
4<br />
P3(x) = 191 13<br />
+x+<br />
192 24 x2 + 1<br />
<br />
3 1<br />
T1(x)+<br />
6 4 4 T3(x)<br />
= 191<br />
192<br />
9 13<br />
+ x+<br />
8<br />
max<br />
x∈[−1,1]<br />
24 x2 + 1<br />
24 T3(x)<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
24<br />
T3(x)<br />
<br />
<br />
<br />
= 0.0417<br />
0.0417+0.0283 ≈ 0.07 > 0.5<br />
T1(x)+ 1<br />
4 T3(x).<br />
Deci P3 <strong>de</strong> mai sus ne dă polinomul <strong>de</strong> grad cel mai mic pentru această aproximare.<br />
Problema 2.4.7 Polinoamele lui Legendre<br />
Arătat¸i că<br />
Ln(x) = 1<br />
2n d<br />
n!<br />
n<br />
dxn[(x2 −1) n ] (formula lui Rodrigues)<br />
Ln ∈ Pn s¸i 〈Ln,Lm〉 L 2 [−1,1] = 2<br />
2n+1 δnm<br />
<br />
(2.29)<br />
nLn(x) = (2n−1)xLn−1(x)−(n−1)Ln−2(x) (2.30)<br />
Ln(x) = 1(2n)!<br />
2 n (n!) 2xn +... (2.31)<br />
Ln(1) = 1, Ln(−1) = (−1) n , (2.32)<br />
Ln este par pentrunimpar s¸i impar pentrunpar<br />
L ′ n (x) = xL′ n−1 (x)+nLn−1(x) (2.33)<br />
L ′ n (x)−L′ n−2 (x) = (2n−1)Ln−1(x)<br />
(x 2 −1)L ′ n (x) = n(xLn(x)−Ln−1(x))<br />
∞<br />
t n Ln(x) =<br />
n=0<br />
1<br />
√ 1−2xt+t 2<br />
Solut¸ie. (2.29) Presupunem căn ≥ m,<br />
pentru |t| < 1 (2.34)<br />
〈Ln,Lm〉 L2 = 1<br />
2n 1<br />
Lm(x)<br />
n! −1<br />
d<br />
dxn[(x2 −1) n ]dx
28 Elemente <strong>de</strong> Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării<br />
Integrând succesiv prin părt¸i <strong>de</strong> obt¸ine<br />
〈Ln,Lm〉 = 1<br />
2n 1<br />
d<br />
n! −1<br />
n<br />
dxn(Lm(x))(x 2 −1) n dx<br />
care este nulă pentrun > m, iar pentrun = m<br />
(−1)n<br />
LnL2 =<br />
2nn! 1<br />
(x<br />
−1<br />
2 −1) n dx = 2<br />
2n+1<br />
(2.30), (2.31), (2.32) se verifică simplu. (2.33) se obt¸ine direct din<br />
L ′ n(x) = 1<br />
2n d<br />
n!<br />
n+1<br />
dxn+1[(x2 −1) n ] = 1<br />
2n d<br />
n!<br />
n<br />
dxn(n·2x(x2 −1) n−1 )<br />
= xL ′ n−1 (x)+nLn−1(x)<br />
Din formula <strong>de</strong> recurent¸ă se obt¸ine<br />
nL ′ n(x) = (2n−1)Ln−1(x)+(2n−1)xL ′ n−1(x)−(n−1)L ′ n−2(x),<br />
<strong>de</strong> un<strong>de</strong> eliminândL ′ n :<br />
s¸i prin urmare<br />
EliminândL ′ n−2<br />
xL ′ n−1 (x)−L′ n−2 (x) = (n−1)Ln−1(x)<br />
se obt¸ine<br />
L ′ n(x)−L ′ n−2(x) = (2n−1)Ln−1(x)<br />
(x 2 −1)L ′ n−1(x) = (n−1)[xLn−1(x)−Ln−2(x)]<br />
(6) Fie C un contur închis în C ce nu cont¸ine în interiorul său ±1, dar cont¸ine pe<br />
z; după formulele lui Cauchy s¸i Rodrigues<br />
Ln(z) = 1<br />
<br />
2πi<br />
C<br />
(t 2 −1) n<br />
2 n (t−z) n+1dt<br />
punând 1<br />
Z = t2 −1 1<br />
<br />
adicăt = 1−<br />
2(t−z) Z<br />
√ 1−2zZ +Z 2<br />
<br />
avem<br />
<br />
Ln(z) =<br />
C1<br />
1 1<br />
2πizn+1<br />
1<br />
√<br />
1−2zZ +Z 2 dZ
2.4. Polinoame ortogonale 29<br />
un<strong>de</strong>C1 este imaginea luiC prin schimbareat → Z <strong>de</strong> un<strong>de</strong><br />
s¸i pentru |t| < 1<br />
Ln(z) = 1 d<br />
n!<br />
n<br />
dZn <br />
1<br />
√<br />
1−2zZ +Z 2<br />
<br />
z=0<br />
∞<br />
t n Ln(z) =<br />
n=0<br />
1<br />
√ 1−zt+t 2<br />
Problema 2.4.8 Să se arate că polinoamele ortogonale în raport cu w(x) = √ x<br />
(respectiv1/ √ x) pe(0,1) sunt<br />
√ √<br />
qn(x) = L2n+1 x / x<br />
respectiv<br />
√ <br />
qn(x) = L2n x<br />
Solut¸ie. Rezultatul se obt¸ine prin schimbarea <strong>de</strong> variabilă t = 1<br />
√ x (respectiv<br />
t = √ x) utilizând proprietăt¸ile (1) s¸i (4) din exercit¸iul prece<strong>de</strong>nt.<br />
Problema 2.4.9 Polinoamele lui Hermite<br />
(1) Arătat¸i că<br />
(2)<br />
(3)<br />
cu w(x) = e−x2 .<br />
Hn(x) = (−1) n dn x2<br />
e<br />
dxn(e−x2 )<br />
Hn ∈ Pn s¸i 〈Hn,Hm〉 L 2 n(R) = 2 n n! √ πδnm<br />
Hn(x)−2xHn−1(x)+(2n−2)Hn−2(x) = 0<br />
H0 = 1, H1(x) = 2x<br />
Hn(x) = 2 n x n +...<br />
Hn este o funct¸ie pară sau impară după cum n este par sau impar.<br />
H2k(0) = (−1) k(2k)!<br />
k!
30 Elemente <strong>de</strong> Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării<br />
(4)<br />
(5)<br />
(6)<br />
(7)<br />
(8)<br />
H ′ n−1 (x) = 2xHn−1(x)−Hn(x), H ′ n (x) = 2nHn−1(x)<br />
∞<br />
n=0<br />
Hn(x) = <br />
2 n x n = <br />
0≤k≤ n<br />
2<br />
0≤k≤ n<br />
2<br />
t n<br />
n! Hn(x) = e 2tx−t2<br />
2 n/2 Hn<br />
<br />
x+y<br />
√ =<br />
2<br />
(−1) kn! (2x)<br />
k!<br />
n−2k<br />
(n−2k)!<br />
n!<br />
k!(n−2k)! Hn−2k(x)<br />
|t| < 1 (funct¸ie generatoare)<br />
n<br />
k=0<br />
<br />
n<br />
Hk(x)Hn−k(y)<br />
k<br />
Solut¸ie. Proprietăt¸ile (1), (2), (3), (4), (5), (7) rezultă din <strong>de</strong>finit¸ia lui Hn procedând<br />
ca la problema 2.4.2. Proprietatea (6) se obt¸ine <strong>de</strong>zvoltând (2x) n în serie<br />
Fourier.<br />
(2x) n n<br />
= ((2x) n , Hk) Hk(x)<br />
k=0<br />
un<strong>de</strong> Hk sunt polinoamele ortonormale Hermite, evaluând produsul scalar(x n , Hk).<br />
Proprietatea (8) se obt¸ine cu ajutorul funct¸iei generatoare<br />
e 2tx−t2<br />
e 2tx−t2<br />
adică pentru|t| < 1<br />
<br />
Hn(x) tn<br />
<br />
n!<br />
∞<br />
Hn(y)<br />
n=0<br />
tn<br />
<br />
n!<br />
= e 2<br />
<br />
t √ 2 x+y<br />
<br />
√ −(t<br />
2<br />
√ 2) 2<br />
=<br />
∞<br />
n=0<br />
Hn<br />
s¸i i<strong>de</strong>ntificând coeficient¸ii luit n din cei doi membri.<br />
Problema 2.4.10 Polinoamele asociate ale lui Laguerre<br />
l α n (x) = ex x −α<br />
n!<br />
<br />
x+y<br />
<br />
√ t<br />
2<br />
√ n 1<br />
2<br />
n!<br />
d n<br />
dx n(xn+α e −x ) pentru α > −1.
2.4. Polinoame ortogonale 31<br />
(1) Arătat¸i că<br />
(2)<br />
(3)<br />
(4)<br />
(5)<br />
(6)<br />
(7)<br />
(8)<br />
l α n ∈ Pn s¸i 〈l α n ,lα Γ(n+α+1)<br />
m 〉 =<br />
n!<br />
(înL2 w(0,∞) cuw(x) = xαe−x ) un<strong>de</strong>Γ(s) este funct¸iaΓalui Euler <strong>de</strong>finită<br />
prin<br />
Γ(s) =<br />
∞<br />
t<br />
0<br />
s−1 e −t dt (s > 0)<br />
nl α n (x)−(2n−1+α−x)lα n−1 (x)+(n−1−α)lα n−2 (x) = 0<br />
l α+1<br />
n (x)−l α+1<br />
n−1 (x) = lα n (x)<br />
d<br />
dx lα n(x) = −l α+1<br />
n−1(x), x d<br />
dx lα n(x) = nl α n(x)−(n+α)l α n−1(x)<br />
∞<br />
n=0<br />
l α n (x) =<br />
x n<br />
n! =<br />
t n l α n (x) =<br />
n<br />
(−1) k<br />
<br />
n+α<br />
x<br />
n−k<br />
k /k!<br />
k=0<br />
n<br />
(−1) k<br />
<br />
n+α<br />
l<br />
n−k<br />
α k<br />
k=0<br />
1 xt<br />
1−t |t| < 1 (f.gen.)<br />
(1−t) α+1e−<br />
H2n(x) = (−1) n 2 2n n!l −1/1<br />
n (x 2 )<br />
H2n+1(x) = (−1) n 2 2n+1 n!xl 1/2<br />
n (x2 )<br />
Solut¸ie. (1)-(7) se <strong>de</strong>duc utilizând tehnici analoage celor din exercit¸iile prece<strong>de</strong>nte.<br />
(8) se obt¸ine <strong>de</strong>zvoltând în serieHn(x) s¸il α n(x).<br />
Problema 2.4.11 (Ecuat¸ia diferent¸ială verificată <strong>de</strong> polinoamele ortogonale) Fie<br />
w o funct¸ie pozitivă pe[a,b] astfel încât<br />
w ′ (x)<br />
w(x) =<br />
A0 +A1x<br />
B0 +B1x+B2x 2<br />
s¸i lim<br />
x→a+<br />
w(x)(B0 +B1x+B2x<br />
(sau x→b−)<br />
2 ) = 0<br />
(2.35)<br />
(B0+B1x+B2x 2 )p ′′ n +(A0+A1x+B1+B2x)p ′ n −(A1n+B2n(n+1))pn = 0 (2.36)
32 Elemente <strong>de</strong> Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării<br />
Aplicat¸ie. Stabilit¸i ecuat¸iile diferent¸iale corespunzătoare pon<strong>de</strong>rii<br />
w(x) = (1−x) α (1+x)β, α > −1, β > −1, [a,b] = [−1,1] (polinoamele<br />
Jacobi pn(α,β))<br />
(1−x 2 )p ′′ n −((α−β)+(α+β +2)x)p ′ n −n(α+β +1+n)pn = 0<br />
în particular pentru polinoamele Cebîs¸ev <strong>de</strong> spet¸a I<br />
s¸i pentru polinoamele lui LegendreLn<br />
(1−x 2 )T ′′<br />
n −xT′ n (x)+n2 Tn(x) = 0<br />
(1−x 2 )L ′′ n(x)−2xL ′ n(x)+Ln(x) = 0<br />
w(x) = e−x2 peR, polinoamele lui HermiteHn<br />
H ′′<br />
n (x)−2xH′ n (x)+2nHn(x) = 0<br />
w(x) = x α e −x pe(0,∞),α > 1, polinoamele lui Laguerrel α n<br />
xp ′′ n (x)+(α−1−x)p′ n (x)+npn(x) = 0<br />
un<strong>de</strong>pn(x) = lα n(x).<br />
Solut¸ie. Dacă v(x) = w(x)(B0 + B1x + B2x2 ) ecuat¸ia diferent¸ială (2.36)<br />
înmult¸ită cu w(x), t¸inând cont <strong>de</strong> (2.35) se scrie sub forma Sturm-Liouville<br />
<strong>de</strong> un<strong>de</strong><br />
d<br />
dx<br />
<br />
v(x) dpn(x)<br />
dx<br />
<br />
= (A1n +B2n(n+1))pn(x)w(x)<br />
d<br />
dx [r(x)(p′ n(x)pm(x)−p ′ m(x)pn(x))] =<br />
= {A1(n−m)+B2[n(n+1)−m(m+1)]}pn(x)pm(x)w(x)}<br />
Integrând pe[a,b] se obt¸ine<br />
b<br />
a<br />
pn(x)pm(x)w(x)dx = 0 pentru n = m<br />
s¸i se verifică existent¸a unei solut¸ii polinomiale a lui (2) <strong>de</strong> grad n; prin urmare<br />
(pn)n≥0 constituie sistemul <strong>de</strong> polinoame ortogonale pe [a,b] relativ la pon<strong>de</strong>rea<br />
w. 2. Verificare prin calcul.<br />
Problema 2.4.12 Fie w o funct¸ie pon<strong>de</strong>re pozitivă pe [a,b], E = L 2 w[a,b] s¸i (pn)<br />
polinoamele ortonormale asociate.
2.4. Polinoame ortogonale 33<br />
(1) Arătat¸i că ∀f ∈ E<br />
∞<br />
n=0<br />
(f,pn) 2 ≤ f 2 E<br />
(2.37)<br />
(inegalitatea lui Bessel) cu egalitate (a lui Parseval) dacă spat¸iul vectorial<br />
P al polinoamelor este <strong>de</strong>ns în E în care caz<br />
este serie convergentă înE.<br />
f =<br />
∞<br />
〈f,pn〉pn,<br />
n=0<br />
(2) P este <strong>de</strong>ns înE dacă [a,b] este mărginit.<br />
(3) Polinomul <strong>de</strong> cea mai bună aproximare <strong>de</strong> gradnaluif în E este<br />
qn(x) =<br />
n<br />
(f,pk)pk(x) s¸i qn(x) = f(x)<br />
k=0<br />
în cel put¸inn+1 puncte din[a,b].<br />
Solut¸ie.<br />
(1) Rezultă imediat <strong>de</strong> la curs.<br />
(2) P este <strong>de</strong>ns înC 0 [a,b] pentru [a,b] mărginit s¸i<br />
fE = f∞<br />
b<br />
a<br />
w(x)dx<br />
1/2<br />
(3) qn este caracterizat prin(f−qn,pk) = 0 pentruk = 0,n în particular pentru<br />
k = 0 b<br />
(f(x)−qn(x))p0(x)w(x)dx = 0<br />
a<br />
<strong>de</strong>ci f −sn se anulează în cel put¸in într-un punct din [a,b]. Dacă f −qn se<br />
anulează în mai put¸in <strong>de</strong> n+1 puncte x1,...,xl din [a,b] cu l ≤ n atunci<br />
dacă<br />
l<br />
s(x) = (x−xi),<br />
i=1<br />
s(x)(f(x)−qn(x)) păstrează semn constant s¸i <strong>de</strong>ci〈f −qn,s〉 = 0 ceea ce<br />
contrazice faptul că f −qn ⊥ Pn în L 2 w [a,b]
34 Elemente <strong>de</strong> Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării<br />
Teorema 2.4.13 (Cebîs¸ev) Pentru orice f ∈ C[a,b] există P ∗ d s¸i există d + 2<br />
puncte<br />
a ≤ x0 < ··· < xd+1 ≤ b<br />
pentru care<br />
(−1) i [p ∗ d(xi)−f(xi)] = σP ∗ d−f ∞ , i = 0,1,...,d+1<br />
un<strong>de</strong>σ = sign(P ∗ d(x0)−f(x0)).<br />
Problema 2.4.14 Să se <strong>de</strong>termine p.c.b.a. unif. din P1 pentru f(x) = √ x pe<br />
[a,b] ⊂ R+.<br />
Solut¸ie.<br />
Eroarea <strong>de</strong> aproximare este<br />
P ∗ 1 = c0 +c1x<br />
e1(x) = c0 +c1x− √ x<br />
e ′ 1(x) = c1 − 1<br />
2 √ x<br />
xn = 1<br />
4c 2 1<br />
Conform teoremei lui Cebîs¸ev abaterea maximă se realizează în 3 puncte din[a,b]<br />
s¸i obt¸inem sistemul neliniar<br />
cu solut¸iile<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
c0 +c1a− √ a = E1<br />
2 − = −E1 c1<br />
c0 + 1<br />
4c1<br />
c0 +c1b− √ 3 = E1<br />
c0 = 1<br />
√ √ <br />
√a− a a+ b<br />
√ √ +<br />
2 a+ b 4<br />
c1 =<br />
1<br />
√ a+ √ b<br />
E1 = c0 +c1a− √ a<br />
,
Capitolul 3<br />
Teoria erorilor<br />
Definit¸ia 3.0.15 Aplicat¸ia A : X → P(X) se numes¸te proce<strong>de</strong>u <strong>de</strong> aproximare,<br />
iara ∈ A(α) aproximantă pentruα.<br />
F = {mb n |m,n ∈ Z, b ∈ N, b > 1} numere practice (fract¸iib-adice limitate)<br />
F <strong>de</strong>nsă.<br />
Regula <strong>de</strong> rotunjire - rotunjire la cifră pară<br />
Surse <strong>de</strong> erori<br />
1) Erori ale <strong>probleme</strong>i - erori <strong>de</strong> formulare; apar datorită simplificării s¸i i<strong>de</strong>alizării<br />
<strong>probleme</strong>i. Erori ale meto<strong>de</strong>i - apar datorită faptului că se lucrează cu<br />
aproximări.<br />
2) Erori reziduale - expresiile unor valori din analiza matematică rezultă din<br />
procese infinite, iar noi lucrăm cu un număr finit <strong>de</strong> pas¸i.<br />
sinx = x− x3<br />
3!<br />
+ x5<br />
5! −...<br />
3) Erori init¸iale - datorate parametrilor <strong>de</strong> intrare - erori fizice s¸i <strong>de</strong> măsurare<br />
4) Erori <strong>de</strong> rotunjire - datorate sistemelor <strong>de</strong> numerat¸ie s¸i lucrului cu un număr<br />
finit <strong>de</strong> zecimale<br />
1<br />
= 0.333 ∆ ≈ 3·10−4<br />
3<br />
5) Erori ale operat¸iilor - lucrând cu numere aproximative erorile se propagă -<br />
erori inerente.<br />
35
36 Teoria erorilor<br />
3.1 Erori absolute s¸i relative. Cifre semnificative corecte<br />
Exemplul 3.1.1 Să se <strong>de</strong>termine o limită a erorii absolute dacă se lucrează cu<br />
3.14 în loc <strong>de</strong>π.<br />
3.14 < π < 3.15 |a−π| < 0.01 ∆a = 0.01<br />
Exemplul 3.1.2 Greutatea unui dm 3 <strong>de</strong> apă la 0 ◦ C este G = 999.847gf ±<br />
0.001gf. Să se <strong>de</strong>termine o limită a erorii relative.<br />
∆a = 0.001 G ≥ 999.846<br />
δa = 0.001<br />
999.847 ≈ 10−4 %<br />
Cifre semnificative<br />
= 0<br />
0 între cifre semnificative sau marcator <strong>de</strong> pozit¸ie<br />
0 nesemnificativ - când fixează pozit¸ia mărcii zecimale<br />
0 007010 2003 000 000<br />
α = α0b k +a1b n−1 +···+αn−1b k−n+1 +αnb k−n<br />
Definit¸ia 3.1.3 Spunem că a ≈ α cu n cifre semnificative corecte dacă<br />
|∆a| ≤ 1<br />
2 bk−n+1<br />
Dacă b = 10 s¸i|∆a| ≤ 1<br />
2 10−m spunem că a ≈ α cu m zecimale corecte.<br />
Teorema 3.1.4 Dacă a este obt¸inut din α prin rotunjire la n cifre atunci a aproximează<br />
peαcu n cifre semnificative corecte.<br />
Exemplul 3.1.5 Rotunjind<br />
π = 3.1415926535...<br />
la 5, 4, 3 cifre semnificative corecte obt¸inem aproximat¸iile<br />
3.1416, 3.142, 3.14<br />
1<br />
2 10−4 ,<br />
1<br />
2 10−3 ,<br />
1<br />
2 10−2
3.2. Propagarea erorilor 37<br />
Teorema 3.1.6 Fiea,α ∈ R+. Dacăaaproximează peα cumcifre semnificative<br />
corecte, un<strong>de</strong>a0 este cifra cea mai semnificativă a luiaîn baza b, atunci<br />
δa ≤ 1<br />
a0b n−1<br />
Exemplul 3.1.7 Care este o limită a erorii relative dacă lucrăm cu 3.14 în loc <strong>de</strong><br />
π?<br />
a0 = 3, n = 3<br />
1 1 1<br />
δa = = =<br />
3·10 3−1 300 3 %<br />
Exemplul 3.1.8 Câte cifre trebuie consi<strong>de</strong>rate la calculul lui √ 20 astfel încât<br />
eroarea să nu <strong>de</strong>păs¸ească 0.1%?<br />
a0 = 4, δ = 0.001<br />
1<br />
4·10 n−1 ≤ 0.001, 10n−1 ≥ 250 ⇒ n = 4<br />
Invers, numărul <strong>de</strong> cifre corecte<br />
Teorema 3.1.9 α ∈ R+, a aproximează peαs¸i<br />
δa ≤<br />
1<br />
2(α0 +1)b n−1,<br />
un<strong>de</strong> α0 este cifra cea mai semnificativă a lui α atunci a aproximează pe α cu n<br />
cifre semnificative corecte.<br />
Exemplul 3.1.10 a ≈ α, a = 24253, eroarea relativă 1%. Câte cifre semnificative<br />
corecte are∆ = 24253 : 0.0 ≈ 243 = 2.43·10 2 ⇒ 2 cifre<br />
3.2 Propagarea erorilor<br />
u = f(x1,...,xn)<br />
∆u ≈ <br />
<br />
<br />
∂f <br />
<br />
∂xi<br />
∆xi<br />
|∆u| ≈ <br />
<br />
<br />
∂f <br />
<br />
∂xi<br />
|∆xi|<br />
δn ≈ <br />
<br />
<br />
∂ <br />
lnf<br />
∂xi<br />
∆xi ≈ <br />
<br />
<br />
∂ <br />
xi lnf<br />
∂xi<br />
δxi
38 Teoria erorilor<br />
Exemplul 3.2.1 Găsit¸i o limită a erorii absolute s¸i relative pentru volumul sferei<br />
cu diametrul egal cu 3.7cm±0.04cm s¸i π ≈ 3.14.<br />
V = πd3<br />
6<br />
∂V<br />
∂π<br />
= 1<br />
6 d3 = 8.44<br />
∂V 1<br />
=<br />
∂d 2 πd2 = 21.5<br />
<br />
<br />
∆V = <br />
∂V <br />
<br />
∂π<br />
|∆π|+<br />
<br />
<br />
<br />
∂V <br />
<br />
∂d<br />
|∆d| = 8.44+21.5·0.05 ≈ 1.088 ≈ 1.1<br />
∆V = 1.0888<br />
274<br />
≈ 4%<br />
Exemplul 3.2.2 (Se aplică principiul efectelor egale) Un cilindru are raza R ≈<br />
2m, înălt¸inea H ≈ 3m. Cu ce erori absolute trebuie <strong>de</strong>terminate R s¸i H astfel<br />
încâtV să poată fi calculat cu o eroare< 0.1m 3 .<br />
V = πR 2 H, ∆V = 0.1m 3<br />
∂V<br />
∂π = R2 H = 12,<br />
∂V<br />
∂R<br />
= 2πRH = 37.7<br />
∂V<br />
∂H = πR2 = 12.6, n = 3<br />
∆π ≈ ∆V<br />
3 ∂V<br />
∂π<br />
= 0.1<br />
< 0.003<br />
3.12<br />
∆R ≈ 0.1<br />
< 0.001<br />
3·37.7<br />
∆H ≈ 0.1<br />
< 0.003<br />
3·12.6<br />
3.3 Erorile pentru vectori s¸i operatori<br />
Problema 3.3.1 Care este eroarea pentru d<br />
f(u)du când funct¸ia f este aproxi-<br />
c<br />
mată prin f.<br />
T = max<br />
ε(x)∞=1<br />
Tf =<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
c<br />
d<br />
c<br />
<br />
<br />
ε(x)dx<br />
<br />
f(u)du, T : L 2 [c,d] → R<br />
= max<br />
{ε(x)|max<br />
[c,d] |ε(x)|=1}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
c<br />
<br />
<br />
ε(x)dx<br />
= d−c
3.3. Erorile pentru vectori s¸i operatori 39<br />
f(x)−f(x)∞ := ε(x) = max |ε(x)| ≤ bf<br />
x∈[c,d]<br />
∆T ≤ (d−c)bf<br />
Sx(T) = Tx<br />
Tx<br />
= max<br />
ε=0 ρx,ε<br />
Problema 3.3.2 Să se studieze senzitivitatea operatorului aditiv<br />
Solut¸ie. Fie<br />
În general<br />
Dacă u s¸i v au acelas¸i semn<br />
U(u,v) = u+v, T : (R 2 ,·1) → (R,||)<br />
(u,v) = (2,3)<br />
S2,3(T) = |2|+|3|<br />
|2+3|<br />
Sx(T) = |u|+|v|<br />
|u+v|<br />
Sx(T) = 1<br />
Dacă u s¸i v au semne opuse|u+v| < |u|+|v| s¸iSx(T) > 1.<br />
Senzitivitatea poate fi făcută oricât <strong>de</strong> mare pentruus¸iv <strong>de</strong> semne contrare s¸i<br />
apropiate în modul<br />
u = 0.5, v = −0.499999<br />
∆u,∆v < 10 −6<br />
= 1<br />
Sx(T) ≈ 0.000002<br />
≈ 2·10−6<br />
0.999999<br />
Concluzie. ε rel.ies¸ire> 106 ·eroarea rel. <strong>de</strong> intrare<br />
Morala: evitarea scă<strong>de</strong>rii cantităt¸ilor apropiate<br />
Problema 3.3.3 Indicat¸i o modalitate <strong>de</strong> a evita anularea pentru<br />
1)e x −1 |x| ≪ 1<br />
2) √ x+1− √ x x ≫ 0<br />
Problema 3.3.4 Să se <strong>de</strong>termine numărul <strong>de</strong> condit¸ionare pentru operatorul T :<br />
R 2 → R 2<br />
x<br />
y<br />
T<br />
→<br />
x+y<br />
x+2y
40 Teoria erorilor<br />
Solut¸ie.<br />
Tx =<br />
1 1<br />
1 2<br />
<br />
×<br />
1 1<br />
1 2<br />
−1<br />
=<br />
A∞ = 3 A −1 ∞ = 3<br />
cond∞(T) = 9<br />
3.4 Aritmetică în virgulă flotantă<br />
2 −1<br />
−1 1<br />
Problema 3.4.1 Să se compare următoarele două meto<strong>de</strong> pentru calculul luix 2 −<br />
y 2 :<br />
x⊗x⊖y ⊗y,<br />
(x⊕y)⊗(x⊖y).<br />
Solut¸ie. Eroarea relativă pentru x⊖y este<br />
Altfel scris<br />
La fel<br />
δx⊖y = δ1 = [(x⊖y)−(x−y)]/(x−y)]<br />
|δ1| ≤ 2ε<br />
x⊖y = (x−y)(1+δ1) |δ1| ≤ 2ε<br />
x⊕y = (x+y)(1+δ2) |δ2| ≤ 2ε<br />
Presupunând că înmult¸irea se realizează calculând produsul exact s¸i apoi efectuând<br />
rotunjirea, eroarea relativă este cel mult1/2 ulp, <strong>de</strong>ci<br />
Se iau = x⊖y,v = x⊕y<br />
u⊗v = uv(1+δ3) |δ3| ≤ ε ∀u,v ∈ NVF<br />
(x⊖y)⊗(x⊕y) = (x−y)(1+δ1)(x+y)(1+δ2)(1+δ3)<br />
Eroarea relativă este<br />
(x⊖y)⊗(x⊕y)−(x 2 −y 2 )<br />
(x 2 −y 2 )<br />
= (1+δ1)(1+δ2)(1+δ3)−1 =<br />
= δ1 +δ2 +δ3 +δ1δ2 +δ1δ3 +δ2δ3 +δ1δ2δ3 < 5ε+8ε 2 ≈ 5ε
3.4. Aritmetică în virgulă flotantă 41<br />
Pentru cealaltă variantă<br />
(x⊗x)⊖(y ⊗y) = [x 2 (1+δ1)−y 2 (1+δ2)](1+δ3) =<br />
= [(x 2 −y 2 )(1+δ1)+(δ1 −δ2)y 2 ](1+δ3)<br />
Dacă x ≈ y ⇒ (δ1 − δ2)y 2 ≈ x 2 − y 2 , atunci (x − y)(x+y) este mai precis<br />
<strong>de</strong>cât x 2 −y 2<br />
δ = (x⊗x)⊖(y ⊗y)−(x2 −y 2 )<br />
x 2 −y 2<br />
= (1+δ1)(1+δ3)+ (δ1 −δ2)(1+δ3)y 2<br />
x 2 −y 2<br />
−1<br />
= δ1 +δ3 +δ1δ3 + y2<br />
x 2 −y 2(δ1 −δ2 +δ1δ3 −δ2δ3).<br />
Problema 3.4.2 ( Conversia binar zecimal (scriere s¸i apoi citire))<br />
Pentru precizie simplă avem p = 24 s¸i 2 24 < 10 8 <strong>de</strong>ci 8 cifre par suficiente<br />
pentru a recupera numărul original (totus¸i nu este as¸a!). Când un număr binar<br />
IEEE simplă precizie este convertit la cel mai apropiat număr zecimal <strong>de</strong> 8 cifre,<br />
nu este întot<strong>de</strong>auna posibil să recuperăm unic numărul binar din cel zecimal.<br />
Dacă se utilizează nouă cifre, totus¸i, conversia numărul zecimal în binar va recupera<br />
numărul flotant originar.<br />
Demonstrat¸ie. Numerele binare în simplă precizie din intervalul [10 3 ,2 10 ) =<br />
[1000,1024) au zece bit¸i în stânga mărcii zecimale s¸i 14 la dreapta. Există <strong>de</strong>ci<br />
(2 10 − 10 3 ) = 393216 numere binare diferite în acest interval. Dacă numerele<br />
zecimale sunt reprezentate cu 8 cifre avem(2 10 −10 3 )10 4 = 240000 numere zecimale<br />
în acest interval. Deci nu există nici o modalitate <strong>de</strong> a reprezenta prin 240000<br />
<strong>de</strong> numere zecimale 393216 numere binare diferite. 8 cifre sunt insuficiente!<br />
Pentru a arăta că nouă cifre sunt suficiente trebuie să arătăm că spat¸iul dintre<br />
numerele binare este întot<strong>de</strong>auna mai mare <strong>de</strong>cât cel dintre numerele zecimale.<br />
Aceasta ne asigură că, pentru fiecare număr zecimal posibil, intervalul <strong>de</strong> forma<br />
N − 1 1<br />
ulp,N +<br />
2 2 ulp<br />
<br />
cont¸ine cel put¸in un număr binar. Astfel, fiecare număr<br />
binar se rotunjes¸te la un număr zecimal unic, care ne conduce la un număr binar<br />
unic.<br />
Pentru a arăta că spat¸iul dintre numerele zecimale este întot<strong>de</strong>auna mai mic<br />
<strong>de</strong>cât spat¸iul dintre numerele binare să consi<strong>de</strong>răm intervalul [10 n ,10 n+1 ]. Pe<br />
acest interval, spat¸iul dintre două numere zecimale consecutive este 10 (n+1)−9 .
42 Teoria erorilor<br />
În intervalul [10 n ,2 m ] un<strong>de</strong> m este cel mai mic întreg astfel ca 10 n < 2 m , spat¸iul<br />
dintre numerele binare este2 m−24 .<br />
Inegalitatea<br />
10 (n+1)−9 < 2 m−2n<br />
rezultă astfel:<br />
10 n < 2 m<br />
10 (n+1)−9 = 10 n 10 −8 < 2 m 10 −8 < 2 m 2 −24<br />
Observat¸ia 3.4.3 Spat¸iul dintre 2 numere zecimale este mai mic <strong>de</strong>cât 10 −9 ·<br />
10 n+1 = 10 n+1−9 = 10 n−8 , iar spat¸iul dintre 2 numere binare este mai mare<br />
<strong>de</strong>cât2 m ·2 −24 = 2 m−24 .<br />
Problema 3.4.4 În multe <strong>probleme</strong>, cum ar fi integrarea numerică s¸i rezolvarea<br />
numerică a ecuat¸iilor diferent¸iale, este nevoie să se însumeze mai mult¸i termeni.<br />
Deoarece fiecare adunare poate introduce o eroare ≈ 1/2ulp, o sumă cu mii<br />
<strong>de</strong> termeni poate introduce o eroare <strong>de</strong> rotunjire foarte mare. Să se arate că un<br />
mod simplu <strong>de</strong> a mics¸ora eroarea este <strong>de</strong> a efectua sumarea în dublă precizie s¸i<br />
celelalte calcule în simplă precizie.<br />
Solut¸ie. Pentru a da o estimare grosieră a modului în care reprezentarea în<br />
dublă precizie îmbunătăt¸es¸te acuratet¸ea fie s1 = x1, s2 = x1 ⊕ x2,..., si =<br />
si−1 ⊕xi. Atunci<br />
si = (1+δi)(si−1 +xi),<br />
un<strong>de</strong>|δi| ≤ ε.<br />
sn = (1 = δn)(sn−1 +xn) = (1+δn)sn−1 +(1+δn)xn<br />
= (1+δn)(1+δn−1)(sn−2 +xn−1)+(1+δn)xn<br />
= (1+δn)(1+δn−1)sn−2 +(1+δn)(1+δn−1xn−1 +(1+δn)xn = ...<br />
= (1+δn)xn +(1+δn)(1+δn−1)xn−1 +···+(1+δn)...(1+δ1)x1<br />
n<br />
<br />
n<br />
<br />
n n<br />
<br />
n<br />
<br />
≈ 1+ δk) = xj +<br />
j=1<br />
xj<br />
k=j<br />
j=1<br />
j=1<br />
xj<br />
k=j<br />
∆x1 ≈ nε ∆x2 ≈ (n−1)ε,...,∆xn ≈ ε<br />
<br />
∆sn ≤ nε |xj|<br />
Dublarea precizie are ca efect ridicarea la pătrat a lui ε. Pentru dublă precizie<br />
1/ε ≈ 10 16 <strong>de</strong>ci nε ≪ 1 pentru orice valoare rezonabilă a luin.<br />
δk
3.4. Aritmetică în virgulă flotantă 43<br />
Concluzie. Dublarea preciziei schimbă perturbat¸ia dinnε în nε 2 ≪ ε.<br />
Există o metodă <strong>de</strong> însumare în simplă precizie a unui număr mare <strong>de</strong> numere,<br />
introdusă <strong>de</strong> Kahan.<br />
Ea utilizează aceeas¸i strategie ca însumarea directă, dar la fiecare operat¸ie <strong>de</strong><br />
adunare eroarea <strong>de</strong> rotunjire este estimată s¸i compensată cu un termen <strong>de</strong> corect¸ie.<br />
Principiul <strong>de</strong> estimare este explicat în figura 3.1, un<strong>de</strong> semnificant¸ii termenilor a<br />
s¸ibsunt reprezentat¸i prin dreptunghiuri. El poate fi reprezentat prin formula<br />
e = ((a⊕b)⊖a)⊖b = (s⊖a)⊖b. (3.1)<br />
Astfel, într-o aritmetică binară cu rotunjire, pentrua ≥ b are loc<br />
e = s−(a+b);<br />
<strong>de</strong>ci, eroarea <strong>de</strong> rotunjire este dată exact <strong>de</strong> (3.1).<br />
a a1 a2<br />
b b1 b2<br />
s := a⊕b a1 a2 +b1<br />
t := s⊖a b1 0<br />
e := t⊖b −b2<br />
Figura 3.1: Estimarea erorii <strong>de</strong> rotunjires−s = −b2<br />
Pentru însumare compensată la fiecare pas eroarea <strong>de</strong> însumare este estimată<br />
în conformitate cu principiul lui Kahan s¸i utilizată pentru ajustare (algoritmul 1).<br />
Algoritmul 1 Însumare Kahan<br />
s := x1;<br />
e := 0;<br />
fori = 2 to n do<br />
y := xi −e;<br />
t := s+y;<br />
e := (t−s)−y;<br />
s := t<br />
end for
44 Teoria erorilor<br />
Problema 3.4.5 (Însumare Kahan) Eroarea <strong>de</strong> rotunjire pentru algoritmul 1 poate<br />
fi estimată prin<br />
|sn −sn| ≤ 2eps+O neps 2 n <br />
|xi|. (3.2)<br />
Solut¸ie. Să ve<strong>de</strong>m întâi cum s-a obt¸inut estimat¸ia pentru formula xi. Introducen<br />
s1 = x1,si = (1+δi)(si−1+xi). Atunci suma calculată estesn, care este o sumă<br />
<strong>de</strong> termeni <strong>de</strong> formaxi înmult¸it cu o expresie înδj-uri. Coeficientul exact al luix1<br />
este(1+δ2)(1+δ3)...(1+δn). Deci prin renumerotare, coeficientul luix2 este<br />
(1 + δ3)(1 + δ4)...(1 + δn) s¸.a.m.d. Se proce<strong>de</strong>ază la fel ca la problema 3.4.4,<br />
doar coeficientul lui x1 este mai complicat. Avems0 = e0 = 0 s¸i<br />
yk = xk ⊖ck−1 = (xk −ck−1)(1+ηk)<br />
sk = sk−1 ⊕yk = (sk−1 +yk)(1+σk)<br />
ek = (sk ⊖sk−1)⊖yk = [(sk −sk−1)(1+γk)−yk](1+δk)<br />
un<strong>de</strong> toate literele greces¸ti sunt mărginite <strong>de</strong> eps. Este mai us¸or să calculăm coeficientul<br />
luix1 însk −ek s¸i ek <strong>de</strong>cât însk. Când k = 1,<br />
e1 = (s1(1+γ1)−γ1)(1+δ1) = y1((1+σ1)(1+γ1)−1)(1+δ1)<br />
= x1(σ1 +γ1 +σ1γ −1)(1+δ1)(1+η1)<br />
s1 −c1 = x1[(1+σ1)−(σ1 +γ1 +σ1γ1)(1+δ1)](1+η1)<br />
i=1<br />
= x1[1−γ1 −σ1δ1 −σ1γ1 −δ1γ1 −σ1γ1δ1](1+η1).<br />
Notând coeficient¸ii luix1 în aceste expresii cu Ek s¸i respectivSk, atunci<br />
E1 = 2eps+O(eps 2 )<br />
S1 = 1+η1 −γ1 +4eps 2 +O(eps 3 ).<br />
Pentru a obt¸ine formula generală pentru Sk s¸i Ek, <strong>de</strong>zvoltăm <strong>de</strong>finit¸iile lui sk s¸i<br />
ek, ignorând tot¸i termenii în xi cu i > 1. Aceasta ne dă<br />
sk = (sk−1 +yk)(1+σk) = [sk−1 +(xk −ek−1)(1+ηk)](1+σk)<br />
= [(sk−1 −ek−1)−ηkek−1](1+σk)<br />
ek = [(sk −sk−1)(1+γk)−yk](1+δk)<br />
= {[((sk−1 −ek−1)−ηkek−1)(1+σk)−sk−1](1+γk)+ek−1(1+ηk)}<br />
(1+δk)
3.4. Aritmetică în virgulă flotantă 45<br />
= {[(sk−1 −ek−1)σk −ηkek−1(1+σk)−ek−1](1+γk)+ek−1(1+ηk)}<br />
(1+δk)<br />
= [(sk−1−ek−1)σk(1+γk)−ek−1(γk +ηk(σk +γk +σkγk))](1+δk)<br />
sk −ek = ((sk−1 −ek−1)−ηkek−1)(1+σk)−<br />
[(sk−1 −ek−1)σk(1+γk)−ek−1(γk +ηk(σk +γk +σkγk))](1+δk)<br />
= (sk−1−ek−1)((1+σk)−σk(1+γk)(1+δk))+<br />
ck−1(−ηk(1+σk)+(γk +ηk(σk +γk +σkγk))(1+δk))<br />
= (sk−1−ek−1)(1−σk(σk +γk +σkγk))+<br />
ek−1[−ηk +γk +ηk(γk +σkγk)+(γk +ηk(σk +γk +σkγk))δk]<br />
Deoarece Sk s¸i Ek trebuie calculate cu precizia eps 2 , ignorând termenii <strong>de</strong> grad<br />
mai mare avem<br />
Ek = σk +O(eps 2 ) Sk−1 + −γk +O(eps 2 ) Ek−1,<br />
Sk = 1+2eps 2 +O(eps 2 ) Sk−1 + 2eps+O(eps 2 ) Ek−1.<br />
Utilizând aceste formule se obt¸ine<br />
C2 = σ2 +O(eps 2 )<br />
S2 = 1+η1 −γ1 +10eps 2 +O(eps 3 )<br />
s¸i, în general, se verifică us¸or prin indict¸ie că<br />
Ck = σk +O(eps 2 )<br />
Sk = 1+η1 −γ1 +(4k +2)eps 2 +O(eps 3 ).<br />
În final vom calcula coeficientul lui x1 dinsk. Pentru a obt¸ine această valoare, fie<br />
xn+1 = 0 s¸i toate literele greces¸ti cu indiciin+1 egale cu zero s¸i calculăm sn+1.<br />
Atunci sn+1 = sn −cn s¸i coeficientul lui x1 în sn este mai mic <strong>de</strong>cât coeficientul<br />
luisn+1, care este<br />
Sn = 1+η1 −γ1 +(4n+2)eps 2 +O(neps 2 ).<br />
Marginea (3.2) este o îmbunătăt¸ire semnificativă fat¸ă <strong>de</strong> însumarea obis¸nuită,<br />
cu condit¸ia cansă nu fie suficient <strong>de</strong> mare, dar nu este la fel <strong>de</strong> bună ca însumarea<br />
în dublă precizie.<br />
Un exemplu <strong>de</strong> expresie care poate fi rescrisă utilizând anularea benignă este<br />
(1+x) n , un<strong>de</strong>x ≪ 1.
46 Teoria erorilor<br />
Problema 3.4.6 Depunând 100$ pe zi într-un cont cu o rată a dobânzii <strong>de</strong> 6%<br />
calculată zilnic la sfârs¸itul anului avem 100[(1+i/n)−1]/(i/n)$.<br />
Dacă p = 2 s¸i p = 24 (ca în IEEE) obt¸inem 37615.45$ care comparat cu<br />
răspunsul exact, 37614.05$ dă o discrepant¸ă <strong>de</strong> 1.40$. Explicat¸i fenomenul.<br />
Solut¸ie. Expresia1+i/n implică adăugarea unui 1 la 0.0001643836, <strong>de</strong>ci bit¸ii<br />
<strong>de</strong> ordin mic ai lui i/n se pierd. Această eroare <strong>de</strong> rotunjire este amplificată când<br />
(1+i/n) este ridicat la puterea an−a. Expresia(1+i/n) n se rescrie sub forma<br />
exp[nln(1 + i/n)]. Problema este acum calculul lui ln(1 + x) pentru x mic. O<br />
posibilitate ar fi să utilizăm aproximarealn(1+x) ≃ x s¸i se obt¸ine 37617.26$ cu<br />
o eroare <strong>de</strong> 3.21$ <strong>de</strong>ci mai mare <strong>de</strong>cât în situat¸ia anterioară. Rezultatul <strong>de</strong> mai jos<br />
ne permite să calculăm precis ln(1+x)(37614.67$, eroarea 2c). Se presupune că<br />
LN(x) aproximează lnx cu o precizie ≤ 1/2ulp. Problema care o rezolvă este<br />
aceea că atunci cândxeste micLN(1⊕x) nu este apropiat <strong>de</strong>ln(1+x) <strong>de</strong>oarece<br />
1⊕xnu este precis. Adică valoarea calculată pentru ln(1+x) nu este apropiată<br />
<strong>de</strong> valoarea actuală când x ≤ 1.<br />
I. Dacă ln(1+x) se calculează utilizând formula<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
ln(1+x) =<br />
⎪⎩<br />
x dacă 1⊕x = 1<br />
xln(1+x)<br />
(1+x)−1<br />
dacă 1⊕x = 1<br />
eroarea relativă este cel mult 5ε când 0 ≤ x < 3/4 cu condit¸ia ca scă<strong>de</strong>rea să se<br />
realizeze cu o cifră <strong>de</strong> gardă,ε < 0.1 s¸i ln este calculat cu o precizie <strong>de</strong>1/2ulp.<br />
Această formulă este operat¸ională pentru orice valoare a luix, dar este interesantă<br />
dacăx ≪ 1, când apare anulare catastrofală în formula naivă pentru calculul<br />
luiln(1+x). Des¸i formula pare misterioasă ea are o explicat¸ie simplă.<br />
ln(1+x) = xln(1+x)<br />
x<br />
= xµ(x)<br />
µ(x) = ln(1+x)<br />
x<br />
va suferi o eroare mare când se adaugă 1 la x. Totus¸i µ este aproape constantă<br />
<strong>de</strong>oarece ln(1+x) ≃ x. Deci dacăxse schimbă put¸in eroarea va fi mică. Cu alte<br />
cuvinte, dacă x ≃ x, xµ(x) va fi o aproximare bună pentru xµ(x) = ln(1 + x).<br />
Există o valoare pentru x astfel încât x +1 să poată fi calculat precis? Deci x =<br />
(1⊕x)⊖1, <strong>de</strong>oarece în acest caz 1+ x = 1⊕x.<br />
Lema 3.4.7 Dacă µ(x) = ln(1+x)<br />
, atunci pentru0 ≤ x ≤<br />
x<br />
3<br />
4<br />
1/2 ≤ µ(x) ≤ 1 s¸i |µ ′ (x)| ≤ 1/2.
3.4. Aritmetică în virgulă flotantă 47<br />
Demonstrat¸ie.µ(x) = 1−x/2+x 2 /3−... este o serie alternată cu termeni<br />
<strong>de</strong>screscători, <strong>de</strong>ci pentrux ≤ 1,<br />
µ(x) ≥ 1− x<br />
2<br />
≥ 1/2 s¸i µ(x) ≤ 1.<br />
Seria Taylor a lui µ ′ (x) este <strong>de</strong> asemenea alternată s¸i dacă x ≤ 3<br />
, termenii<br />
4<br />
sunt <strong>de</strong>screscători <strong>de</strong>ci<br />
−1/2 ≤ µ ′ (x) ≤ − 1 2x<br />
+<br />
2 3<br />
Demonstrat¸ia teoremei.<br />
ln(1+x) = x− x2<br />
2<br />
+ x3<br />
3<br />
sau − 1<br />
2 ≤ µ′ (x) ≤ 0.<br />
−... (Taylor)<br />
alternată s¸i0 < x−ln(1+x) < x2<br />
x<br />
,δ pentruln(1+x) ≈ x < . Dacă1⊕x = 1,<br />
2 2<br />
atunci|x| < ε, <strong>de</strong>ci δ < ε<br />
2 .<br />
Dacă 1⊕x = 1, fie x <strong>de</strong>finit prin1⊕x = 1+x<br />
0 ≤ x < 1 ⇒ (1⊕x)⊖1 = x. Dacă împărt¸irea s¸i logaritmul se calculează<br />
cu o precizie <strong>de</strong>1/2ulp<br />
adică<br />
ln(1⊕x)<br />
(1⊕x)⊖1 (1+δ1)(1+δ2) =<br />
ln(1+ x)<br />
(1+δ1)(1+δ2) =<br />
x<br />
= µ(x)(1+δ1)(1+δ2); |δ1| ≤ ε, |δ2| ≤ ε<br />
µ(x)−µ(x) = (x−x)µ(ξ) ξ ∈ (x,x)<br />
Din <strong>de</strong>finit¸ia lui x, |x−x| ≤ ε. Aplicăm<br />
|µ(x)−µ(x)| ≤ ε<br />
2<br />
sau<br />
<br />
<br />
<br />
µ(x)<br />
µ(x)<br />
−1<br />
<br />
<br />
<br />
≤<br />
µ(x) = µ(x)(1+δ3), |δ3| ≤ ε<br />
ε<br />
≤ ε<br />
2|µ(x)|<br />
xln(1+x)<br />
(1+x)−1 (1+δ1)(1+δ2)(1+δ3)(1+δ4), |δi| ≤ ε<br />
Dacă ε > 0.1 atunci<br />
cu |δ| < 5ε.<br />
(1+δ1)(1+δ2)(1+δ3)(1+δ4) = 1+δ
48 Teoria erorilor<br />
Problema 3.4.8 Dacă b2 ≈ 4ac, eroarea <strong>de</strong> rotunjire poate contamina jumătate<br />
din cifrele rădăcinii calculate cu formula −b±√b 2 −4ac<br />
(β = 2).<br />
2c<br />
Solut¸ie. Dacă eroarea relativă estenε atunci numărul <strong>de</strong> cifre contaminat este<br />
log βn.<br />
((b⊗b)⊖(3a⊗c) = (b 2 (1+δ1)−4ac(1+δ2))(1+δ3) =<br />
= (d(1+δ1)−4ac(δ1 −δ2)(1+δ3)).<br />
Pentru a estima eroarea vom ignora termenii <strong>de</strong> ordinul doi înδi, eroarea fiind<br />
d(δ1 +δ3)−4acδn, |δ4| = |δ1 −δ2| ≤ 2ε<br />
Deoarece δ ≪ 4ac, primul termend(δ1 +δ3) poate fi ignorat. Pentru a estima<br />
al treilea termen scriem<br />
<strong>de</strong>ci ax1x2 = c<br />
un<strong>de</strong><br />
ax 2 +bx+c = a(x−x1)(x−x2),<br />
b 2 ≈ 4ac ⇒ x1 ≈ x2 ⇒ 4acδ4 ≈ 4a 2 x 2 1 δ4<br />
Valoarea calculată pentru √ d este d+4a 2 x 2 1δ4.<br />
Aplicăm inegalitatea<br />
p−q ≤ p 2 −q 2 ≤ p 2 +q 2 ≤ p+q, p ≥ q.<br />
Obt¸inem d+4a 2 x1δ4 = √ d+E<br />
|E| ≤<br />
<br />
4a 2 x 2 1 |δn|<br />
√ δn.<br />
<strong>de</strong>ci eroarea absolută pentru √ d este aproximativx1<br />
2a<br />
Deoarece δ4 ≈ β−p , √ δ4 ≈ β−p/2 s¸i <strong>de</strong>ci această eroare absolută contaminează<br />
jumătate din bit¸ii rădăciniix1 = x2.<br />
3.5 Condit¸ionarea unei <strong>probleme</strong><br />
Exemplul 3.5.1 (Recurent¸e) Calculăm<br />
1<br />
In =<br />
0<br />
tn dt pentrun ∈ N<br />
t+5
3.5. Condit¸ionarea unei <strong>probleme</strong> 49<br />
1<br />
I0 =<br />
0<br />
dt<br />
t+5<br />
t<br />
t+5<br />
<br />
<br />
= ln(t+5)<br />
= 1− 5<br />
t+5<br />
1<br />
0<br />
= ln 6<br />
5<br />
(3.3)<br />
Ik = −5Ik−1 + 1<br />
, k = 1,2,...,n (3.4)<br />
k<br />
y0 = I0, yn = In<br />
yn = fn(I0)<br />
y0 → fn → yn<br />
fn : R → R<br />
Ne interesează condit¸ionarea lui fn în y0 = I0. Rezultatul final va fi o aproxi-<br />
) s¸i vom avea<br />
<br />
<br />
<br />
I<br />
<br />
∗ n −In<br />
<br />
<br />
<br />
= (condfn)(I0) <br />
I<br />
<br />
∗ 0 −I0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
mareI ∗ n = fn(I ∗ 0<br />
Aplicând (3.4) obt¸inem<br />
In<br />
I0<br />
yn = fn(y0) = (−5) n y0 +pn,<br />
cu pn in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt <strong>de</strong>y0.<br />
<br />
<br />
(condfn)(y0) = <br />
y0f<br />
<br />
′ <br />
(y0) <br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
y0(−5)<br />
<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
.<br />
Deoarece In este <strong>de</strong>screscător<br />
yn<br />
n I05<br />
(condfn)(I0) =<br />
In<br />
> I0 ·5 n<br />
I0<br />
yn<br />
= 5 n<br />
Spunem că avem <strong>de</strong>-a face cu o problemă prost condit¸ionată. Cum putem evita<br />
fenomenul?<br />
În loc să înmult¸im cu un număr mare, mai bine împărt¸im cu un număr mare.<br />
Scriem (3.4) astfel<br />
yk−1 = 1<br />
5<br />
<br />
1<br />
k −yk<br />
<br />
, k = ν,ν −1,...,n+1<br />
Problema este, <strong>de</strong>sigur, cum să calculăm valoarea <strong>de</strong> pornireyν.<br />
Înainte <strong>de</strong> a începe cu aceasta să observăm că avem o nouă cutie neagră
50 Teoria erorilor<br />
yν → gn → yn<br />
<br />
<br />
1<br />
yν<br />
−5 (condgn)(yν) = <br />
<br />
yn<br />
Pentru yν = Iν, avem folosind monotonia<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
I ∗ n −In<br />
In<br />
(condgn)(Iν) <<br />
<br />
<br />
<br />
= (condgn)(Iν) <br />
<br />
−ν−n<br />
<br />
<br />
<br />
,<br />
ν > n.<br />
<br />
ν−n 1<br />
, ν > n<br />
5<br />
I ∗ ν −Iν<br />
Iν<br />
<br />
<br />
<br />
<<br />
ν−n 1 <br />
5<br />
I ∗ ν −Iν<br />
Dacă luămI ∗ ν = 0, comit¸ând o eroare <strong>de</strong> 100% în valoarea <strong>de</strong> pornire obt¸inem<br />
eroarea relativă <br />
I ∗ n −In<br />
In<br />
<br />
<br />
<br />
<<br />
ν−n 1<br />
, ν > n<br />
5<br />
Dacă alegemν suficient <strong>de</strong> mare, <strong>de</strong> exemplu<br />
ν > n+<br />
ln 1<br />
ε<br />
ln5<br />
Iν<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(3.5)<br />
eroarea relativă este < ε. Avem <strong>de</strong>ci următorul algoritm pentru calculul lui In: se<br />
dă preciziaε, se alegen, cel mai mic întreg care satisface (3.5) s¸i se calculează<br />
Inν ∗ = 0<br />
I ∗ k−1<br />
= 1<br />
5<br />
<br />
1<br />
k −I∗ <br />
k , k = ν,ν −1,...,n+1<br />
(3.6)<br />
Aceasta va produce o aproximat¸ie suficient <strong>de</strong> precisă I ∗ n ≈ In chiar în prezent¸a<br />
erorilor <strong>de</strong> rotunjire din (3.6).<br />
I<strong>de</strong>i similare se pot aplica s¸i la problema mai importantă a calculării solut¸iilor<br />
unor recurent¸e liniare <strong>de</strong> ordinul II, cum ar fi cele satisfăcute <strong>de</strong> funct¸iile Bessel<br />
s¸i <strong>de</strong> multe alte funct¸ii ale fizicii matematice. Procedura recurent¸elor regresive<br />
(retrogra<strong>de</strong>) este strâns legată <strong>de</strong> teoria fract¸iilor continue.<br />
Problema 3.5.2 (Condit¸ionarea ecuat¸iilor algebrice) Fie ecuat¸ia:<br />
p(x) = x n +an−1x n−1 +···+a1x+a0 = 0, a0 = 0 (3.7)<br />
s¸i ξ o rădăcină simplă a ei:<br />
p(ξ) = 0, p ′ (ξ) = 0.
3.5. Condit¸ionarea unei <strong>probleme</strong> 51<br />
Problema este <strong>de</strong> a se <strong>de</strong>terminaξ, dându-sep. Vectorul <strong>de</strong> date<br />
a = [a0,a1,...,an−1] T ∈ R n<br />
constă din coeficient¸ii polinomuluip, iar rezultatul esteξ, un număr real sau complex.<br />
Astfel avem:<br />
Care este condit¸ionarea luiξ?<br />
Solut¸ie. Definim<br />
<br />
<br />
<br />
γν = (condνξ)(a) = <br />
<br />
ξ : R n → C, ξ = ξ(a0,a1,...,an−1)<br />
aν ∂ξ<br />
∂aν<br />
ξ<br />
Vom alege o normă convenabilă, <strong>de</strong> exemplu norma<br />
n−1<br />
γ1 := |γν|<br />
<br />
<br />
<br />
,<br />
ν = 0,1,...,n−1 (3.8)<br />
<br />
ν=0<br />
a vectoruluiγ = [γ0,...,γn−1] T , pentru a <strong>de</strong>fini<br />
n−1<br />
(condξ)(a) = (condνξ)(a) (3.9)<br />
ν=0<br />
Pentru a <strong>de</strong>termina <strong>de</strong>rivatele part¸iale ale lui ξ în raport cu aν, observăm că<br />
avem i<strong>de</strong>ntitatea:<br />
[ξ(a0,a1,...,an−1)] n +an−1[ξ(a0,a1,...,an−1)] n−1 +···+<br />
+aν[ξ(a0,a1,...,an−1)] ν +···+a0 = 0.<br />
Derivând în raport cu aν obt¸inem<br />
n−1 ∂ξ<br />
n[ξ(a0,a1,...,an−1)]<br />
∂aν<br />
n−2 ∂ξ<br />
+an−1(n−1)[ξ(a0,a1,...,an−1)]<br />
∂aν<br />
+···+<br />
ν−1 ∂ξ ∂ξ<br />
+aνν[ξ(a0,a1,...,an−1)] +···+a1 +[ξ(a0,a1,...,an−1)]<br />
∂aν ∂aν<br />
ν ≡ 0<br />
un<strong>de</strong> ultimul termen provine din <strong>de</strong>rivarea produsuluiaνξ ν .<br />
Ultima i<strong>de</strong>ntitate se poate scrie<br />
p ′ (ξ) ∂ξ<br />
∂aν<br />
+ξ ν = 0
52 Teoria erorilor<br />
obt¸ine<br />
Deoarece p ′ (ξ) = 0, putem obt¸ine ∂ξ<br />
∂aν<br />
(condξ)(a) =<br />
s¸i să înlocuim în (3.8) s¸i (3.9) pentru a<br />
1<br />
|ξp ′ n−1<br />
(ξ)|<br />
ν=0<br />
<br />
|aν||ξ| ν<br />
(3.10)<br />
Vom ilustra (3.10) consi<strong>de</strong>rând un polinomp<strong>de</strong> gradncu rădăcinile1,2,...,n<br />
n<br />
p(x) =<br />
(3.11)<br />
ν=1<br />
(x−ν) = x n +an−1x n−1 +···+a0<br />
Acesta este un exemplu faimos, datorat lui Wilkinson, care a <strong>de</strong>scoperit proasta<br />
condit¸ionare a anumitor zerouri aproape printr-un acci<strong>de</strong>nt. Dacă luăm ξµ = µ,<br />
µ = 1,2,...,n se poate arăta că<br />
minµcondξµ = condξ1 ∼ n 2 când n → ∞<br />
maxµcondξµ ∼ 1<br />
(2− √ 2)πn<br />
√ 2+1<br />
√ 2−1<br />
n<br />
când n → ∞.<br />
Cea mai prost condit¸ionată rădăcină este ξµ0 cu µ0 întregul cel mai apropiat<br />
<strong>de</strong> n/ √ 2 când n este mare. Numărul său <strong>de</strong> condit¸ionare cres¸te ca (5.828...) n ,<br />
<strong>de</strong>ci exponent¸ial. De exemplu pentrun = 20condξµ0 = 0,540×10 14 .<br />
Exemplul ne învat¸ă că rădăcinile unei ecuat¸ii algebrice scrise în forma (3.7) pot<br />
fi extrem <strong>de</strong> sensibile la schimbări mici ale coeficient¸ilor. De aceea este contraindicat<br />
să se exprime orice polinom cu ajutorul puterilor ca în (3.7) s¸i (3.11). Aceasta<br />
este în particular a<strong>de</strong>vărat pentru polinoamele caracteristice ale matricelor. Este<br />
mult mai bine să lucrăm cu matricele însele s¸i să le reducem (prin transformări<br />
<strong>de</strong> similaritate) la o formă care să permită obt¸inerea rapidă a valorilor proprii -<br />
rădăcini ale ecuat¸iei caracteristice.<br />
Problema 3.5.3 Presupunem că o rutină <strong>de</strong> bibliotecă pentru funct¸ia logaritmică<br />
ne furnizeazăy = lnx pentru orice număr în virgulă flotantă,x, producând unyA<br />
ce satisfaceyA = (1+ε)lnx, |ε| ≤ 5eps. Ce putem spune <strong>de</strong>spre condit¸ionarea<br />
algoritmuluiA?<br />
Solut¸ie. Avem evi<strong>de</strong>nt<br />
yA = lnxA un<strong>de</strong>xA = x 1+ε<br />
(unic)<br />
În consecint¸ă<br />
<br />
xA<br />
<br />
−x<br />
<br />
x =<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
<br />
1+ε <br />
−x<br />
<br />
x = |xε −1| ≈ |εlnx| ≤ 5|lnx|eps<br />
s¸i <strong>de</strong>ci (condA)(x) ≤ 5|lnx|. Algoritmul A este bine condit¸ionat exceptând vecinătatea<br />
dreaptă a lui x = 0 s¸i pentru x foarte mare. În ultimul caz, totus¸i, este<br />
posibil caxsă <strong>de</strong>a <strong>de</strong>păs¸ire înainte caAsă <strong>de</strong>vină prost condit¸ionat.
3.5. Condit¸ionarea unei <strong>probleme</strong> 53<br />
Problema 3.5.4 Consi<strong>de</strong>răm problema<br />
f : R n → R, y = x1x2...xn<br />
Rezolvăm problema prin algoritmul evi<strong>de</strong>nt<br />
Care este condit¸ionarea algoritmului?<br />
p1 = x1<br />
pk = fl(xkpk−1), k = 2,3,...,n<br />
yA = pn<br />
Solut¸ie. Am presupus că x ∈ R n (t,s). Utilizând legile <strong>de</strong> bază ale aritmeticii<br />
mas¸inii obt¸inem<br />
<strong>de</strong> un<strong>de</strong><br />
p1 = x1<br />
pk = xkpk−1(1+εk), k = 2,3,...,n, |εk| ≤ eps<br />
pn = x1...xn(1+ε2)(1+εq)...(1+εn)<br />
Aici, putem lua <strong>de</strong> exemplu (nu se asigură unicitatea)<br />
Aceasta ne dă, utilizând norma·∞<br />
xA = [x1,x2(1+ε2),...,xn(1+εn)] T .<br />
xA −x∞<br />
x∞eps = [0,x2ε2,...,xnεn] T∞ x∞eps<br />
≤ x∞eps<br />
= 1<br />
x∞eps<br />
<strong>de</strong>ci(condA)(x) ≤ 1 pentru oricex ∈ R n (t,s) s¸i algoritmul este bine condit¸ionat.
Capitolul 4<br />
Rezolvarea numerică a sistemelor<br />
algebrice liniare<br />
4.1 Descompunere LU<br />
A =<br />
a11 w T<br />
v A ′<br />
A = LU<br />
<br />
1 0<br />
=<br />
v/a11 In−1<br />
<br />
a11 wT 0 A ′ −vwT /a11<br />
MatriceaA ′ −vw T /a11 se numes¸te complement Schur al lui a11.<br />
<br />
1 0<br />
=<br />
<br />
1 0<br />
A =<br />
v/a11 In−1<br />
v/a11 In−1<br />
a11 w T<br />
0 L ′ U ′<br />
a11 wT<br />
<br />
=<br />
0 a ′ −vwT /a11<br />
<br />
a11 wT <br />
=<br />
1 0<br />
v/a11 L ′<br />
Problema 4.1.1 Calculat¸i <strong>de</strong>scompunerea LU a matricei<br />
⎡ ⎤<br />
2 3 1 5<br />
⎢<br />
A = ⎢ 6 13 5 19 ⎥<br />
⎣ 2 19 10 23 ⎦<br />
4 10 11 31<br />
Solut¸ie.<br />
2 3 1 5<br />
3 4 2 4<br />
1 16 9 18<br />
2 4 9 21<br />
54<br />
0 U ′
4.1. Descompunere LU 55<br />
⎛<br />
⎝<br />
13 5 15<br />
15 10 23<br />
10 11 31<br />
A ′ −vw T /a11 =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠−⎝<br />
3<br />
1<br />
2<br />
9 18<br />
9 21<br />
2 3 1 5<br />
6 13 5 19<br />
2 19 10 23<br />
4 10 11 31<br />
⎞<br />
⎠ <br />
⎛<br />
<br />
3 1 5 = ⎝<br />
⎛<br />
= ⎝<br />
<br />
4<br />
−<br />
1<br />
13 5 15<br />
15 20 23<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠−⎝<br />
10 11 31<br />
⎞<br />
4 2 4<br />
16 9 18 ⎠<br />
4 9 21<br />
2 3 1 5<br />
3 4 1 4<br />
1 4 1 2<br />
2 1 7 17<br />
<br />
(2,4) =<br />
2 3 1 5<br />
3 4 2 4<br />
1 4 1 2<br />
2 1 7 3<br />
9 18<br />
9 21<br />
A ′ −vw T /a11 = 17−7·2 = 3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 0 0 0<br />
3 1 0 0<br />
1 4 1 0<br />
2 1 7 1<br />
⎞⎛<br />
⎟⎜<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝<br />
<br />
8 16<br />
−<br />
2 4<br />
2 3 1 5<br />
0 4 2 4<br />
0 0 1 2<br />
0 0 0 3<br />
9 3 15<br />
3 1 5<br />
6 2 10<br />
<br />
=<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎠ =<br />
1 2<br />
7 17<br />
Problema 4.1.2 (Sisteme tridiagonale) Dat¸i algoritmul <strong>de</strong> <strong>de</strong>scompunere LU pentru<br />
o matrice tridiagonală.<br />
Timp liniar<br />
El. Gaussiană<br />
Factorizare Crout vii = 1<br />
Factorizare Doolittlelii = 1<br />
Exemplu. Crout<br />
⎛<br />
⎜<br />
L = ⎜<br />
⎝<br />
l11 0 ... 0<br />
l21 l22 ... 0<br />
.<br />
. . .. .<br />
0 0 ... lnn<br />
a11 = l11<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
1 u2 ...<br />
⎜ 0 1<br />
U = ⎜<br />
⎝ .<br />
. . ..<br />
⎞<br />
0<br />
⎟<br />
. ⎟<br />
un−1,n<br />
⎠<br />
0 0 ... 1<br />
(4.1)
56 Rezolvarea numerică a sistemelor algebrice liniare<br />
ai,i−1 = li,i−1, i = 2,n (4.2)<br />
aii = li,i−1ui−1,i +lii, i = 2,n (4.3)<br />
ai,i+1 = liiui,i+1<br />
Ordinea <strong>de</strong> obt¸inere este (4.2), (4.4), (4.3) alternativ<br />
Algoritmul:<br />
P1 l11 := a11<br />
u12 := a12/l11<br />
P2 fori = 2 ton−1<br />
li,i−1 := ai,i−1<br />
P3 ln,n−1 = an,n−1<br />
lii = aii −li,i−1ui−1,i<br />
ui,i+1 = ai,i+1/lii<br />
ln,n = ann −ln,n−1un−1,n<br />
4.2 Descompunere LUP<br />
Aici rolul luia11 va fi jucat <strong>de</strong>ak1.<br />
Efectul QA, Q matrice <strong>de</strong> permutare<br />
<br />
ak1 w<br />
QA =<br />
T<br />
v A ′<br />
<br />
1 0<br />
=<br />
v/ak1 In−1<br />
<br />
ak1 wT 0 A ′ −vwT /ak1<br />
<br />
(4.4)<br />
Matricea A ′ − vw T /ak1 se numes¸te complementul Schur al lui ak1 s¸i este<br />
nesingulară.<br />
Determinăm mai <strong>de</strong>parte <strong>de</strong>scompunerea LUP a complementului Schur<br />
Definim<br />
P ′ (A ′ −vw T /ak1) = L ′ U ′ .<br />
P =<br />
1 0<br />
0 P ′<br />
<br />
Q<br />
care este tot o matrice <strong>de</strong> permutare.<br />
Avem acum<br />
<br />
1 0<br />
PA =<br />
0 P ′<br />
<br />
1 0<br />
QA =<br />
0 P ′<br />
<br />
1 0<br />
<br />
=<br />
1 0<br />
P ′ v/ak1 P ′<br />
ak1w T<br />
v/ak1 In−1<br />
0 A ′ −vw T /ak1<br />
<br />
ak1 wT 0 A ′ −vwT /ak1<br />
<br />
=<br />
<br />
=
4.2. Descompunere LUP 57<br />
<br />
=<br />
<br />
1 0<br />
=<br />
P ′ <br />
ak1 w<br />
v/ak1 In−1<br />
T<br />
0 P ′ (A ′ −vwT /ak1)<br />
=<br />
1 0<br />
P ′ <br />
ak−1<br />
v/ak1 In−1<br />
wT 0 L ′ U ′<br />
<br />
1 0<br />
=<br />
P ′ v/ak1 L ′<br />
<br />
ak1 wT 0 U ′<br />
<br />
<br />
= LU<br />
De notat că în acest rat¸ionament atât vectorul coloană cât s¸i complementul<br />
Schur se înmult¸esc cu matricea <strong>de</strong> permutareP ′ .<br />
Problema 4.2.1 Să se calculeze <strong>de</strong>scompunerea LUP a matricei<br />
⎡ ⎤<br />
2 0 2 0.6<br />
⎢ 3 3 4 −2 ⎥<br />
⎣ 5 5 4 2 ⎦<br />
−1 −2 3.4 −1<br />
Solut¸ie.<br />
1 2 0 2 0.6<br />
2 3 3 4 −2<br />
3 5 5 4 2<br />
4 −1 −2 3.4 −1<br />
3 5 5 4 2<br />
2 0.6 0 1.6 −3.2<br />
1 0.4 −2 0.4 −0.2<br />
4 −0.2 −1 4.2 −0.6<br />
3 5 5 4 2<br />
1 0.4 −2 0.4 −0.2<br />
2 0.6 0 1.6 −3.2<br />
4 −0.2 −1 4.2 −6<br />
3 5 5 4 2<br />
1 0.4 −2 0.4 −0.2<br />
2 0.6 0 1.6 −3.2<br />
4 −0.2 0.5 4 −0.5<br />
3 5 5 4 2<br />
1 0.4 −2 0.4 −0.2<br />
4 −0.2 0.5 4 −0.5<br />
2 0.6 0 1.6 −3.2<br />
3 5 5 4 2<br />
2 3 3 4 −2<br />
1 2 0 2 0.6<br />
4 −1 −2 3.4 −1<br />
3 5 5 4 2<br />
2 0.6 0 1.6 −3.2<br />
1 0.4 −2 0.4 −0.2<br />
4 −0.2 −1 4.2 −0.6<br />
3 5 5 4 2<br />
1 0.4 −2 0.4 −0.2<br />
2 0.6 0 1.6 −3.2<br />
4 −0.2 −0.5 4 −0.5
58 Rezolvarea numerică a sistemelor algebrice liniare<br />
Verificare.<br />
⎛<br />
0 0 1 0<br />
⎜ 1 0 0 0<br />
⎝ 0 0 0 1<br />
0 1 0 0<br />
⎞⎛<br />
⎟⎜<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝<br />
3 5 5 4 2<br />
1 0.4 −2 0.4 −0.2<br />
4 −0.2 0.5 4 −0.5<br />
2 0.6 0 0.4 −3<br />
2 0 2 0.6<br />
3 3 4 −2<br />
5 5 4 2<br />
−1 02 3.4 −1<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
5 5 4 2<br />
−2 0.4 −0.2<br />
0 4 −0.5<br />
−3<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
1<br />
0.4 1 0<br />
−0.2 0.5 1<br />
0.6 0 0.4 1<br />
Definit¸ia 4.2.2 Spunem că matricea A n × n este diagonal dominantă pe linii<br />
dacă<br />
n<br />
|aii| > |aij|, i = 1,n<br />
j=1<br />
j=i<br />
Problema 4.2.3 Să se rezolve sistemul<br />
folosind <strong>de</strong>scompunerea Cholesky.<br />
x1 +2x2 +x3 = 4<br />
2x1 +5x2 +3x3 = 10<br />
x1 +3x2 +3x3 = 7<br />
Solut¸ie. Calculând radicalii pivot¸ilor s¸i complementele Schur se obt¸ine:<br />
⎡ ⎤<br />
1 2 1<br />
⎡ ⎤<br />
1 2 1<br />
⎡ ⎤<br />
1 2 1<br />
B = ⎣ 5 3 ⎦ ∼ ⎣ 1 1 ⎦ ∼ ⎣ 1 1 ⎦.<br />
3 2 1<br />
Sistemele echivalente sunt<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
y1<br />
2y1+y2<br />
y1 +y2 +y3<br />
=<br />
=<br />
=<br />
4<br />
10<br />
7<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
4.2. Descompunere LUP 59<br />
cu solut¸iay = [4,2,1] T s¸i respectiv<br />
⎧<br />
⎨ x1 +2x2 +x3<br />
cu solut¸iax = [1,1,1] T .<br />
⎩<br />
x2 +x3<br />
Problema 4.2.4 Calculat¸i <strong>de</strong>scompunerea QR a matricei<br />
x2<br />
A =<br />
x3<br />
3 1<br />
4 1<br />
Solut¸ie. Reflexia pentru prima coloană este P = I − 2uuT . Vectorul u se<br />
<strong>de</strong>termină astfel:<br />
<br />
x1 +sign(x1)x<br />
ũ =<br />
2 3+5 8<br />
= = ;<br />
4 4<br />
ũ 2 = √ 8 2 +4 2<br />
u = ũ<br />
ũ 2<br />
=<br />
8<br />
4<br />
Matricea <strong>de</strong> reflexie este<br />
<br />
1 0<br />
P = −2<br />
0 1<br />
<br />
4 1 0<br />
= −2<br />
0 1<br />
Se obt¸ine<br />
<br />
3<br />
−<br />
Q = 5 −4<br />
5<br />
−4 <br />
3<br />
5 5<br />
<br />
3<br />
−<br />
R = P ·A =<br />
− 4<br />
5<br />
<br />
/4 √ 5 =<br />
√ 5<br />
2<br />
5√<br />
5<br />
5<br />
2<br />
5 5<br />
2 1<br />
5 5<br />
5 −4<br />
5<br />
3<br />
5<br />
<br />
·<br />
<br />
·<br />
=<br />
=<br />
=<br />
<br />
.<br />
√ 5<br />
2<br />
5√<br />
5<br />
5<br />
√ 5<br />
2<br />
5√<br />
5<br />
5<br />
4<br />
2<br />
1<br />
<br />
3 −<br />
=<br />
3 1<br />
4 1<br />
Problema 4.2.5 Rezolvat¸i sistemul<br />
⎡ ⎤ ⎡<br />
1 1 1<br />
⎣ 1 1 2 ⎦x = ⎣<br />
2 4 2<br />
prin <strong>de</strong>scompunere LUP.<br />
− 4<br />
5<br />
<br />
.<br />
T<br />
=<br />
5 −4<br />
5<br />
<br />
=<br />
3<br />
4<br />
8<br />
⎤<br />
⎦<br />
3<br />
5<br />
<br />
= Q T ,<br />
−5 − 7<br />
5<br />
0 − 1<br />
5<br />
<br />
.
60 Rezolvarea numerică a sistemelor algebrice liniare<br />
Deci<br />
Solut¸ie. Avem<br />
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡<br />
1 1 1 1 3 2 4 2 3 2 4 2<br />
⎣ 2 1 1 2 ⎦ ∼ ⎣ 2 1 1 2 ⎦ ∼ ⎣ 2<br />
3 2 4 2 1 1 1 1<br />
1 1 2 2<br />
1 1<br />
⎤<br />
⎦<br />
1 1 2<br />
⎡<br />
3 2 4 2<br />
⎣ 2 1<br />
⎤ ⎡<br />
3 2 4 2<br />
−1 1 ⎦<br />
2 ∼ ⎣ 2<br />
−1 0<br />
1<br />
⎤ ⎡<br />
3 2 4 2<br />
−1 1 ⎦<br />
2 ∼ ⎣ 2 1<br />
−1 1 2<br />
1 1<br />
2<br />
1 1<br />
2 1 0<br />
⎡ ⎤<br />
1 0 0<br />
L = ⎣ 1<br />
1 0 ⎦<br />
2<br />
1 1 1 2<br />
⎡ ⎤<br />
2 4 2<br />
U = ⎣ 0 −1 1 ⎦<br />
0 0 −1<br />
⎡ ⎤<br />
0 0 1<br />
P = ⎣ 0 1 0 ⎦.<br />
1 0 0<br />
Sistemele triunghiulare corespunzătoare sunt<br />
⎡ ⎤ ⎡<br />
1 0 0<br />
⎣ 1 1 0 ⎦y 2 = Pb = ⎣<br />
1 1<br />
cu solut¸iay = [8,0,−1] T s¸i<br />
⎡<br />
2 4<br />
⎤<br />
2<br />
⎡<br />
⎣ 0 −1 1 ⎦x = ⎣<br />
0 0 −1<br />
cu solut¸iax = [1,1,1] T .<br />
1<br />
2<br />
8<br />
4<br />
3<br />
1 1<br />
2 1 −1<br />
Problema 4.2.6 Arătat¸i că orice matrice diagonal dominantă este nesingulară.<br />
Solut¸ie. Fie sistemul Ax = 0. Presupunem că are solut¸ie nebanală. Există k<br />
astfel încât 0 < |xk| = max<br />
1≤j≤n |xj| = x1<br />
Deoarece<br />
n<br />
aijxj = 0, pentru i = k<br />
j=1<br />
8<br />
0<br />
−1<br />
⎤<br />
⎦,<br />
⎤<br />
⎦,<br />
⎤<br />
⎦.
4.3. Sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii 61<br />
obt¸inem<br />
akkxk = −<br />
n<br />
akjxj ⇒ |akk||xk| ≤<br />
j=1<br />
j=i<br />
|akk| ≤<br />
n<br />
j=1<br />
j=k<br />
|akj| |xj|<br />
|xk| ≤<br />
n<br />
j=1<br />
j=k<br />
n<br />
|akj||xj|<br />
j=1<br />
j=k<br />
|akj|<br />
Observat¸ia 4.2.7 În acest caz EG se face pără permutări.<br />
Dacă lii = 1 avem factorizare Doolittle, iar dacă vii = 1 avem factorizare<br />
Crout.<br />
4.3 Sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii<br />
Problema 4.3.1 Arătat¸i că m-norma<br />
este naturală.<br />
Solut¸ie. Vom arăta că<br />
Fie x ∈ R n astfel încât<br />
Am = max<br />
i<br />
n<br />
j=1<br />
|aij|<br />
Am = max Ax∞<br />
x∞=1<br />
x∞ = max<br />
1≤i≤n |xi| = 1<br />
Ax∞ = max<br />
1≤i≤n |(Ax)i|<br />
<br />
n<br />
<br />
= max <br />
1≤i≤n<br />
≤ max<br />
1≤i≤n<br />
n<br />
j=1<br />
|aij| max<br />
1≤j≤n |xj| = max<br />
1≤i≤n<br />
= max<br />
1≤i≤n<br />
n<br />
j=1<br />
|aij|<br />
j=1<br />
aijxj<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
≤<br />
n<br />
|aij|x∞ =<br />
j=1
62 Rezolvarea numerică a sistemelor algebrice liniare<br />
adică<br />
Ax∞ ≤ max<br />
1≤i≤n<br />
n<br />
|aij|, ∀ x ∈ R n , x∞<br />
j=1<br />
Am = max ≤ max<br />
x∞=1 1≤i≤n<br />
Fiep ∈ N, 1 ≤ p ≤ n astfel încât<br />
Alegemxastfel încât<br />
n<br />
j=1<br />
xj =<br />
|apj| = max<br />
1≤i≤n<br />
n<br />
j=1<br />
n<br />
|aij| (4.5)<br />
j=1<br />
|aij|<br />
1 dacă apj ≥ 0<br />
−1 dacă apj < 0<br />
x∞ = 1, apjxj = |apj|, ∀j = 1,n<br />
<br />
n <br />
<br />
Ax∞ = max aijxj<br />
1≤i≤n<br />
≥<br />
<br />
n <br />
<br />
apjxj<br />
=<br />
n<br />
|apj| = max<br />
(4.5),(4.6) ⇒ ” = ”.<br />
j=1<br />
j=1<br />
j=1<br />
Am = max Ax∞ ≥ max<br />
x∞=1 1≤i≤n<br />
Problema 4.3.2 Să se arate că l-norma<br />
este naturală.<br />
Solut¸ie.<br />
Al = max<br />
1≤j≤n<br />
Al := max Ax1<br />
x1=1<br />
Fiex ∈ Rn astfel încât x1 = 1<br />
n n<br />
<br />
n<br />
<br />
Ax1 = |(Ax)i| = <br />
<br />
i=1<br />
i=1<br />
j=1<br />
aijxj<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
≤<br />
n<br />
i=1<br />
|aij|<br />
?<br />
= max<br />
1≤j≤n<br />
n<br />
i=1<br />
n<br />
|aij|,<br />
j=1<br />
n<br />
|aij| (4.6)<br />
j=1<br />
n<br />
i=1<br />
|aij|<br />
n<br />
|aij||xj| =<br />
j=1<br />
n<br />
j=1<br />
n<br />
|aij||xj| =<br />
i=1
4.3. Sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii 63<br />
adică<br />
=<br />
n<br />
|xj|<br />
j=1<br />
n<br />
i=1<br />
|aij| ≤<br />
n<br />
j=1<br />
|xj| max<br />
1≤j≤n<br />
Al ≤ max<br />
1≤j≤n<br />
Fie p ∈ N, 1 ≤ p ≤ n astfel încât<br />
max<br />
1≤j≤n<br />
n<br />
|aij| =<br />
i=1<br />
n<br />
i=1<br />
|aij| = x1 max<br />
1≤j≤n<br />
n<br />
|aij|.<br />
i=1<br />
n<br />
i=1<br />
s¸ix ∈ Rn astfel încât xi = δip. Avemx1 = 1.<br />
<br />
n n n <br />
<br />
Al ≥ Ax1 = |(Ax)i| = aijxj<br />
=<br />
i=1<br />
i=1<br />
j=1<br />
|aip|<br />
n<br />
i=1<br />
n<br />
|aij|,<br />
i=1<br />
|aipxp| = max<br />
1≤j≤n<br />
n<br />
i=1<br />
|aij|<br />
Problema 4.3.3 Arătat¸i că norma euclidiană, l-norma s¸i m-norma sunt norme<br />
matriciale.<br />
Problema 4.3.4 Rezolvat¸i sistemul<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
5x1 +x2 +x3 = 7<br />
x1 +5x2 +x3 = 7<br />
x1 +x2 +5x3 = 7<br />
utilizând metoda lui Jacobi s¸i metoda Gauss-Sei<strong>de</strong>l.<br />
De câte iterat¸ii este nevoie pentru a se putea atinge o precizie dorităε?<br />
Solut¸ie.<br />
x (k)<br />
i<br />
x (k)<br />
i<br />
= 1<br />
aii<br />
<br />
1<br />
= bi −<br />
aii<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝ bi −<br />
i−1<br />
j=1<br />
n<br />
j=1<br />
j=i<br />
aijx (k)<br />
j −<br />
x (0) = (0,0,0) T<br />
x (1) =<br />
aijx (k−1)<br />
j<br />
<br />
7 7 7<br />
, ,<br />
5 5 5<br />
n<br />
j=i+1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
aijx (k−1)<br />
j<br />
<br />
(4.7)<br />
(4.8)
64 Rezolvarea numerică a sistemelor algebrice liniare<br />
x (2)<br />
1<br />
x (k)<br />
1 = 1<br />
5 (7−x(k−1) 2 −x (k−1)<br />
3 )<br />
x (k)<br />
2 = 1<br />
5 (7−x(k−1) 1 −x (k−1)<br />
3<br />
x (k)<br />
3<br />
= 1<br />
x (2)<br />
1 = 1<br />
5<br />
x (2)<br />
2<br />
= 1<br />
5<br />
5 (7−x(k−1) 1 −x (k−1)<br />
2<br />
<br />
7− 7<br />
<br />
7<br />
− =<br />
5 5<br />
21<br />
25<br />
<br />
7− 7<br />
<br />
7<br />
− =<br />
5 5<br />
21<br />
25<br />
x (2)<br />
3<br />
= 21<br />
25<br />
x (k)<br />
1 = 1<br />
5 (7−x(k−1) 2 −x (k−1)<br />
3 )<br />
x (k)<br />
2 = 1<br />
5 (7−x(k) 1 −x (k−1)<br />
3 )<br />
x (k)<br />
3<br />
x (1)<br />
1 = 7<br />
5<br />
x (1)<br />
3<br />
1<br />
=<br />
5 (7−x(k) 1 −x(k) 2<br />
, x(1) 2 = 7 7<br />
−<br />
5 5<br />
7 7 21<br />
= − =<br />
5 25 25<br />
= 0<br />
7 21 175−21 154<br />
= − = =<br />
5 125 125 125<br />
x (2)<br />
2 = 7 154 21<br />
− − , x(3) 3 =<br />
5 625 125 7 154<br />
−<br />
5 125 −x(2) 2<br />
Pentru a rezolva a doua parte a <strong>probleme</strong>i vom scrie sistemul sub forma<br />
x = Tx+c ⇒ x−x (k) ≤ Tk<br />
1−T x(1) −x (0) <br />
Pentru Jacobi ⎧ ⎨<br />
x1 = 1<br />
5 (7−x2 −x3)<br />
x2 = 1<br />
5 (7−x1 −x3)<br />
x3 = 1<br />
⎩<br />
5 (7−x1 −x2)<br />
⎡<br />
0 −<br />
x = ⎣<br />
1<br />
5 −1<br />
5<br />
− 1<br />
⎤ ⎡<br />
⎦x+ ⎣<br />
0 − 5 1<br />
5<br />
−1 5 −1 0 5<br />
7<br />
5<br />
7<br />
5<br />
7<br />
5<br />
⎤<br />
⎦
4.3. Sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii 65<br />
TJm = 2<br />
= TJl<br />
5<br />
TJk 1−TJ x(1) −x (0) < ε<br />
T 7 7 7<br />
, , , x1 =<br />
5 5 5<br />
7<br />
5<br />
k 2<br />
x (0) = 0, x (1) =<br />
5<br />
3<br />
5<br />
· 7<br />
5<br />
2k 7<br />
= ·3·<br />
5k−1 5<br />
< ε<br />
k 2<br />
·21 < ε, k(ln2−ln5)+ln21 > lnε<br />
5<br />
Pentru Gauss-Sei<strong>de</strong>l x (0) = 0<br />
x (1)<br />
2<br />
x (1)<br />
3 = 1<br />
5<br />
1 (1)<br />
= (7−a21x 1<br />
5<br />
x (1)<br />
1<br />
1 7<br />
= (7) =<br />
5 5<br />
(0) 7 1 7<br />
−a23x 2 ) = − ·<br />
5 5 5<br />
(7−a31x (1)<br />
1 −a32x (1)<br />
2 ) = 7<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
U = ⎝<br />
x (1) −x (0) ∞ =<br />
<br />
1 1<br />
= 7 − =<br />
5 25<br />
28<br />
25<br />
1 7 28 35−7−28<br />
− · − =<br />
5 5 5 25 25<br />
<br />
<br />
<br />
7 28<br />
,<br />
5 25 ,0<br />
<br />
<br />
<br />
7<br />
=<br />
5<br />
x (k) = (D −L) −1 Ux (k−1) +(D −L) −1 b<br />
a11x (k)<br />
1 = −a12x (k−1)<br />
2 −···−a1nx (k−1)<br />
n +b1<br />
a21x (k)<br />
1 +a22x (k)<br />
2 = −a23x (k)<br />
3 −···+b2<br />
...<br />
an1x (k)<br />
1 +an2x (k)<br />
2 +···+annx (k)<br />
n = bn<br />
⎛<br />
D = ⎝<br />
⎛<br />
5 0 0<br />
0 5 0<br />
0 0 5<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠, L = ⎝<br />
⎞<br />
0 0 0<br />
−1 0 0<br />
−1 −1 0<br />
0 −1 −1<br />
5 0 0<br />
0 0 −1 ⎠, E = D −L = ⎝ 1 5 0<br />
0 0 0<br />
1 1 5<br />
<strong>de</strong>tE = 125, E T ⎛ ⎞<br />
5 1 1<br />
= ⎝ 0 5 1 ⎠<br />
0 0 5<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎠<br />
= 0
66 Rezolvarea numerică a sistemelor algebrice liniare<br />
Γ11 = (−1) 1+1<br />
Γ13 = (−1) 1+3<br />
Γ22 = (−1) 1+2<br />
Γ31 = (−1) 3+1<br />
TGS = (D−L) −1 U =<br />
<br />
<br />
5 1 <br />
<br />
0 5 = 25, Γ12 = (−1) 1+2<br />
<br />
<br />
0 1 <br />
<br />
0 5 = 0<br />
<br />
<br />
0 5 <br />
<br />
0 0 = 0, Γ21 = (−1) 2+1<br />
<br />
<br />
1 1 <br />
<br />
0 5 = −5<br />
<br />
<br />
5 1 <br />
<br />
0 5 = 25, Γ23 = (−1) 2+3<br />
<br />
<br />
5 1 <br />
<br />
0 0 = 0<br />
<br />
<br />
1 1 <br />
<br />
5 1 = −5, Γ32 = (−1) 3+2<br />
<br />
<br />
5 1 <br />
<br />
0 1 = −5<br />
Γ33 = (−1) 3+3<br />
<br />
<br />
5 1 <br />
<br />
0 5 = 25<br />
E −1 ⎛<br />
1 0 0 5<br />
= ⎝ − 1 1 0 25 5<br />
− 1<br />
⎞<br />
⎠<br />
1 1 − 25 25 5<br />
⎛<br />
1 0 0 5<br />
⎝ − 1<br />
⎞⎛<br />
⎞ ⎛<br />
0 −1 −1 0 −<br />
1 0 ⎠⎝<br />
0 0 −1 ⎠<br />
25 5 = ⎝<br />
0 0 0<br />
1<br />
1 0 25<br />
− 1<br />
25<br />
− 1<br />
25<br />
1<br />
5<br />
TGSn = 2<br />
5<br />
<br />
2 k<br />
5<br />
3<br />
5<br />
· 7<br />
5<br />
< ε<br />
Problema 4.3.5 Arătat¸i că pentruA ∈ Mn,n(R)<br />
A2 = [ρ(A t A)] 1/2<br />
0 1<br />
25<br />
5 −1<br />
5<br />
− 4<br />
25<br />
2<br />
25<br />
⎞<br />
⎠
Capitolul 5<br />
Calculul cu diferent¸e<br />
Să consi<strong>de</strong>răm mult¸imea<br />
M = {ak|ak = a+kh, k = 0,m, a,h ∈ R}<br />
Definit¸ia 5.0.6 Pentruf : M → R, cantitatea<br />
∆hf(ai) = f(ai +h)−f(ai), i < m<br />
se numes¸te diferent¸a finită <strong>de</strong> ordinul I cu pasulhafunct¸iei f în punctulai.<br />
Diferent¸a finită <strong>de</strong> ordinulk se <strong>de</strong>fines¸te recursiv prin<br />
Au loc relat¸iile<br />
∆ m h<br />
∆ m h<br />
f(a) =<br />
∆ k hf(ai) = ∆n(∆ k−1<br />
h f(ai))<br />
f(a) =<br />
∆ m h (fg)a =<br />
m<br />
(−1) i<br />
<br />
m<br />
f[a+(m−i)h]<br />
i<br />
i=0<br />
m<br />
(−1) m−i<br />
<br />
n<br />
f(a+ih)<br />
i<br />
i=0<br />
f(ak) =<br />
m<br />
k<br />
i=0<br />
m<br />
i<br />
<br />
k<br />
∆<br />
i<br />
i hf(a)<br />
<br />
∆ i hf(a)∆ m−i<br />
h g(a+ih)<br />
i=0<br />
Valorile[∆m 1 xr ]x=0 = ∆m0r se numesc diferent¸ele lui 0.<br />
∆ m 0 r =<br />
m<br />
(−1) m−i<br />
<br />
m<br />
i<br />
i<br />
r<br />
i=0<br />
67
68 Calculul cu diferent¸e<br />
Problema 5.0.7 Aplicat¸ie. Vom stabili o formulă explicită pentru calculul sumei<br />
Sm,r = 1 r +2 r +3 r +···+m r<br />
cu ajutorul diferent¸elor lui 0.<br />
r<br />
<br />
m+1<br />
Sm,r = ∆<br />
i+1<br />
i=1<br />
i 0 r<br />
p<br />
<br />
p<br />
f(ap) = ∆<br />
k<br />
j=0<br />
k hf(a) ∆m m<br />
h f(a) = (−1)<br />
i=0<br />
m−i<br />
<br />
m<br />
f(a+ih)<br />
i<br />
f(x) = xr pr p<br />
<br />
p<br />
= f(p) = ∆<br />
k<br />
k=0<br />
k 0 r , p = 1,2,...,m<br />
1r <br />
1<br />
= ∆<br />
0<br />
0 0 r <br />
1<br />
+ ∆<br />
1<br />
1 0 r<br />
2r <br />
2<br />
= ∆<br />
0<br />
0 0 r <br />
2<br />
+ ∆<br />
1<br />
1 0 r <br />
2<br />
+ ∆<br />
2<br />
2 0 r<br />
...<br />
mr <br />
m<br />
= ∆<br />
0<br />
0 0 r <br />
m<br />
+ ∆<br />
1<br />
1 0 r <br />
m<br />
+···+ ∆<br />
m<br />
m 0 r<br />
m<br />
<br />
j j +1 m<br />
Sm,r = + +···+ ∆<br />
j j j<br />
j 0 r =<br />
j=1<br />
j=1<br />
Deoarece dacă m > r, ∆o0r = 0 pentru j = r +1,m iar pentru m < r,<br />
r<br />
<br />
m+1<br />
∆<br />
j +1<br />
j 0 r<br />
<br />
m+1<br />
= 0, pentru j = m+1,m+2,...,r.<br />
j +1<br />
Cazuri particulare <br />
m+1 m+1<br />
Sm,1 = ∆0 = =<br />
2 2<br />
m(m+1)<br />
, ∆0 = 1<br />
<br />
2<br />
2 m+1 ∆0<br />
Sm,2 =<br />
2 1 +<br />
2 2 m+1 ∆ 0 m(m+1)(2m+1)<br />
=<br />
3 2 6<br />
3 m+1 ∆0<br />
Sm,3 =<br />
2 1 +<br />
2 3 m+1 ∆ 0<br />
3 6 +<br />
3 3 m+1 ∆ 0<br />
4 6 =<br />
<br />
m(m+1)<br />
2<br />
Problema 5.0.8 Să se <strong>de</strong>monstreze formula<br />
(prin induct¸ie).<br />
∆ m h<br />
1<br />
x =<br />
(−1) m m!h m<br />
x(x+h)...(x+mh)<br />
2
Definit¸ia 5.0.9 Pre<strong>de</strong>rivata <strong>de</strong> ordinulmcu pasulhafunct¸iei f în a este<br />
D m h f(a) = ∆m h f(a)<br />
h m<br />
D 0 nf(a) = f(a)<br />
Problema 5.0.10 Dacăf are <strong>de</strong>rivată <strong>de</strong> ordinulmcontinuă pe(a,a+mh) are<br />
loc<br />
D m h f(a) = f (m) (a+θmh), θ ∈ (0,1)<br />
Demonstrat¸ie. Prin induct¸ie.<br />
Dhf(a) = f(a+h)−f(a)<br />
h<br />
= f ′ (ξ1), ξ1 ∈ (a,a+h)<br />
D m−1<br />
h f(a) = f (m−1) (ξm−1)|Dh, ξm−1 ∈ (a,a−(m−1)h)<br />
D m h<br />
f(a) = 1<br />
h [f(m−1) (ξm−1 +h)−f (m−1) (ξm−1)] = f (m) (ξm)<br />
ξm ∈ (a,a+mh) ⇒ ξm = a+θmh, θ ∈ (0,1)<br />
Corolar 5.0.11 f (m) continuă în a ⇒ lim<br />
h→0 D m h (a) = f(m) (a).<br />
Problema 5.0.12 Să se <strong>de</strong>monstreze formulele<br />
∆ m <br />
h cos(ax+b) = 2sin ah<br />
m <br />
cos ax+b+m<br />
2<br />
ah+π<br />
<br />
2<br />
∆ m <br />
h sin(ax+b) = 2sin ah<br />
m <br />
sin ax+b+m<br />
2<br />
ah+π<br />
<br />
2<br />
Să se <strong>de</strong>ducă <strong>de</strong> aici expresiile pre<strong>de</strong>rivatelor <strong>de</strong> ordinulmale funct¸iilorcosx,<br />
sinx s¸i să se calculeze limitele lor când h → 0.<br />
Solut¸ie.<br />
∆hcos(ax+b) = cos[a(x+h)+b]−cos(ax+h) =<br />
= 02sin ah<br />
2 sin<br />
<br />
ax+b+ ah<br />
<br />
=<br />
2<br />
= 2sin ah<br />
2 cos<br />
∆h π +ah<br />
ax+b+ <strong>de</strong>n−1ori<br />
2<br />
69
70 Calculul cu diferent¸e<br />
=<br />
∆ m h sin(ax+b) = ∆mh cos<br />
<br />
<br />
2sin ah<br />
=<br />
ax+b− π<br />
<br />
=<br />
2<br />
m <br />
cos ax+b+m<br />
2<br />
ah+π<br />
<br />
π<br />
− =<br />
2 2<br />
<br />
2sin ah<br />
m <br />
sin ax+b+m<br />
2<br />
ah+π<br />
<br />
2<br />
Făcând a = 1, b = 0 s¸i împărt¸ind cu h m se obt¸ine<br />
D m h cosx =<br />
D m h sinx =<br />
sin h<br />
2<br />
h<br />
2<br />
m<br />
Problema 5.0.13 Să se calculeze∆ m h 1<br />
x 2 .<br />
Solut¸ie.<br />
∆ m h<br />
∆ m h<br />
<br />
cos x+m h+π<br />
<br />
2<br />
m h <br />
sin 2 sin x+m h<br />
2<br />
h+π<br />
<br />
2<br />
<br />
1 1 1<br />
= +<br />
x2 x x+h +···+<br />
(fg)(a) =<br />
= (−1) m m! U′ m (x)<br />
U 2 m(x) hm<br />
um(x) =<br />
k=0<br />
m<br />
i=0<br />
m<br />
(x+kh)<br />
k=0<br />
<br />
1<br />
x+mh<br />
∆ 21 h<br />
x =<br />
<br />
m<br />
∆<br />
i<br />
i hf(a)∆m−i h g(a+ih)<br />
Problema 5.0.14 Să se <strong>de</strong>monstreze formula<br />
δ m m<br />
h f(x) = (−1) k<br />
<br />
m<br />
<br />
m<br />
f x+<br />
k 2 −k<br />
<br />
h<br />
Solut¸ie.<br />
δ m = (E 1<br />
2 −E −1 2) =<br />
m<br />
(−1) k<br />
k=0<br />
<br />
m<br />
E<br />
k<br />
n<br />
2−k
Problema 5.0.15 Să se stabilească generalizarea formulei lui Leibniz prin calcul<br />
simbolic.<br />
Solut¸ie. Eh operator <strong>de</strong> translat¸ie ce are efect numai asupra luiu<br />
Eh operator <strong>de</strong> translat¸ie ce are efect numai asupra luiv<br />
∆hu(x)v(x) = u(x+h)v(x+h)−u(x)v(x) =<br />
= (EhEh −I)u(x)v(x)<br />
∆h = EE −I<br />
∆h operator <strong>de</strong> diferent¸ă ce are efect asupra lui u<br />
∆h operator <strong>de</strong> diferent¸ă ce are efect asupra lui v<br />
En = I +∆h ∆h = Eh −I<br />
∆h = ∆hEh +∆h<br />
m<br />
∆ m h = (∆hEh +∆h) m =<br />
∆ m h u(x)v(x) =<br />
∆ m h<br />
m<br />
j=0<br />
(a+b) [m,j] =<br />
j=0<br />
∆ j<br />
h ∆m−j<br />
h Ej<br />
h<br />
<br />
m<br />
∆<br />
j<br />
j<br />
hu(x)∆m−j h v(x+jh)<br />
m<br />
j=0<br />
<br />
m<br />
a<br />
j<br />
[m−j,h] b [j,h]<br />
[a,a+h,...,a+nh;f] = 1<br />
(fg)(a) =<br />
m<br />
i=0<br />
n!h n∆m h f(a)<br />
<br />
m<br />
∆<br />
i<br />
i hf(a)∆m−i h g(a+ih)<br />
Problema 5.0.16 Să se <strong>de</strong>monstreze formula <strong>de</strong> sumare prin părt¸i.<br />
a+mh <br />
x=a(h)<br />
<br />
<br />
u(x)∆hv(x) = u(x)v(x)<br />
Să se calculeze<br />
m<br />
xb x<br />
x=0<br />
(b > 0, b = 1),<br />
a+(m+1)h<br />
a<br />
−<br />
a+mh <br />
x=a<br />
v(x+h)∆hu(x)<br />
m<br />
v(x+h)∆hh(x)<br />
x=0<br />
71
72 Calculul cu diferent¸e<br />
Solut¸ie. Dacă F este o solut¸ie a ecuat¸iei cu diferent¸e<br />
are loc formula <strong>de</strong> sumare<br />
∆hF(x) = f(x)<br />
m<br />
f(a+jh) = F[a+(m+1)h]−F(a)<br />
j=0<br />
∆hF(x) = F(x+h)−F(x) = x, x = a,a+h,...,a+mh<br />
a+mh <br />
x=a(h)<br />
∆hF(x) = f(x), F(x) = u(x)v(x)<br />
∆hu(x)v(x) = u(x)∆hv(x)+∆hu(x)v(x+h)<br />
u(x)∆hv(x)+<br />
a+mh <br />
x=a(h)<br />
<br />
<br />
v(x+h)∆hu(x) = u(x)v(x)<br />
u(x) = x, ∆v(x) = b x ⇒ v(x) = bx<br />
m<br />
x=0<br />
<br />
<br />
b−1<br />
xb x = x bx<br />
m+1<br />
0<br />
−<br />
m<br />
x=0<br />
b−1<br />
b x<br />
b−1 =<br />
a+(m+1)h<br />
a<br />
= (m+1) bm+1 1<br />
−<br />
b−1 b−1 (b+b2 +···+b m+1 ) = (m+1) bm+1<br />
b−1 − bm+2 −b<br />
(b−1) 2<br />
<br />
−cos x−<br />
u(x) = x, ∆v(x) = sinx ⇒ v(x) =<br />
h<br />
<br />
2<br />
2sin h<br />
2<br />
<br />
a+mh cos x−<br />
xsinx = −x<br />
x=a<br />
h<br />
<br />
2<br />
2sin h<br />
<br />
a+(m+1)h<br />
a+mh<br />
cos x+<br />
+<br />
<br />
a x=a<br />
2<br />
h<br />
<br />
2<br />
2sin h<br />
2<br />
<br />
Deoarece ∆hF(x) = cos x+ h<br />
<br />
este satisfăcută pentru F(x) =<br />
2<br />
sinx<br />
2sin h<br />
2<br />
rezultă că avem<br />
a+mh <br />
<br />
cos x+<br />
x=a<br />
h<br />
<br />
=<br />
2<br />
sinx<br />
2sin h<br />
<br />
a+(m+1)h<br />
<br />
<br />
<br />
a<br />
2
Problema 5.0.17 Să se calculeze∆ m h 1<br />
x 2 .<br />
un<strong>de</strong><br />
Solut¸ie.<br />
∆ m h<br />
<br />
1 1 1<br />
= +<br />
x2 x x+h +···+<br />
= (−1) m m! u′ m (x)<br />
u 2 m (x)hm<br />
um(x) =<br />
m<br />
(x+kh).<br />
k=0<br />
<br />
1<br />
∆<br />
x+mh<br />
m h<br />
Problema 5.0.18 Să se <strong>de</strong>monstreze<br />
<br />
a0,a1,...,am; 1<br />
<br />
=<br />
t<br />
(−1)m<br />
a0a1...am<br />
Solut¸ie. (prin induct¸ie sau ca s¸i cât <strong>de</strong> doi <strong>de</strong>terminant¸i).<br />
1<br />
x =<br />
Problema 5.0.19 Se consi<strong>de</strong>ră p + 1 puncte distincte a0,a1,...,ap. Să se <strong>de</strong>monstreze<br />
formula<br />
[a0,a1,...,ap;t p ] = <br />
r0+r1+···+rp=n−p<br />
Problema 5.0.20 Să se <strong>de</strong>monstreze formula<br />
a r0<br />
0 ar1<br />
1 ...arp<br />
p .<br />
[a0,a1,...,ak−1,ak+1,...,am;f] = ak −a0<br />
[a0,a1,...,am−1;f]+ am −an<br />
[a1,a2,...,am;f]<br />
Solut¸ie.<br />
am −a0<br />
ak,a0,...,ak−1,ak+1,...,am−1,am<br />
am −a0<br />
[a0,a1,...,am;f] = [a0,...,ak−1,ak+1,...,am;f]−[a0,...,an−1;f]<br />
, (5.1)<br />
am −ak<br />
[a0,a1,...,am;f] = [a0,...,ak−1,ak+1,...,am;f]−[a1,...,am;f]<br />
a0 −ak<br />
Egalând cele două relat¸ii rezultă relat¸ia dorită.<br />
73<br />
(5.2)
74 Calculul cu diferent¸e<br />
Problema 5.0.21 Dacăf,g : X → R, atunci<br />
=<br />
[x0,...,xm;fg] =<br />
m<br />
[x0,...,xk][xk,...,xm;g]<br />
k=0<br />
Demonstrat¸ie. Prin induct¸ie dupăm<br />
m = 1<br />
[x0,x1;fg] = f(x0)[x0,x1;g]+[x0,x1;f]g(x1) =<br />
= f(x0) g(x1)−g(x0)<br />
x1 −x0<br />
+ f(x1)−f(x0)<br />
g(x1) =<br />
x1 −x0<br />
= f(x1)g(x1)−f(x0)g(x0)<br />
x1 −x0<br />
Presupunem relat¸ia a<strong>de</strong>vărată pentru m−1, adică<br />
m−1 <br />
[x0,...,xm−1;fg] = [x0,...,xk;f][xk,...,xm−1;g]<br />
[x0,...,xn;fg] <strong>de</strong>f<br />
=<br />
1<br />
xm −x0<br />
1<br />
xm −x0<br />
k=0<br />
([x1,...,xm;fg]−[x0,...,xm−1;fg]) =<br />
m−1 <br />
([x1,...,xk+1;f][xk+1,...,xn;g]−[x0,...,xk;f][xk,...,xn−1;g])<br />
k=0<br />
Adunând s¸i scăzând sub simbolul <strong>de</strong> însumare[x0,...,xk;f][xk+1,...,xm;g]<br />
s¸i grupând convenabil se obt¸ine<br />
[x0,...,xm;fg] =<br />
k=0<br />
1<br />
xm −x0<br />
m−1<br />
<br />
[x0,...,xk;f]([xk+1,...,xm;g]−[xk,...,xm−1;g])+<br />
k=0<br />
<br />
m−1 <br />
+ [xk+1,...,xn;g]([x1,...,xk+1;f]−[x0,...,xkf]) =<br />
=<br />
1<br />
xn −x0<br />
+<br />
=<br />
m−1<br />
<br />
(xm −xk)[x0,...,xk;f][xk,...,xm;g]+<br />
k=0<br />
m<br />
<br />
(xk −x0)[x0,...,xn;f][xk,...,xn;g] =<br />
k=1<br />
1<br />
xn −x0<br />
<br />
(xm −x0)[x0;f][x0,...,xn;g]+
m−1 <br />
+ (xm −x0)[x0,...,xk;f][xk,...,xm;g]+<br />
k=1<br />
+(xm −x0)[x0,...,xm;f][xm;g]<br />
=<br />
<br />
m<br />
[x0,...,k;f][xk,...,xm;g]<br />
k=0<br />
Observat¸ia 5.0.22 Diferent¸a divizată se poate introduce ca s¸i coeficient dominant<br />
în PIL.<br />
Problema 5.0.23 (Aplicat¸ie) O modalitate rapidă <strong>de</strong> a calcula valorile unui polinom<br />
<strong>de</strong> grad 3 în puncte echidistante folosind diferent¸e divizate.<br />
∆ 3 P(0)<br />
P(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d<br />
∆P(x) = P(x+h)−P(x) ⇒ P(x+h) = P(x)+∆P(x)<br />
∆ 2 P(x) = ∆P(x+h)−∆P(x)<br />
∆P(x+h) = ∆P(x)+∆ 2 P(x)<br />
∆ 3 P(x) = ∆ 2 P(x+h)−∆ 2 P(x)<br />
∆ 2 P(x+h) = ∆ 2 P(x)+∆ 3 P(x)<br />
∆ 3 P(x) = 6ah 3<br />
∆P(0) = ah 3 +bh 2 +ch = h(h(ah+b)+c)<br />
∆ 2 P(0) = P(2h)−2P(h)+P(0) =<br />
= 8ah 3 +4bh 2 +2ch+d−2ah 3 −2bh 2 −2ch−2d+d =<br />
= 6ah 3 +2bh 2 = 2h 2 (3ah+b)<br />
∆k,i+1 = ∆k−1,i +∆k−1,i+1<br />
Problema 5.0.24 Dacă f,g : M → R are loc<br />
(∆ m h<br />
fg)(a) =<br />
m<br />
i=0<br />
=<br />
<br />
m<br />
(∆<br />
i<br />
i hf)(a)(∆m−i h g)(a+ih)<br />
75
76 Calculul cu diferent¸e<br />
căci<br />
Demonstrat¸ie. Induct¸ie dupăm<br />
m = 1<br />
(∆hfg)(a) = f(a)(∆hg)(a)+g(a+h)(∆hf)a (5.3)<br />
(∆hfg)(a) = f(a+h)g(a+h)−f(a)g(a)|±f(a)g(c+h)<br />
(∆hfg)(a) = f(a)[g(a+h)−g(a)]+g(a+h)[f(a+h)−f(a)]<br />
Presupunem relat¸ia a<strong>de</strong>vărată pentru m−1<br />
(∆ m−1<br />
m−1 <br />
h fg)(a) =<br />
(5.3) ⇒ (∆ m h<br />
(∆ m h<br />
fg)(a) =<br />
+<br />
i=0<br />
fg)(a) =<br />
m−1<br />
i=0<br />
i<br />
<br />
(∆ o hf)(a)(∆ m−i−1<br />
h g)(a+ih)<br />
m<br />
<br />
m−1<br />
[(∆<br />
i<br />
i hf)(a)(∆m−i h g(a+ih)+<br />
+(∆ i+1<br />
h f)(a)(∆m−i−1<br />
h g(a+(i+1)h)]<br />
m<br />
k=1<br />
m−1 <br />
i=0<br />
m−1<br />
= f(a)(∆ m h g)(a)+ m−1<br />
i<br />
i<br />
<br />
(∆ i h f)(a)(∆m−i<br />
h g)(a+ih)+<br />
<br />
m−1<br />
(∆<br />
k −1<br />
k hf)(a)(∆m−k h g)(a+kh) =<br />
<br />
+<br />
+(∆ m h f)(a)g(a+mh).<br />
Problema 5.0.25 (Formula lui Van<strong>de</strong>rmon<strong>de</strong>)<br />
(a+b) [m,h] =<br />
m<br />
j=0<br />
<br />
m−1<br />
(∆<br />
i−1<br />
m−i<br />
h g)(a+ih)+<br />
<br />
m<br />
a<br />
j<br />
[m−j,h] b [j,h] .<br />
Demonstrat¸ie. Induct¸ie dupăm<br />
m = 1<br />
(a+b) [1,h] = a+b<br />
<br />
1<br />
a<br />
0<br />
[1,h] b [0,h] <br />
1<br />
+<br />
1<br />
a [0,h] b [1,h] = a+b
Presupunem că<br />
(a+b) [m−1,h] = <br />
m−1<br />
j<br />
a [m−1−j,h] b [j,h] /(a+b−(m−1)h)<br />
a [m−1−j,h] b [j,h] [a+b−(m−1)h] = a [m−1−j,h] [a−(m−1−h]b [j,h] +a [m−1−j,h] b [j,h] (b−jh)<br />
= a [m−j,h] b [j,h] +a [m−1−j] b [j+1,h] .<br />
(a+b) [mh] m−1 <br />
<br />
m−1<br />
= a<br />
j<br />
j=0<br />
[m−j,h] b [j,h] m−1 <br />
<br />
m−1<br />
+ a<br />
j<br />
j=0<br />
[m−1−j,h] b [j+1,h]<br />
<br />
m−1<br />
= a<br />
0<br />
[m,h] b [0,h] n<br />
<br />
m−1 m−1<br />
+ + a<br />
j j −1<br />
j=1<br />
[m−j,h] b [j,h]<br />
<br />
m−1<br />
+ a<br />
m−1<br />
[0,h] b [m,h]<br />
m<br />
<br />
m<br />
= a<br />
j<br />
[m−j,h] b [j,h] .<br />
j=0<br />
77
Capitolul 6<br />
Interpolare<br />
6.1 Interpolare polinomială<br />
Fie nodurilexi ∈ [a,b], i = 0,m, i = j ⇒ xi = xj.<br />
Are loc formula <strong>de</strong> interpolare Lagrange<br />
un<strong>de</strong><br />
s¸i<br />
f = Lmf +Rmf<br />
(Lmf)(x) =<br />
m<br />
lk(x)f(xk)<br />
k=0<br />
lk(x) = (x−x0)...(x−xk−1)(x−xk+1)...(x−xm)<br />
(xk −x0)...(xk −xk−1)(xk −xk+1)...(xk −xm) =<br />
=<br />
m<br />
(x−xj)<br />
j=0<br />
j=k<br />
m<br />
=<br />
(xk −xj)<br />
j=0<br />
j=k<br />
u(x)<br />
(x−xk)u ′ (xk)<br />
un<strong>de</strong>u(x) = (x−x0)...(x−xm).<br />
Dacăα = min{x,x0,...,xm},β = max{x,x0,...,xm},f ∈ C m [α,β],f (m)<br />
<strong>de</strong>rivabilă pe(α,β)∃ξ ∈ (α,β) astfel încât<br />
(Rmf)(x) = u(x)<br />
(m+1)! f(m+1) (ξ)<br />
78
6.1. Interpolare polinomială 79<br />
cu<br />
Dacă f ∈ C m+1 [a,b] atunci<br />
(Rmf)(x) =<br />
b<br />
ϕm(x;s) = 1<br />
<br />
(x−s)<br />
m!<br />
m + −<br />
a<br />
ϕm(x,s)f (m+1) (s)ds<br />
m<br />
k=0<br />
lk(x)(xk −s) m +<br />
Dacă lm(x,·) păstrează semn constant pe[a,b] atunci<br />
(Rmf)(x) =<br />
(Nmf)(x) = f(x0)+<br />
Pentru noduri echidistante<br />
<br />
1<br />
x<br />
(m+1)!<br />
m+1 −<br />
m<br />
k=0<br />
lk(x)x m+1<br />
k<br />
<br />
<br />
f (m+1) (ξ)<br />
ξ ∈ [a,b]<br />
m<br />
(x−x0)...(x−xi−1)[x0,...,xi;f]<br />
i=0<br />
f = Nmf +Rmf formula <strong>de</strong> int.Newton<br />
(Rmf)(x) = u(x)[x,x0,...,xm;f] x ∈ [a,b]<br />
(Lmf)(x0 +th) = t[m+1]<br />
m!<br />
xi = x0 +ih, i = 0,m<br />
m<br />
(−1) m−i<br />
<br />
m 1<br />
i t−i f(xi)<br />
i=0<br />
(Rmf)(x0 +th) = hm+1 t [m+1]<br />
(m+1)! f(m+1) (ξ)<br />
(Nmf)(x0 +th) = (Nmf)(t) =<br />
m<br />
k=0<br />
<br />
t<br />
∆<br />
k<br />
k hf(x0) (Formula Gregory-Newton, formula lui Newton cu diferent¸e progresive)<br />
(Nmf)(x) = (Nmf)(x0 +th) = f(xn)+<br />
=<br />
k=0<br />
m<br />
<br />
t+k −1<br />
∇<br />
k<br />
k hf(xm) =<br />
k=1<br />
m<br />
(−1) k<br />
<br />
−t<br />
∇<br />
k<br />
k h(xm)
80 Interpolare<br />
(Formula lui Newton cu diferent¸e regresive)<br />
n<br />
2k−1 t+k −1 ∆ f1−k +∆<br />
S2n+1(x0 +th) = f(x0)+<br />
2k −1<br />
2k−1f−k +<br />
2<br />
+<br />
n<br />
k=1<br />
k=1<br />
t<br />
2k<br />
t+k −1<br />
2k −1<br />
S2n+2(x0 +th) = S2n+1(x0 +th)+<br />
(Formula lui Stirling)<br />
un<strong>de</strong><br />
<br />
∆ 2k f−k<br />
t+n<br />
2n+1<br />
xk ∈ [a,b], k = 0,m, xi = xj (i = j)<br />
∆ 2n+1 f−n +∆ 2n+1<br />
f : [a,b] → R ∃f (j) (xk), k = 0,m, j = 0,rk<br />
n+1 = m+r0 +···+rm = (r0 +1)+···+(rm +1)<br />
m rk<br />
(Hnf)(x) = hkjf (j) (xk)<br />
j (x−xk)<br />
hkj(x) =<br />
j!<br />
k=0 j=0<br />
rk−j <br />
uk(x)<br />
ν=0<br />
(x−xk) ν<br />
ν!<br />
2<br />
(ν)<br />
1<br />
nk(x) x=xk<br />
f = Hnf +Rnf (formula <strong>de</strong> interpolare a lui Hermite)<br />
m<br />
u(x) = (x−xk) rk+1<br />
uk(x) =<br />
k=0<br />
u(x)<br />
(x−xk) rk+1<br />
Dacă f ∈ C n [α,β]∃f (n+1) pe[α,β] atunci<br />
Dacă f ∈ C n+1 [α,β] atunci<br />
(Rnf)(x) = u(x)<br />
(n+1)! f(n+1) (ξ) ξ ∈ [a,b]<br />
(Rmf)(x) =<br />
b<br />
ϕn(x;s) = 1<br />
<br />
(x−s)<br />
n!<br />
n + −<br />
a<br />
ϕn(x;s)f (n+1) (s)ds<br />
m<br />
k=0 j=0<br />
rk<br />
hkj(x)[(xk −s) n +] (j)
6.1. Interpolare polinomială 81<br />
Cazuri particulare<br />
1)rk = 0, k = 0,n Lagrange<br />
2)n = 0, r0 = n Taylor<br />
3)r0 = ··· = rn = 1 formula lui Hermite cu noduri duble<br />
(H2m+1f)(x) =<br />
f = H2m+1f +R2m+1f<br />
m<br />
hk0(x)f(xk)+<br />
k=0<br />
hx0(x) = uk(x)<br />
uk(xk)<br />
4) Dacă m = 1, x0 = a, x1 = b<br />
m<br />
hk1(x)f ′ (xk)<br />
k=0<br />
<br />
1−(x−xk) u′ k (xk)<br />
uk(xk)<br />
hk1(x) = (x−xk) uk(x)<br />
uk(xk)<br />
r0 = m, r1 = n<br />
n+1 m<br />
x−b (x−a)<br />
(Hm+n+1f)(x) =<br />
a−b<br />
i=0<br />
i<br />
<br />
m−i<br />
<br />
ν<br />
n+ν x−a<br />
f<br />
i! ν b−a<br />
ν=0<br />
(i) (a)+<br />
m+1 n<br />
x−a (x−b)<br />
+<br />
b−a<br />
j=0<br />
j<br />
<br />
n−j <br />
<br />
µ<br />
m+µ x−b<br />
f<br />
j! µ a−b<br />
µ=0<br />
(j) (b)<br />
un<strong>de</strong><br />
xk ∈ [a,b], k = 0,m, xi = xk (i = j)<br />
rk ∈ N, Ik ⊆ {0,1,...,rk}, k = 0,m<br />
f : [a,b] → R ∃f (j) (xk) k = 0,m, j ∈ In<br />
n = |I0|+···+|Im|−1<br />
(Bnf)(x) =<br />
m <br />
bkj(x)f (j) (xk)<br />
k=0 j∈Ik<br />
f = Bnf +Rnf (formula <strong>de</strong> interpolare a lui Birkhoff)<br />
Dacă f ∈ C n+1 [a,b] atunci<br />
(Rnf) =<br />
b<br />
ϕn(x;s) = 1<br />
<br />
(x−s)<br />
n!<br />
n + −<br />
a<br />
ϕn(x,s)f (n+1) (s)ds<br />
m <br />
k=0 j∈Ik<br />
<br />
bkj(x)[(xk −s) n + ](j)
82 Interpolare<br />
Dacă f ∈ C n+1 [a,b] s¸i ϕn are semn constant pe[a,b]<br />
(Rnf)(x) = E(x)f (n+1) (ξ) ξ ∈ [a,b]<br />
E(x) = xn+1<br />
(n+1)! −<br />
m <br />
6.2 Interpolare Lagrange<br />
1<br />
(n−j +1)!<br />
k=0 j∈Ik<br />
xn−j+1<br />
k bkj(x)<br />
Problema 6.2.1 Să se scrie formula <strong>de</strong> interpolare a lui Lagrange în cazurile<br />
specialem = 1 s¸i m = 2. Interpretare geometrică.<br />
Solut¸ie. Polinomul <strong>de</strong> interpolare Lagrange corespunzător unei funct¸ii f s¸i<br />
nodurilorx0 s¸i x1 este<br />
(L1f)(x) = x−x1<br />
f(x0)+<br />
x0 −x1<br />
x−x0<br />
f(x1),<br />
x1 −x0<br />
adică dreapta care trece prin punctele (x0,f(x0)) s¸i (x1,f(x1)). Analog, polinomul<br />
<strong>de</strong> interpolare Lagrange corespunzător unei funct¸iif s¸i nodurilorx0,x1 s¸i x2<br />
este<br />
(L2f)(x) = (x−x1)(x−x2) (x−x0)(x−x2)<br />
f(x0)+<br />
(x0 −x1)(x0 −x2) (x1 −x0)(x1 −x2) f(x1)+<br />
(x−x0)(x−x1)<br />
(x2 −x0)(x2 −x1) f(x2),<br />
adică parabola care trece prin punctele (x0,f(x0)), (x1,f(x1)) s¸i (x2,f(x2)). Interpretarea<br />
lor geometrică apare în figura 6.1.<br />
Problema 6.2.2 Construit¸i polinomul <strong>de</strong> interpolare Lagrange pentru funct¸iay =<br />
sinπx alegândx0 = 0, x1 = 1<br />
6 , x2 = 1<br />
2 .<br />
Solut¸ie.<br />
(L2y)(x) = 7<br />
2 x−3x2 ,<br />
(R2y)(x) = xx− 1<br />
<br />
1 x− 6 2 πcosπξ,ξ ∈<br />
3!<br />
<br />
0, 1<br />
<br />
.<br />
2
6.2. Interpolare Lagrange 83<br />
(a) (L1f)<br />
f<br />
L 1 (x)<br />
(b) (L2f)<br />
Figura 6.1: Interpretarea geometrică a lui L1f (stânga) si ¸ L2f<br />
Problema 6.2.3 Cu ce eroare se poate calcula √ 115 cu ajutorul formulei <strong>de</strong><br />
interpolare a lui Lagrange, consi<strong>de</strong>rând funct¸ia f(x) = √ x s¸i nodurile x0 =<br />
100, x1 = 121, x2 = 144?<br />
|(R1f)(115)| ≤ 3<br />
8 ·<br />
(R2f)(x) = (x−100)(x−121)(x−144)<br />
f<br />
6<br />
′′′ (ξ)<br />
1<br />
√ 100 5<br />
f ′′′ (x) = 3<br />
8 x−52<br />
1<br />
· |(115−100)(115−121)(115−144)| =<br />
6<br />
= 1<br />
16 ·10−5 ·15·6·29 ≈ 1·6·10 −3<br />
Problema 6.2.4 În tabelele cu 5 zecimale corecte se dau logaritmii zecimali ai<br />
numerelor <strong>de</strong> la x = 1000 la x = 10000 cu eroarea absolută maximă egală cu<br />
1<br />
2 ·10−5 . Este posibil ca interpolarea liniară să conducă la o aceeas¸i precizie?<br />
Solut¸ie.<br />
f(x) = lgx f ′ (x) = M<br />
x<br />
M = lge ≈ 0.4343<br />
f ′′ (x) = − M<br />
x 2<br />
|(R1f)(x)| ≤ (x−a)(x−b)<br />
M2f<br />
2<br />
M2(f) = max|f ′′ (x)| < 1<br />
2 ·10−6<br />
a < x < a+1<br />
f<br />
L 2 (x)
84 Interpolare<br />
b = a+1<br />
x−a = q<br />
|(R1f)(x)| < 1<br />
2 |q(q−1) |M2(f)<br />
<br />
≤ 1<br />
4<br />
|R1f| ≤ 1<br />
16 ·10−6 < 10 −7<br />
<strong>de</strong>ci precizia nu este alterată.<br />
Problema 6.2.5 Relativ la funct¸ia sin se alcătuies¸te următoarea tabelă cu diferent¸e<br />
x ∆ 0 = y ∆f ∆ 2 f ∆ 3 f ∆ 4 f<br />
39 ◦ 0.6293204 267386 −7992 −318 13<br />
41 ◦ 0.6560590 259354 −8310 −305 10<br />
43 ◦ 0.6819984 251084 −8615 −295 10<br />
45 ◦ 0.7071068 242469 −8910 −285<br />
47 ◦ 0.7313597 233559 −9195<br />
49 ◦ 0.7547096 224364<br />
51 ◦ 0.7771460<br />
Să se aproximeze sin40 ◦ , sin50 ◦ , sin44 ◦ cu formula Gregory-Newton pentru<br />
m = 4.<br />
(Nmf)(t) =<br />
m<br />
i=0<br />
<br />
t<br />
∆<br />
k<br />
k hf(x0) (Rmf)(x0 +th) = hm+1 t [m+1]<br />
(m+1)! f(m+1) (ξ)<br />
f(x) ≈ f0 +t∆f0 + t(t−1)<br />
2 ∆2f0 + t(t−1)(t−2)<br />
∆<br />
6<br />
3 f0+<br />
+ t(t−1)(t−2)(t−3)<br />
∆<br />
24<br />
4 f0 +R4<br />
sin40 ◦ ≈ 0.6293204+ 1 1<br />
·0.0267386−<br />
2 8 (−0.0007992)+<br />
+ 1 5<br />
(−0.0000318)− ·0.0000013 = 0.6427876<br />
16 64<br />
|(R4f)(t)| ≤ h 5 t(t−1)(t−2)(t−3)(t−4)f (5) (ξ) < 0.0000000028<br />
sin50 ◦ se poate aproxima cu formula lui Newton cu diferent¸e regresive.<br />
sin44 ◦ se poate aproxima cu formula lui Stirling.
6.3. Interpolare Hermite 85<br />
Problema 6.2.6 Să se <strong>de</strong>termine un polinom <strong>de</strong> interpolare <strong>de</strong> grad 3 pe intervalul[−1,1]<br />
astfel încât restul să fie minim.<br />
Solut¸ie. Restul este minim dacă nodurile <strong>de</strong> interpolare sunt rădăcinile polinomului<br />
Cebâs¸ev <strong>de</strong> spet¸a I.<br />
Tm(t) = cos(arccost)<br />
Rmf∞ ≤ (b−a)m+1<br />
(m+1)!2 2m+1f(m+1) ∞<br />
T4(t) = 8t 4 −8t 2 +1<br />
Tn+1(t) = 2tTn(t)−Tn−1(t)<br />
tk = cos<br />
6.3 Interpolare Hermite<br />
T0 = 1, T1 = t<br />
2k −1<br />
π k = 1,n<br />
2n<br />
Problema 6.3.1 Să se <strong>de</strong>termine polinomul <strong>de</strong> interpolare Hermite cu nodurile<br />
x0 = −1 multiplu <strong>de</strong> ordinul 3, x1 = 0 simplu s¸ix2 = 1 multiplu <strong>de</strong> ordinul 3.<br />
Solut¸ie.<br />
hkj(x) =<br />
m = 2, r = 0 = 2, r1 = 0, r2 = 2<br />
m rk<br />
Hnf)(x) = hkj(x)f (j) (xk)<br />
(x−xk) j<br />
j!<br />
uk(x) =<br />
k=0 j=0<br />
u(x)<br />
(x−xk) rk+1<br />
rk−j <br />
uk(x)<br />
ν=0<br />
(x−xk) ν<br />
ν!<br />
(ν)<br />
1<br />
uk(x) x=xk<br />
n+1 = 3+1+3 = 7 ⇒ n = 6<br />
h00(x) = x(x−1) 3<br />
<br />
1 5(x+1)<br />
+ +<br />
8 16<br />
(x+1)2<br />
<br />
2<br />
h01(x) = x(x−1) 3 <br />
1 5(x+1)<br />
(x+1) +<br />
8 16
86 Interpolare<br />
h02(x) = x(x−1)3 (x+1) 2<br />
16<br />
h10(x) = (1−x 2 ) 3<br />
h20(x) = x(x+1) 3<br />
<br />
1 5(x−1)<br />
− +<br />
8 16<br />
(x+1)2<br />
<br />
2<br />
h21(x) = x(x+1) 3 <br />
1 3(x−1)<br />
(x−1) −<br />
8 16<br />
h22(x) = x(x+1)3 (x−1) 2<br />
16<br />
Problema 6.3.2 Aceeas¸i problemă, pentru aceleas¸i noduri ca mai sus, dar duble.<br />
Solut¸ie.<br />
r0 = r1 = r2 = 1, m = 2, n = 5, x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1<br />
(H2m+1f)(x) =<br />
u0(−1) = 4 u ′ 0<br />
m<br />
hk0(x)f(xk)+<br />
k=0<br />
hk0(x) = uk(x)<br />
uk(xk)<br />
m<br />
hk1(x)f ′ (xk)<br />
k=0<br />
<br />
1−(x−xk) u′ k (xk)<br />
uk(xk)<br />
hn1(x) = (x−xn) uk(x)<br />
uk(xk) u0(x) = x 2 (x−1) 2<br />
h00(x) = x2 (x−1) 2<br />
(x) = 2x(x−1)(x−1+x) = 2x(x−1)(2x−1)<br />
<br />
1−<br />
4<br />
12<br />
4 (x+1)<br />
<br />
= x2 (x−1) 2<br />
(−3x−2)<br />
4<br />
h01(x) = (x+1)x2 (x−1) 2<br />
4<br />
u1(x) = (x+1) 2 (x−1) 2<br />
u ′ 1(x) = 2(x+1)(x−1) 2 +2(x+1) 2 (x−1) =<br />
= 2(x+1)(x−1)(x−1+x+1) = 4x(x−1)(x+1)<br />
h10(x) = (x+1)2 (x−1) 2<br />
[1−x·0] = (x+1)<br />
1<br />
2 (x−1) 2<br />
h11(x) = (x+1) 2 (x−1) 2 x<br />
u2(x) = (x+1) 2 x 2 u2(1) = 4
6.3. Interpolare Hermite 87<br />
u ′ 2 (x) = 2(x+1)x2 +2(x+1) 2 x = 2(x+1)x(2x+1)<br />
u ′ 2 (1) = 2·2·1·3 = 12<br />
h20(x) = (x+1)2 x2 <br />
1−(x−1)<br />
4<br />
12<br />
<br />
=<br />
4<br />
(x+1)2 x2 [−3x+4]<br />
4<br />
h21(x) = (x−1)(x+1)2 x 2<br />
4<br />
Problema 6.3.3 Să se arate că pentru PIH cu noduri duble avem<br />
hk0(x) = [1−2(x−xk)l ′ k (xk)]l 2 k (x)<br />
hk1(x) = (x−xk)l 2 k (x)<br />
un<strong>de</strong>lk sunt polinoamele fundamentale Lagrange.<br />
Problema 6.3.4 Să se <strong>de</strong>termine PIH pentrux0 = a, x1 = b, m = 1, r0 = r1 =<br />
1.<br />
Solut¸ie. Se poate aplica formula cu noduri duble sau generalizarea formulei<br />
lui Taylor.<br />
u0 = (x−b) 2 u1 = (x−a) 2<br />
h00(x) = (x−b)2<br />
(a−b) 2<br />
<br />
1−(x−a) 2(a−b)<br />
(a−b) 2<br />
<br />
= (x−b)2<br />
(a−b) 2<br />
<br />
a−b−2x+2a<br />
=<br />
a−b<br />
(x−b)2<br />
(a−b) 3[3a−b−2x]<br />
h01(x) = (x−a) (x−b)2<br />
(a−b) 2<br />
h10(x) = (x−a)2<br />
(b−a) 3[3b−a−2x]<br />
2 x−a<br />
h11(x) = (x−b)<br />
b−a<br />
(H3f)(x) = h00(x)f(a)+h01(x)f ′ (a)+h10(x)f(b)+h11(x)f ′ (b)
88 Interpolare<br />
Problema 6.3.5 Se consi<strong>de</strong>ră f : [−1,1] → R. Se notează cu F2n+1f polinomul<br />
Hermite cu noduri duble <strong>de</strong>terminat <strong>de</strong> condit¸iile<br />
(F2m+1f)(xk) = f(xk), k = 0,m<br />
(F2m+1f) ′ (xk) = 0.<br />
Să se arate că dacăx0,x1,...,xm sunt rădăcinile polinomului lui Cebâs¸ev <strong>de</strong><br />
spet¸a I avem:<br />
-<br />
Solut¸ie.<br />
(F2m+1f)(x) =<br />
1−(x−xk) u′ k (xk)<br />
uk(xk)<br />
1<br />
(m+1) 2<br />
m<br />
2 Tm+1(x)<br />
(1−xkx) f(xk).<br />
x−xk<br />
k=0<br />
hk0(x) = uk(x)<br />
<br />
1−(x−xk)<br />
uk(xk)<br />
u′ <br />
(xk)<br />
uk(xk)<br />
w(x) = (x−x0)(x−x1)...(x−xm)<br />
uk(x) = w2 <br />
(x) 1<br />
=<br />
(x−xk) 2 2m 2 Tm+1(x)<br />
x−xk<br />
<br />
1 1<br />
= (x−xk) + +···+<br />
x−xk x0 −xk<br />
uk(xk) = w ′2 (xk)<br />
u ′ k (xk) = w ′ (xk)w ′′ (xk)<br />
(−1) k<br />
<br />
2 1−x k<br />
w ′′ (x) = m+1<br />
2m <br />
xsin[(m+1)arccosx]−<br />
w ′ (xk) = m+1<br />
2 m<br />
(m+1) √ 1−x 2 √ 3 cos[(m+1)arccosx] / 1−x 2<br />
w ′′ (xk) = m+1<br />
2 m<br />
hk0(x) =<br />
1<br />
2 m<br />
Tm+1(x)<br />
x−xk<br />
(−1) kxk 3 1−x 2 k<br />
2<br />
<br />
1−(x−xk) w′ (xk)w ′′ (xk)<br />
w ′2 (xk)<br />
1<br />
w ′2 (xk)<br />
<br />
=<br />
1<br />
xn −xk
6.3. Interpolare Hermite 89<br />
<br />
Tm+1(x)<br />
=<br />
x−xk<br />
2<br />
· 1<br />
2m 22m (1−xk) 2<br />
(m+1) 2<br />
=<br />
1<br />
(m+1) 2<br />
⎛<br />
2 xk(m+1)<br />
⎜<br />
1−(x−xk)<br />
⎜ 2<br />
⎝<br />
2m (1−xk) 2<br />
(m+1) 2<br />
⎞<br />
1<br />
−<br />
22m x−xk<br />
2 Tm+1(x)<br />
(1−xkx)<br />
x−xk<br />
Problema 6.3.6 (Relat¸ia lui Cauchy) Arătat¸i că ∀x ∈ R<br />
n<br />
li(x)(xi −x) j =<br />
i=0<br />
1 dacă j = 0<br />
0 dacă j = 1,...,n<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
Solut¸ie. Pentru t ∈ R s¸i j ∈ {0,1,...,n} fixat, funct¸ia x → (x − t) j ∈ Pn<br />
s¸i coinci<strong>de</strong> cu polinomul său <strong>de</strong> interpolare în x0,...,xn; formula cerută nu este<br />
altceva <strong>de</strong>cât polinomul <strong>de</strong> interpolare Lagrange pentru t = x.<br />
Problema 6.3.7 (Nucleul lui Peano pentru operatorul <strong>de</strong> interpolare Lagrange)<br />
a) Arătat¸i că pentruf ∈ C n+1<br />
b [a,b] avem ∀ x ∈ [a,b]<br />
cu<br />
Deducet¸i că<br />
(Rnf)(x) = f(x)−pn(x) =<br />
Kn(x,t) = 1<br />
n!<br />
(Rnf)(x) =<br />
n<br />
i=0<br />
n<br />
i=0<br />
b<br />
a<br />
Kn(x,t)f (n+1) (t)dt<br />
[(x−t) n + −(xi −t) n + ]li(x)<br />
x<br />
1<br />
(xi −t)<br />
n! xi<br />
n f (n+1) <br />
(t)dt li(x)<br />
b) Ce <strong>de</strong>vineK1(x,t) dacăx ∈ (x0,x1)? Deducet¸i existent¸a unuiξx ∈ (x0,x1)<br />
astfel încât<br />
E1(x) = f ′′ (ξx)(x−x0)(x−x1)/2.<br />
c) Arătat¸i că solut¸ia unică a <strong>probleme</strong>i la limită: ”fiind datg ∈ C[x0,x1] găsit¸i<br />
u ∈ C2 [x0,x1] astfel încâtu ′′ (x) = g(x) pentrux ∈]x0,x1[, u(x0) = u(x1) = 0”<br />
este dată <strong>de</strong><br />
u(x) =<br />
x1<br />
x0<br />
K1(x,t)g(t)dt.
90 Interpolare<br />
un<strong>de</strong><br />
Solut¸ie. a)<br />
Kn(x,t) = 1<br />
n!<br />
dar<br />
<br />
Pe <strong>de</strong> altă parte<br />
=<br />
En = (R−nf)(x) =<br />
(x−t) n + −<br />
n<br />
i=0<br />
b<br />
a<br />
li(x)(xi −t) n +<br />
Kn(x,t)f (n+1) (t)dt<br />
<br />
= 1<br />
n!<br />
n<br />
[(x−t) n +−(xi−t) n +li(x)<br />
b<br />
[(x−t)<br />
a<br />
n + −(xi −t) n + ]f(n+1) (t)dt =<br />
x<br />
[(x−t)<br />
c<br />
n −(xi −t) n ]f (n+1) x<br />
(t)dt+ (xi −t)<br />
xi<br />
n f (n+1) (t)dt<br />
n<br />
i=0<br />
i=0<br />
[(x−t) n −(xi −t) n ]li(x) = 0<br />
conform relat¸iei lui Cauchy.<br />
b)<br />
K1(x,t) = 0 dacă t ∈ (x0,x1)<br />
căci<br />
K1(t) = (x−t)+ −(x0 −t)+l0(x)+(x1 −t)+l1(x)<br />
l0(x) = x−x1<br />
x0 −x1<br />
= x1 −x<br />
x1 −x0<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
(x−x1)(t−x0)<br />
x1 −x0<br />
K1(x,t) =<br />
⎪⎩<br />
(t−x1)(x−x0)<br />
x1 −x0<br />
l1(x) = x−x0<br />
x1 −x0<br />
t ∈ [x0,x]<br />
t ∈ [x,x1]<br />
K1(x,t) ≤ 0 t.medie<br />
⇒ E1(x) = (x−x0)(x−x1)<br />
f<br />
2<br />
′′ (x)<br />
c) Scriind căp1 = 0 este polinomul <strong>de</strong> interpolare al luiucu nodurilex0 s¸ix1<br />
obt¸inem<br />
u(x)−p1(x) =<br />
x1<br />
x0<br />
k1(x,t)u ′′ (t)dt =<br />
x1<br />
p1(x0) = u(x0) = 0 = p1(x1) = u(x1)<br />
x0<br />
k1(x,t)g(t)dt<br />
Se verifică us¸or că problema la limită admite efectiv o solut¸ie. K1 se numes¸te<br />
funct¸ia lui Green a <strong>probleme</strong>i la limită.
6.4. Interpolare Birkhoff 91<br />
6.4 Interpolare Birkhoff<br />
Problema 6.4.1 Dându-se f ∈ C2 [0,h], h > 0 să se <strong>de</strong>termine un polinom <strong>de</strong><br />
grad minimB astfel încât <br />
B(0) = f(0)<br />
(6.1)<br />
Să se <strong>de</strong>a expresia restului.<br />
B ′ (h) = f ′ (h).<br />
Solut¸ie. m = 1, r0 = 0, r1 = 1, I0 = {0}, I1 = {1}, n = 1<br />
Solut¸ia există s¸i este unică.<br />
<br />
<br />
(6.1) ⇒ ∆ = 0 1 <br />
<br />
1 0 = 1 = 0<br />
(B1f)(x) = b00(x)f(0)+b11(x)f ′ (h)<br />
(B1f)(x) = f(0)+xf ′ (h)<br />
b00(x) = Ax+b b11(x) = Cx+D<br />
b00(x) = 1 b11(x) = x<br />
Pentru rest se aplică teorema lui Peano.<br />
(R1f)(x) =<br />
h<br />
ϕ1(x;s) = (x−s)+ −x =<br />
0<br />
ϕ1(x;s)f ′′ (s)ds<br />
−x x ≤ s<br />
−s x > s<br />
ϕ1(x;s) ≤ 0, ∀x,s ∈ [0,h]<br />
(R1f)(x) = E(x)f ′′ (ξ), ξ ∈ [0,h]<br />
E(x) = x2<br />
2 −hx R1f∞ ≤ h<br />
2 f′′ ∞<br />
Problema 6.4.2 Pentru f ∈ C 3 [0,h], h ∈ R+, m = 2, r0 = 1, r1 = 0, r2 =<br />
1, I0 = I = {1}, I1 = {0} să se construiască formula <strong>de</strong> interpolare Birkhoff<br />
corespunzătoare.<br />
Solut¸ie.<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
P(x) = a0x 2 +a1x+a2<br />
P ′ (0) = a1 = f ′ (0)<br />
P <br />
h h<br />
= 2<br />
2<br />
4 a0 + h<br />
2a1 +a2 = f <br />
h<br />
2<br />
P ′ (h) = 2ha0 +a1 = f ′ (h)
92 Interpolare<br />
Rezolvând sistemul se obt¸ine<br />
(B2f)(x) = (2x−h)(3h−2x)<br />
f<br />
8h<br />
′ (0)+f<br />
(B2f)(x) = b01(x)f ′ (0)+b10(x)f<br />
<br />
h<br />
2<br />
+ 4x2 −h2 f<br />
8h<br />
′ (h)<br />
<br />
h<br />
+b21(x)f<br />
2<br />
′ (h)<br />
b01(x) = (2x−h)(3h−2x)<br />
8h2 , b10(x) = 1, b21(x) = 4x2 −h2 8h<br />
h<br />
(R2f)(x) =<br />
0<br />
ϕ2(x;s)f ′′′ (s)ds<br />
ϕ2(x;s) = 1<br />
2 {(x−s)2 −b01(x)[(0−s) 2 + ]+b10(x)<br />
<br />
h<br />
2 −s<br />
= 1<br />
<br />
(x−s)<br />
2<br />
2 <br />
h<br />
+ −<br />
2 −s<br />
2 − 4x2 −h2 <br />
(h−s) .<br />
4h<br />
+<br />
<br />
ϕ2(x;s) ≥ 0 dacă x ∈ 0, h<br />
<br />
, s ∈ [0,h]<br />
2<br />
<br />
h<br />
ϕ2(x;s] ≤ 0 pentru x ∈<br />
2 ,h<br />
<br />
, s ∈ [0,h]<br />
Pentru x ∈ [0,h], ϕ2(x,·) are semn constant pe[0,h]<br />
(R2f)(x) = f ′′′ (ξ)<br />
b<br />
a<br />
2 −S21[(h−s)<br />
+<br />
2 + ]′<br />
(x;s)ds = (2x−h)(2x2 −2hx−h 2 )<br />
f<br />
24<br />
′′′ (ξ), 0 ≤ ξ ≤ h<br />
Problema 6.4.3 Să se <strong>de</strong>termine un polinom <strong>de</strong> grad minim care verifică<br />
P(0) = f(0), P ′ (h) = f ′ (h), P ′′ (2h) = f ′′ (2h),<br />
un<strong>de</strong> f ∈ C 3 [0,2h] (Problema Abel-Goncearov cu două noduri). Dat¸i expresia<br />
restului.<br />
Solut¸ie. Din condit¸iile <strong>de</strong> interpolare se obt¸ine<br />
P(x) = f′′ (2h)<br />
x<br />
2<br />
2 +[f ′ (h)−hf ′′ (2h)]x+f(0)
6.5. Interpolare rat¸ională 93<br />
Tratând problema ca pe o PIB cu m = 2, I0 = {0}, I1 = {1}, I2 = {2}<br />
obt¸inem<br />
b00(x) = 1 b11(x) = x b22(x) = x2<br />
2 −hx<br />
(R3f)(x) =<br />
2h<br />
0<br />
ϕ2(x;s)f ′′′ (s)ds<br />
ϕ2(x;s) = 1<br />
2! {(x−s)2 −b00(x)(0−s) 2 + −b11(x)[(h−s) 2 + ]′ −b22(x)[(2h−s) 2 + ]′′ }<br />
un<strong>de</strong><br />
= 1<br />
= 1<br />
2<br />
2 [(x−s)2 + −2x(h−s)+ −(x 2 −2hx)(2h−s) 0 + ]<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
s 2 x ≥ s s < h<br />
s 2 +2x(h−x) x ≥ s s > h<br />
x(2s−x) x < s s < h<br />
−x(x−2h) x < s s > h<br />
ϕ2(x;s) ≥ 0<br />
Putem aplica corolarul la teorema lui Peano<br />
E(x) = x3<br />
6<br />
∃ξ ∈ [0,2h] a.î. (R3f)(x) = E(x)f ′′′ (ξ),<br />
1<br />
−<br />
2 h2b11(x)−24b22(x) = x3<br />
6 − h2x 2 −2h<br />
2 x<br />
2 −hx<br />
<br />
= x3<br />
6 − h2 x<br />
2 −hx2 +2h 2 x = x3<br />
6 −hx2 + 3h2<br />
2 x<br />
6.5 Interpolare rat¸ională<br />
Problema 6.5.1 Să se <strong>de</strong>termine o aproximare Padé <strong>de</strong> grad 5 cu n = 2, n = 3<br />
pentruf(x) = e x .<br />
Solut¸ie.<br />
r(x) = pn(x)<br />
qm(x) , p ∈ Pn, q ∈ Pm<br />
f (k) (0)−r (k) (0) = 0, k = 0,N, N = n+m = 5<br />
f(x)−r(x) = f(x)− p(x)<br />
q(x)<br />
= f(x)q(x)−p(x)<br />
q(x)<br />
=
94 Interpolare<br />
=<br />
∞<br />
aix i<br />
i=0<br />
m<br />
qix i −<br />
i=0<br />
q(x)<br />
n<br />
pix i<br />
f−r are o rădăcină multiplă <strong>de</strong> ordinN. Pentru coeficientul luixk <strong>de</strong> la numărător<br />
avem<br />
k<br />
aiqk−1 −pk = 0, k = 0,N<br />
i=0<br />
Luămq0 = 1 s¸i pn+1 = pn+2 = ··· = pN = 0 s¸i qm+1 = qm+2 = ··· = qN = 0<br />
i=0<br />
x 5 : 1<br />
2 q3 + 1<br />
6 q2 + 1<br />
24 q1 = − 1<br />
120<br />
x 4 : q3 + 1<br />
2 q2 + 1<br />
6 q1 + 1<br />
= 0<br />
24<br />
x 3 : q3 +q2 + 1<br />
2 q1 + 1<br />
= 0<br />
6<br />
x 2 : q2 +q1 −p2 + 1<br />
= 0<br />
2<br />
x 1 : q1 −p1 +1 = 0<br />
x 0 : p+0 = 1<br />
p0 = 1, p1 = 3<br />
5 , p2 = 2<br />
20 , q1 = − 2<br />
5 q2 = 3<br />
20 , q3 = − 1<br />
60<br />
r(x) =<br />
1− 2<br />
5<br />
1+ 3 1 x+ 5 20x2 x+ 3<br />
20 x2 − 1<br />
60 x3<br />
Problema 6.5.2 Determinat¸i aproximarea Padé <strong>de</strong> grad 6 pentruf(x) = sinx s¸i<br />
n = m = 3.<br />
Solut¸ie.<br />
k<br />
akqk−i −pk = 0, k = 0,6<br />
i=0<br />
p4 = p5 = p6 = 0 q0 = 1<br />
qn = q5 = q6 = 0 a0 = 0, a1 = 1, a2 = 0<br />
sinx = x− x3<br />
3!<br />
+ x5<br />
5!<br />
− x7<br />
7! +...
6.5. Interpolare rat¸ională 95<br />
a3 = − 1<br />
a4 = 0 a5 =<br />
6<br />
1<br />
a6 = 0<br />
120<br />
Se obt¸in următorii coeficient¸i:<br />
x7 : a0q6 +a1q5 +a2q4 +a3q3 +a4a2 +a5q1 +a6q0 −p6 = 0<br />
x 6 : q5 − 1<br />
6 q3 + 1<br />
120 q1 = 0<br />
x 5 : a1q4 +a3q2 +a5q0 −p5 = q4 − 1<br />
6 q2 + 1<br />
120<br />
x 4 : a1q3 +a3q1 −p4 = q3 − 1<br />
6 q1 = 0<br />
x 3 : a1q2 +a3q0 −p3 = q2 − 1<br />
6 −p3 = 0<br />
x 2 : a1q1 −p2 = q1 −p2 = 0<br />
x 1 : a0q1 +a1q0 −p1 = 1−p1 = 0<br />
x 0 : a0q0 −p0 = 0<br />
p0 = 0 p1 = 1 q1 = p2 = 0<br />
q3 = 0 q2 = 1<br />
p3 = q2 − 20 1<br />
6<br />
r(x) =<br />
1 1 = − 20 6<br />
= − 7<br />
60<br />
x− 7<br />
60 x3<br />
1+ 1<br />
20 x2<br />
Problema 6.5.3 Dându-sef(0) = 1, f <br />
1 2 1<br />
= , f(1) = , <strong>de</strong>terminat¸i o funct¸ie<br />
2 3 2<br />
F <strong>de</strong> interpolare rat¸ională pentruf.<br />
Solut¸ie.<br />
F = Pr<br />
Ps<br />
m = r +s<br />
f(xi) = f(xi) i = 0,m<br />
fm(x) = f(x0)+<br />
v1(x1)+<br />
v2(x2)+<br />
vi(xi) - diferent¸ele divizate inverse<br />
M = {xi|xi ∈ R, i = 0,m}, xi = xj (i = j)<br />
f : M → R<br />
[x0,x1,...,xk−1,xk;f] − =<br />
= 0<br />
x−x0<br />
x−x1<br />
x−v2<br />
v3(x3)+<br />
. ..<br />
+ x−xm−1<br />
vm(xm)<br />
xkxk−1<br />
[x0,...,xk−2,xk;f] − −[x0,...,xk−1;f] −<br />
[x0,x1;f] − = [x0,x1;f] −1
96 Interpolare<br />
G0 = 1 G1(x) = f(x0)<br />
H0 = 0 H1(x) = 1<br />
Gk+1(x) = rk(xk)Gk(x)+(x−xk−1)Gk−1(x)<br />
Pentru calculul diferent¸elor divizate inverse se construies¸te tabelul<br />
x0 v00<br />
x1 v10 v11<br />
x2 v20 v21 v22<br />
... ... ... ...<br />
. ..<br />
xi vi0 vi1 vi2 ... vii<br />
... ... ... ... ... ...<br />
. ..<br />
xn vm0 vm1 vm2 ... vmi ... vmm<br />
vi0 = f(xi) vik =<br />
În cazul nostru<br />
0 1<br />
1<br />
1 2 2<br />
1 −2 −1<br />
2<br />
3 −3<br />
1<br />
2<br />
F2(x) = f(x0)+<br />
Restul are expresia<br />
xi −xk−1<br />
vi,k−1 −vk−1,k−1<br />
v1,1 = x1 −x0<br />
v1,0 −v0,0<br />
v2,1 = x2 −x1<br />
v2,1 −v1,1<br />
(Rmf)(x) =<br />
x−x0<br />
v11 + x−x1<br />
v22<br />
6.6 Interpolare spline<br />
=<br />
1<br />
2 −0<br />
2<br />
3 −1<br />
= − 3<br />
2<br />
= −2, v2,2 = x2 −x1<br />
v2,1 −v1,1<br />
= 1+<br />
− 3<br />
2 +<br />
x<br />
k = 1,i i = 1,m<br />
x− 1<br />
2<br />
−1<br />
= −1<br />
= 1<br />
x+1<br />
(−1) m u(x)<br />
Hm+1(x)[vm+1(x)Hm+1(x)+(x−xm)Hm(x)] .<br />
Problema 6.6.1 Arătat¸i că orice funct¸ie f ∈ C m [a,b] poate fi aproximată uniform,<br />
împreună cu <strong>de</strong>rivatele ei până la ordinul m printr-o funct¸ie spline <strong>de</strong> gradulm,<br />
<strong>de</strong>rivatele ei respectiv prin <strong>de</strong>rivatele funct¸iei spline până la ordinulm.
6.6. Interpolare spline 97<br />
Demonstrat¸ie. f ∈ C m [a,b] ⇒ f (m) ∈ [a,b] ⇒ f (m) poate fi aproximată<br />
uniform pe [a,b] printr-o funct¸ie în scară, continuă la dreapta s¸i discontinuă în<br />
x1,x2,...,xn ∈ [a,b], notată cu hm.<br />
Fie problema diferent¸ială<br />
s (m) (x) = hm(x), x ∈ [a,b]<br />
s (r) (a) = f (r) (a), r = 0,m−1<br />
Solut¸ia acestei <strong>probleme</strong> pe[a,b] este<br />
s(x) = f(a)+(x−a)f ′ (a)+···+ (x−a)m−1<br />
(m−1)! f(m−1) x<br />
(x−t)<br />
(a)+<br />
a<br />
m−1<br />
(m−1)! hm(t)dt<br />
(6.2)<br />
s este o funct¸ie spline <strong>de</strong> grad m căci<br />
s|(xi,xi+1) ∈ Pm−1, s ∈ C m−1 [a,b]<br />
f ∈ C m [a,b] ⇒<br />
f(x) = f(a)+(x−a)f ′ (a)+···+ (x−a)m−1<br />
(m−1)! f(m−1) x<br />
(a)+<br />
a<br />
(6.2), (6.3) ⇒ f (r) (x) − s (r) (x) = x<br />
a<br />
0,m−1<br />
f (r) −s (r) ∞ ≤ (b−a)m−r<br />
(x−t) m−1<br />
(m−1)! f(m) (t)dt<br />
(6.3)<br />
(x−t) m−r−1<br />
(m−r−1)! [f(m) (t) − hm(t)]dt, r =<br />
(m−r)! f(m) −hm ∞, r = 0,m−1<br />
<br />
Problema 6.6.2 Fiea,b ∈ R, a < 0, b > 1, f : [a,b] → R s¸tiind căf ∈ C 1 [a,b]<br />
s¸i cunoscând f(0),f<br />
1<br />
2<br />
98 Interpolare<br />
3<br />
i=1<br />
bix r i = 0, r = 0,m−1, m = 2<br />
s ′′<br />
i(x) = 6b1x+ +6b2<br />
s ′′<br />
i<br />
<br />
x− 1<br />
<br />
+6b3(x−1)+<br />
2 +<br />
(0) = s′′ (1) = 0<br />
s ′′′<br />
i (x) = 6(b1 +b2 +b3) = 0 ⇒ b1 +b2 +b3 = 0 (x ≥ 1)<br />
i<br />
s ′′<br />
i (0) = 0<br />
s ′′<br />
i (1) = 6b1 +3b2 = 0<br />
b2 = −2b1<br />
b1 +b2 +b3 = 0 ⇒ b3 = b1<br />
<br />
si(x) = a0 +a1x+b x 3 + −2<br />
<br />
x− 1<br />
3 2<br />
s1(0) = a0 = 1<br />
<br />
1<br />
s1 = 1+<br />
2<br />
a1 1<br />
+b· = 0<br />
2 8<br />
<br />
s1(1) = 1+a1 +b 1− 1<br />
<br />
= 0<br />
4<br />
s1(x) = 1− 5<br />
2 x+2<br />
<br />
x 3 <br />
+ −2 x− 1<br />
3 2<br />
s2(0) = a0 = 0<br />
<br />
1<br />
s2 =<br />
2<br />
a1 b<br />
+ = 1<br />
2 8<br />
<br />
s2(1) = a1 +b 1− 1<br />
<br />
= 0<br />
4<br />
<br />
s2(x) = 3x−4 x 3 + −2<br />
<br />
x− 1<br />
3 2<br />
s3<br />
s3(0) = a0 = 0<br />
<br />
1<br />
=<br />
2<br />
a1 b<br />
+ = 0<br />
2 8<br />
s3(1) = a1 + 3b<br />
4<br />
= 1<br />
+(x−1) 3 +<br />
+(x−1)<br />
+<br />
3 +<br />
+(x−1)<br />
+<br />
3 +
6.6. Interpolare spline 99<br />
s3(x) = − 1<br />
2 x+2<br />
<br />
x 3 <br />
+ −2 x− 1<br />
3 +(x−1)<br />
2<br />
3 <br />
+<br />
Pentru rest folosim teorema lui Peano<br />
ϕ(x,t) =<br />
(Rf)(x) =<br />
b<br />
<br />
1<br />
(x−t)<br />
(m−1)!<br />
m−1<br />
+ −<br />
= (x−t)+ −<br />
a<br />
ϕ(x;t)f (m) (t)dt<br />
3<br />
<br />
si(x)(xi −t)+ =<br />
i=1<br />
3<br />
si(x)(xi −t)+ =<br />
i=1<br />
<br />
1<br />
= (x−t)+ −s1(x)(−t)+ −s2(x)<br />
2 −t<br />
<br />
+<br />
−s3(1−t)+<br />
Problema 6.6.3 Fie funct¸ia f(x) = sinπx s¸i nodurile x0 = 0, x1 = 1<br />
6 , x2 =<br />
1<br />
2 , x3 = 1.<br />
Să se <strong>de</strong>termine o funct¸ie spline naturală s¸i o funct¸ie spline limitată (racordată)<br />
care aproximează pef.<br />
Solut¸ie. Vom rezolva un sistem liniar <strong>de</strong> formaAx = b.<br />
Pentru funct¸ia spline naturală avem:<br />
⎡<br />
⎢<br />
A = ⎢<br />
⎣<br />
1 0 0 ... ... 0<br />
h0 2(h0 +h1) h1 ... ... 0<br />
0 h1 2(h1 +h2) h2 ... 0<br />
... ... ... ... ... ...<br />
... ... hn−2 2(hn−1 +hn+1) hn−1<br />
0 ... ... 0 0 1<br />
⎡<br />
⎢<br />
b = ⎢<br />
⎣<br />
3<br />
hn−1<br />
0<br />
3<br />
(an −a1)− 3<br />
(a1 −a0)<br />
h1<br />
h0<br />
.<br />
(an −an−1)− 3<br />
0<br />
(an−1 −an−2)<br />
hn−2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥.<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦
100 Interpolare<br />
Pentru funct¸ia spline limitată:<br />
⎡<br />
⎤<br />
2h0 h0 0 ... ... 0<br />
⎢ h0 2(h0 ⎢ +h1) h1 ... ... ... ⎥<br />
⎢<br />
A = ⎢ 0 h1 2(h1 +h2) h2 ... 0 ⎥<br />
⎢ ... ... ... ... ... 0 ⎥<br />
⎣ ... ... ... hn−2 2(hn−2 +hn−1) hn−1 ⎦<br />
0 ... ... 0 hn−1 2hn−1<br />
⎡<br />
⎢<br />
b = ⎢<br />
⎣<br />
3<br />
h0 (a1 −a0)−3f ′ (a)<br />
3<br />
h1 (a2 −a1)− 3<br />
h0 (a1 −a0)<br />
.<br />
3<br />
hn−1 (an −an−1)− 3<br />
hn−2 (an−1 −an−2)<br />
3f ′ (b)− 3<br />
hn−1 (an −an−1)<br />
bj = 1<br />
hj<br />
hj = xj+1 −xj<br />
(aj+1 −aj)− hj<br />
3 (2cj +cj+1)<br />
dj = cj+1−cj<br />
, n = 3<br />
3hj<br />
a0 = 0, a1 = 1<br />
2 , a2 = 1, a3 = 0<br />
h0 = 1<br />
6 , h1 = 1 1 1<br />
− =<br />
2 6 3 , h2 = 1<br />
2<br />
⎡ ⎤<br />
⎡<br />
⎢<br />
b = ⎢<br />
⎣<br />
1 0 0 0<br />
⎢<br />
A = ⎢ 1 1<br />
⎣<br />
1<br />
3 0<br />
0 1<br />
⎥<br />
5 1 ⎦<br />
3 3 2<br />
0 0 0 1<br />
0<br />
3<br />
1 ·<br />
3<br />
1<br />
2 − 3 1 ·<br />
6<br />
1<br />
2<br />
(−1)− 3 1 ·<br />
3<br />
1<br />
⎤<br />
⎥<br />
2 ⎦<br />
0<br />
=<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡ 1 1<br />
0 0 3 6<br />
⎢ 1 1<br />
A = ⎢ 1 6 3<br />
⎣<br />
0<br />
0 1<br />
⎤<br />
⎥<br />
3 1 ⎦<br />
3 5 2<br />
0 0 0 1<br />
3 1<br />
2<br />
0<br />
−9 2<br />
−15 2<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
f ′ (x) = πcosπx f ′ (0) = π f ′ (1) = −π<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦
6.6. Interpolare spline 101<br />
⎡ ⎤<br />
3(3−3π)<br />
b = ⎣ ⎦<br />
− 9<br />
2<br />
3(2−π)<br />
3<br />
40 (a1 −a0)−3f ′ (0) = 3<br />
1 ·<br />
6<br />
1<br />
−3π = 3(3−3π)<br />
2<br />
−3π − 3 1(−1)<br />
= 6−3π = 3(2−π)<br />
2<br />
Problema 6.6.4 Fie f : [a,b] → R, f ∈ C 1 [a,b], a < 0, b > 1. Să se<br />
scrie o funct¸ie spline naturală <strong>de</strong> interpolare care verifică s(0) = f(0), s ′ (0) =<br />
f ′ (0), s(1) = f(1), s ′ (1) = f ′ (1).<br />
Solut¸ie. Funct¸ia căutată este <strong>de</strong> forma<br />
s(x) = pm−1(x)+<br />
n ri <br />
i=1<br />
j=0<br />
cij(x−xi) 2m−1−j<br />
+<br />
s(x) = a0 +a1x+c10x 3 +c11x 2 +c20(x−1) 3 +c21(x−1) 2 +<br />
Avem 6 necunoscute s¸i 4 condit¸ii<br />
s ′ (x) = a1 +3c10x 2 + +2c11x+ +3c20(x−1) 2 + +2c21(x−1)+<br />
s(0) = a0 = f(0)<br />
s ′ (0) = a1 = f ′ (0)<br />
s(1) = f(0)+f ′ (0)+c10 +c11 = f(1)<br />
s ′ (1) = f ′ (0)+3c10 +2c11 = f ′ (1)<br />
s ′′ (1) = 0<br />
s ′′ (x) = 6c10x+ +2c11x 0 + +6c20(x−1)+ +2c21(x−1) 0 +<br />
3c10 +c11 +c21 = 0<br />
s ′′′ (x) = 6c10x 0 + +6c20(x−1) 0 +<br />
s ′′′ (1) = c10 +c20 = 0 c20 = −c10<br />
c10 +c11 = f(1)−f(0)−f ′ (0)<br />
3c10 +2c11 = f ′ (1)−f ′ (0)<br />
c10 = 2f(0)+f ′ (0)−2f(1)+f ′ (1)
102 Interpolare<br />
c11 = f(1)−f(0)−f ′ (0)−2f(0)−2f ′ (0)+2f(1)−f ′ (1) =<br />
= 3f(1)−3f(0)−3f ′ (0)−f ′ (1)<br />
c21 = −3c10−c11 = −6f(0)−3f ′ (0)+6f(1)−3f ′ (1)−3f(1)+3f(0)+3f ′ (0)+f ′ (1) =<br />
= −3f(0)+3f(1)−2f ′ (1)<br />
Altfel. Pe [0,1], s(x) coinci<strong>de</strong> cu polinomul <strong>de</strong> interpolare Hermite cu nodurile<br />
duble 0 s¸i 1, H3f, iar pe [a,0) ∪ (1,b] este un polinom <strong>de</strong> grad 1 tangent la<br />
H3f<br />
⎧<br />
⎨<br />
s(x) =<br />
⎩<br />
f ′ (0)x+f(0) x ∈ [a,0)<br />
(H3f)(x) x ∈ [0,1]<br />
f ′ (1)x+f(1)−f ′ (1) x ∈ (1,b]
Capitolul 7<br />
Aproximări în medie pătratică<br />
Se pune problema să se aproximeze o mult¸ime <strong>de</strong> date (xi,yi), i = 1,m, yi =<br />
f(xi) printr-o funct¸ie F care se exprimă ca o combinat¸ie liniară a unor funct¸ii<br />
g1,...,gn liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte astfel încât<br />
în cazul continuu sau<br />
b<br />
a<br />
w(x)[f(x)−F(x)] 2 dx<br />
<br />
m<br />
w(x)[f(xi)−F(xi)] 2<br />
i=0<br />
1/2<br />
1/2<br />
→ min,<br />
→ min<br />
în cazul discret (principiul celor mai mici pătrate).<br />
Dacă f(xi)−F(xi) = 0, i = 0,m ajungem la interpolarea clasică.<br />
P.c.m.m.p. constă în <strong>de</strong>terminarea unui e.c.m.b.a în L 2 w[a,b] adică g ∗ ∈ A ⊂<br />
L 2 w[a,b] astfel încât<br />
Dacă A este spat¸iu liniar<br />
Punând g =<br />
n<br />
λigi, g ∗ =<br />
i=1<br />
f −g ∗ = minf<br />
−g<br />
g∈A<br />
〈f −g ∗ ,g〉 = 0, ∀g ∈ A. (7.1)<br />
n<br />
i=1<br />
λ ∗ igi<br />
(7.1) ⇔ 〈f −g ∗ ,gk〉 = 0, k = 1,n ⇔<br />
n<br />
λi〈gi,gk〉 = 〈f,gk〉, k = 1,n. (7.2)<br />
i=1<br />
103
104 Aproximări în medie pătratică<br />
Ecuat¸iile lui (7.2) se numesc ecuat¸ii normale. Determinantul lui (7.2) este <strong>de</strong>terminantul<br />
Gram al vectorilorg1,...,gn, G(g1,...,gn) = 0, căcig1,...,gn sunt<br />
liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte.<br />
Deci g∗ există s¸i este unic.<br />
În cazul discret putem lucra analog cu<br />
m<br />
〈f,g〉 = w(xi)f(xi)g(xi).<br />
i=0<br />
Problema poate fi tratată s¸i astfel:<br />
Fie<br />
m<br />
<br />
G(a1,...,an) = w(xi) f(xi)−<br />
i=0<br />
n<br />
<br />
akgk(x)<br />
k=1<br />
Pentru a <strong>de</strong>termina minimul luiGvom rezolva sistemul<br />
∂G<br />
(a1,...,an) = 0, i = 1,n.<br />
∂aj<br />
Observat¸ia 7.0.5 Dacă funct¸iile gk, k = 1,n formează un sistem ortogonal<br />
coeficient¸ii λ∗ k sau a∗k se pot obt¸ine astfel<br />
a ∗ k<br />
Problema 7.0.6 Dându-se punctele<br />
= 〈f,gk〉<br />
〈gk,gk〉 .<br />
(0,−4),(1,0),(2,4),(3,−2),<br />
<strong>de</strong>terminat¸i polinomul <strong>de</strong> gradul I corespunzător acestor date prin metoda celor<br />
mai mici pătrate.<br />
G(a1,a2,...,an) =<br />
m<br />
i=0<br />
∂G<br />
∂ak<br />
= 2<br />
m<br />
<br />
i=0<br />
gj(xi) = g i j<br />
yi −<br />
m<br />
<br />
i=0<br />
yi −<br />
n<br />
ajgj(xi)<br />
j=1<br />
2<br />
n<br />
<br />
ajgj(xi) gk(xi) = 0<br />
j=1<br />
n<br />
ajgj(xi)gk(xi) =<br />
j=1<br />
m<br />
yigk(xi), k = 1,n<br />
i=0
matricial<br />
Gjk =<br />
dk =<br />
n = 1, g1(x) = 1, g2(x) = x, m = 3<br />
G12 =<br />
G11 =<br />
3<br />
i=0<br />
Ga = d<br />
m<br />
gj(xi)gk(xi)<br />
i=0<br />
m<br />
yigk(xi)<br />
i=0<br />
g1(xi)g1(xi) = 1 2 +1 2 +1 2 +1 2 = 4<br />
3<br />
g1(xi)g2(xi) = 1·0+1·1+1·2+1·3 = 6<br />
i=0<br />
G22 = 0 2 +1 2 +2 2 +3 2 = 14<br />
d1 = −4·1+0·1+4·1+(−2)·1 = −2<br />
d2 = −4·0+0·1+4·2+(−2)·3 = 2<br />
<br />
4 6 a1 −2<br />
= ⇒ a1 = −2, a2 = 1<br />
6 14 2<br />
a2<br />
F(x) = x−2<br />
105<br />
Problema 7.0.7 Să se găsească aproximarea continuă <strong>de</strong> gradul 2 prin metoda<br />
celor mai mici pătrate pentruf(x) = sinπx pe intervalul[0,1].<br />
∂G<br />
∂aj<br />
= ∂<br />
∂aj<br />
⎡<br />
⎣<br />
b<br />
a<br />
G(a0,a1,a2) =<br />
G(a0,...,an) =<br />
[f(x)] 2 dx−2<br />
P2(x) = a0 +a1x+a1x 2<br />
b<br />
[f(x)−a0 −a1x−a2x<br />
a<br />
2 ] 2 dx<br />
2 b<br />
n<br />
k=0<br />
a<br />
ak<br />
b<br />
b<br />
= −2 x<br />
a<br />
j f(x)dx+2<br />
a<br />
f(x)−<br />
n<br />
akx k<br />
k=0<br />
x k f(x)dx+<br />
n<br />
k=0<br />
ak<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
dx<br />
<br />
n<br />
akx k )<br />
k=0<br />
x j+k dx = 0<br />
2<br />
⎤<br />
dx⎦<br />
=
106 Aproximări în medie pătratică<br />
a0<br />
n<br />
k=0<br />
1<br />
1<br />
a0<br />
0<br />
1<br />
a0<br />
0<br />
0<br />
ak<br />
b<br />
a<br />
dx+a1<br />
xdx+a1<br />
x 2 dx+a1<br />
x j+k dx =<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
b<br />
a<br />
xdx+a2<br />
x 2 dx+a2<br />
x 3 dx+a2<br />
x j f(x)dx, j = 0,n<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
x 2 dx =<br />
x 3 dx =<br />
x 4 dx =<br />
Calculând integralele se obt¸ine<br />
⎧<br />
a0 +<br />
⎪⎨<br />
1<br />
2 a1 + 1<br />
3 a2 = 2<br />
π<br />
1<br />
2 a0 + 1<br />
3 a1 + 1<br />
4 a2 = 1<br />
π<br />
⎪⎩<br />
a0 = 12π2 −120<br />
π 3<br />
1<br />
3 a0 + 1<br />
4 a1 + 1<br />
5 a2 = π2 −4<br />
π3 1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
a1 = −a2 = 720−60π2<br />
π 3<br />
0<br />
sinπxdx<br />
xsinπxdx<br />
x 2 sinπxdx<br />
Problema 7.0.8 Să se calculeze aproximarea Fourier discretă pentru m = 2 p =<br />
2 direct s¸i aplicând algoritmul FFT.<br />
{(xj,yj)} 2m−1<br />
j=0 , m = 2p = 2, xj = −π + jπ<br />
m<br />
x0 = −π, x1 = −π + π<br />
2<br />
= −π<br />
2<br />
x2 = −π +π = 0 x3 = −π + 3π<br />
2<br />
ω = i = cos π π<br />
+isin<br />
2 2<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
c0<br />
c1<br />
c2<br />
c3<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
1 1 1 1<br />
1 ω ω 2 ω 3<br />
1 ω 2 ω 4 ω 6<br />
1 ω 3 ω 6 ω 9<br />
⎤⎡<br />
⎥⎢<br />
⎥⎢<br />
⎦⎣<br />
y0<br />
y1<br />
y2<br />
y3<br />
<br />
j<br />
= π<br />
m −1<br />
<br />
= π<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ =
=<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
1 1 1 1<br />
1 i −1 −i<br />
1 −1 1 −1<br />
1 −i −1 i<br />
⎤⎡<br />
⎥⎢<br />
⎥⎢<br />
⎦⎣<br />
y0<br />
y1<br />
y2<br />
y3<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎥<br />
⎦ =<br />
⎢<br />
⎣<br />
y +0+y1 +y2 +y3<br />
y0 +iy1 −y2 −iy3<br />
y0 −y1 +y2 −y3<br />
y0 −iy1 −y2 +iy3<br />
F(x) = 1<br />
2m−1 <br />
cke<br />
m<br />
ikx = 1 <br />
ck(coskx+isinkx) =<br />
m<br />
k=0<br />
= 1<br />
2 [c0 +c1(cosx+isinx)+c2(cos2x+isin2x)+c3(cos3x+isin3x)]<br />
1<br />
m cke −πik = ak +ibk<br />
Algoritmul FFT simplificat<br />
Intrare: a = [a0,a1,...,a T n−1 , n = 2k , k dat<br />
Ies¸ire:F(a) = [b0,b1,...,bn−1] T<br />
n−1<br />
bi =<br />
<br />
ajω ij , i = 0,n−1<br />
j=0<br />
Metoda<br />
P1. Pentru i = 0,...,2 k −1 executăR[i] := ai<br />
P2. Pentru l = 0,...,k −1 execută P3-P4<br />
P3. Pentru i = 0,...,2 k−1 executăS[i] := R[i]<br />
Fie [d0d1...dk−1] reprezentarea binară a luii<br />
R[[d0,...dk−1]] ← S[[d0...dl−10dl+1...dn−1]]+<br />
+ω [dldl1...d00...0] S[[d0...dl−11dl+1...dk−1]]<br />
P5. Pentru i = 0,...,2 k −1 execută<br />
b[[d0,...,dk−1]] ← R[[dk−1,...,d0]]<br />
Avemn = 4, k = 2, ai = yi<br />
Et.1.R[d0,d1] = S[0,d1]+ω [d00] S[1d1]<br />
Et.2.R[d0,d1] = S[d0,0]+ω [d0d1] S[d01]<br />
1. R = [y0,y1,y2,y3]<br />
2. l = 0<br />
3. S = [y0,y1,y2,y3]<br />
i = 0<br />
R[d0,d1] = S[0,d1]+ω [d0,0] S[1,d1]<br />
i = [d0d1] = [0,0]<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
107
108 Aproximări în medie pătratică<br />
R[0,0] = S[0,d1]+ω [d0,0] S[1,d1] = S[0,0]+ω [0,0] S[1,0] = y0 +y2<br />
i = 1<br />
i = 2<br />
i = [d0,d1] = [0,1]<br />
R[0,1] = S[0,1]+ω [0,0] S[1,1] = y1 +y3<br />
i = [d0,d1] = [1,0]<br />
R[1,0] = S[0,0]+ω [1,0] S[1,0] = S[0,0]+ω 2 S[1,0] = y0 +ω 2 y2 = y0 −y2<br />
i = 3<br />
i = [d0,d1] = [1,1]<br />
R[1,1] = S[0,1]+ω [1,0] S[1,1] = S[0,1]+ω 2 S[1,1] = y1 +ω 2 y3 = y1 −y3<br />
l = 1<br />
i = 0<br />
S = [y0 +y2,y1 +y3,y0+ω 2 y2,y1 +ω 2 y3]<br />
R[d0d1] = S[d0,0]+ω [d0d1] S[d0,1]<br />
i = [d0,d1] = [0,0]<br />
R[0,0] = S[0,0]+ω [0,0] S[0,1] = S[0,0]+S[0,1] = y0 +y1 +y2 +y3<br />
i = 1 = [d0,d1] = [0,1]<br />
r[0,1] = S[0,0]+ω [0,1] S[0,1] = S[0,0]+ωS[0,1] = y0 +y2 +i(y1 +y3)<br />
i = 2<br />
i = 3<br />
5.<br />
[d0d1] = [1,0]<br />
R[1,0] = S[1,0]+ω 2 S[1,1] = y0 +ω 2 y2 +ω 2 (y +1+ω 2 y3)<br />
[d0d1] = [1,1]<br />
R[1,1] = S[1,0]+ω [1,1] S[1,1] = y0 +ω 2 y2 +ω 3 (y +1+ω 2 y3)<br />
c[0,0] = R[0,0] = y0 +y1 +y2 +y3<br />
c[0,1] = R[1,0] = y0 −y2 +i(y1 −y3)<br />
c[1,0] = R[0,1] = y0 +y2 −ω 2 (y1 +ω 2 y3) = y0 +y2 −y1 −y3<br />
c[1,1] = R[1,1] = y0 −y2 −i(y1 −y3)<br />
a0 = c0<br />
m = y0 +y1 +y2 +y3<br />
2
am = a2 = Re(e 2−πi c2/2) = y0 −y2 +y1 −y3<br />
2<br />
a1 = Re(e −πi c1/m) = 1<br />
2 Re{(−1)(y0 −yi +i(y1 −y2)] = y2 −y0<br />
b1 = Im(e −πi c1/m) = y3 −y1<br />
2<br />
109
Capitolul 8<br />
Operatori liniari s¸i pozitivi<br />
8.1 Operatorul lui Bernstein<br />
Problema 8.1.1 Să se afle expresia polinomului Bernstein (Bmf)(x;a,b) corespunzător<br />
unui interval compact[a,b] s¸i unei funct¸iif <strong>de</strong>finite pe acest interval.<br />
Solut¸ie. Se face schimbarea <strong>de</strong> variabilă<br />
(Bmf)(y;a,b) =<br />
1<br />
(b−a) m<br />
m<br />
k=0<br />
x =<br />
y −a<br />
b−a<br />
<br />
m<br />
(y −a)<br />
k<br />
k (b−y) m−k <br />
f a+(b−a) k<br />
<br />
m<br />
Problema 8.1.2 Determinat¸i(Bmf)(x;a,b) în cazul când f(x) = e Ax .<br />
Solut¸ie.<br />
(Bmf)(x;a,b) =<br />
k<br />
A[a+(b−a)<br />
e m] =<br />
m<br />
k=0<br />
=<br />
m<br />
k<br />
1<br />
(b−a) m<br />
x−a<br />
b−a<br />
m<br />
k=0<br />
<br />
m<br />
(x−a)<br />
k<br />
k (b−x) m−k<br />
k m−k b−x k<br />
Ab<br />
e me<br />
b−a<br />
Aa(m−k)<br />
m =<br />
<br />
b−x<br />
b−a eAa m + x−a<br />
b−a eAb<br />
m m<br />
110
8.1. Operatorul lui Bernstein 111<br />
Problema 8.1.3 Să se arate că pentruf(t) = cost avem<br />
<br />
(Bmf)<br />
x,− π<br />
2<br />
Solut¸ie. Se foloses¸te i<strong>de</strong>ntitatea<br />
π<br />
<br />
, =<br />
2<br />
1<br />
<br />
cos<br />
2<br />
π<br />
2m +i2x<br />
m π<br />
sin +<br />
π 2m<br />
+ 1<br />
<br />
cos<br />
2<br />
π<br />
2m −i2x<br />
m π<br />
sin<br />
π 2m<br />
cosx = 1<br />
2 (eix +e −ix )sinx = 1<br />
2i (eix −e −ix )<br />
Problema 8.1.4 Să se arate că dacăf este convexă pe[0,1] atunci are loc inegalitatea<br />
f(x) ≤ (Bmf)(x) pe [0,1]<br />
Solut¸ie.<br />
f convexă Jensen<br />
⇒ f<br />
m<br />
αk ∈ [0,1],<br />
k=0<br />
<br />
m<br />
f pmk(x)<br />
k=0<br />
k<br />
<br />
≤<br />
m<br />
<br />
x<br />
Problema 8.1.5 Dacă f ∈ C r [0,1] atunci<br />
Solut¸ie. Se arată întâi că<br />
lim<br />
m→∞ (Bmf) (r) = f (r)<br />
<br />
(Bmf) (r) (x) = m [r]<br />
m−r<br />
n=0<br />
αkxk<br />
<br />
≤<br />
m<br />
αk = 1<br />
k=0<br />
m<br />
αkf(xk)<br />
k=0<br />
m<br />
pm,k(x)f<br />
k=0<br />
<br />
k<br />
m<br />
uniform pe [0,1]<br />
pm−r,k(x)∆ r <br />
k<br />
1 f , (8.1)<br />
m m
112 Operatori liniari s¸i pozitivi<br />
<strong>de</strong> exemplu prin induct¸ie.<br />
(Bmf) (r) (x) = m[r]<br />
m r<br />
xk =<br />
<br />
m−r<br />
pm−r,k(x)f (r) (xk)<br />
n=0<br />
k +θkr<br />
0 < θk < 1<br />
m<br />
<br />
k k +r<br />
,<br />
m m<br />
xk ∈<br />
(am aplicat formula <strong>de</strong> medie)<br />
Notăm<br />
C(m,r) = m[r]<br />
<br />
= 1−<br />
mr 1<br />
<br />
1−<br />
m<br />
2<br />
<br />
... 1−<br />
m<br />
r−1<br />
<br />
m<br />
<br />
f (r) (x)−(Bmf) (r) m−r<br />
(x) = pm−r,k(x)(f (r) (x)−f (r) (xk))+<br />
m−r <br />
k=0<br />
k=0<br />
m−r <br />
+[1−c(m,r)]<br />
k=0<br />
pm−r,k(x)f (r) (xk)<br />
pm−r,k(x)|f (r) (xk)| ≤ Mr(f) = sup |f<br />
x∈[0,1]<br />
(r) (x)|<br />
(1−a1)...(1−ar−1) ≥ 1−(a1 +···+ar−1)<br />
dacăa1,...,ar−1 ≤ 1 <strong>de</strong> acelas¸i semn<br />
Putem scrie<br />
C(m,r) ≥ 1−<br />
1+2+···+(r −1)<br />
m<br />
<br />
= 1−<br />
|f (r) (x)−(Bmf) (r) m−r<br />
(x)| ≤ pm−r,k(x)|f (r) (x)−f (r) (xk)|<br />
Fie<br />
k=0<br />
<br />
S<br />
Fm = {k||x−xk| ≤ δ}<br />
Jm = {k||x−xk| > δ}<br />
r(r −1)<br />
m<br />
+ r(r −1)<br />
2m Mr(f)
8.1. Operatorul lui Bernstein 113<br />
r fix, m → ∞<br />
S ≤ ε<br />
2<br />
<br />
pm−r,k(x)<br />
k∈Im<br />
<br />
≤1<br />
<br />
+2Mr(f) <br />
pm−r,k(x)<br />
n∈Jm<br />
<br />
S2<br />
≤ 1<br />
δn m−r<br />
(x−xk)<br />
n=0<br />
2 pm−r,k(x)<br />
<br />
<br />
|x−xk| < <br />
k <br />
x− <br />
r<br />
m−r +<br />
m<br />
<br />
1+ 2r<br />
<br />
1 r2<br />
+<br />
m 4(m−r) m2 <br />
1+ 2r<br />
<br />
Mr(f)<br />
m 2(m−r)δ 2+<br />
S2 ≤<br />
|f (r) (x)−(Bmf) (r) (x)| < ε<br />
2 +<br />
+ 2r2Mr(f) m2 r(r −1)<br />
+<br />
δ2 2m Mr(f)<br />
|f (r) (x)−(Bmf) (r) (x)| < ε<br />
m > Nε, ∀x ∈ [0,1]<br />
Să <strong>de</strong>monstrăm acum (8.1)<br />
p ′ <br />
m<br />
m,k (x) = k x<br />
k<br />
k−1 (1−x) m−k <br />
m<br />
−(m−k) x<br />
k<br />
k (1−x) m−k−1 =<br />
<br />
m−1<br />
= m x<br />
k −1<br />
k−1 (1−x) m−k <br />
m−1<br />
−m x<br />
k<br />
k (1−x) m−k−1 =<br />
= m[pm−1,k−1(x)−pm−1,k(x)]<br />
Presupunem relat¸ia a<strong>de</strong>vărată pentrur.<br />
Pentru r +1 avem<br />
<br />
(Bmf) (r+1) = m [r]<br />
m−r<br />
k=0<br />
= m [r] (m−r)<br />
<br />
= m [r+1]<br />
m−r<br />
k=0<br />
p ′ m−k,k (x)∆r <br />
k<br />
1 f<br />
m<br />
m<br />
<br />
<br />
m−r <br />
pm−r−1,k(x)<br />
k=0<br />
pm−r−1,k(x)∆ r 1 f<br />
m<br />
<br />
∆ r 1 f<br />
m<br />
<br />
k<br />
.<br />
m<br />
<br />
k +1<br />
m<br />
≤<br />
−∆ r <br />
k<br />
1 f<br />
m m
114 Operatori liniari s¸i pozitivi<br />
8.2 B-spline<br />
∆ : t0 ≤ t1 ≤ ··· ≤ tk ≤ a ≤ ··· ≤ b ≤ tn ≤ ··· ≤ tn+k<br />
multiplicitateari +1 ≤ k +1<br />
Foarte frecvent avem<br />
t0 = t1 = ··· = tk = a < tk+1 ≤ ··· ≤ tn−1 < b = tm = ··· = tn+k<br />
<br />
1 dacăx ∈ [ti,ti+1]<br />
Bi,0(x) =<br />
0 în caz contrar<br />
⎧<br />
⎨ x−ti<br />
dacăti < ti+k<br />
ωi,k(x) = ti+k −ti<br />
⎩<br />
0 în caz contrar<br />
(8.2)<br />
Bi,k(x) = ωi,k(x)Bi,k−1(x)+(1−ωi+1,k(x))Bi+1,k−1(x) (8.3)<br />
Bi,k(x) = (ti+k+1 −ti)[ti,...,ti+k+1,(·−x) k + ]<br />
Problema 8.2.1 Să se scrie expresia funct¸iilor B-spline <strong>de</strong> grad 3 cu nodurile<br />
{ti = i|i ∈ Z}<br />
Solut¸ie. Avem<br />
Bi,k(x) = Bj+l,k(x+l),<br />
s¸i <strong>de</strong>ci este suficient să <strong>de</strong>terminăm un singur spline.<br />
Bj,k(x) = ωi,k(x)Bi,k−1(x)+(1−ωi+1,k(x))Bi+1,k−1(x) =<br />
= x−i<br />
i+k −i Bi,k−1(x)+<br />
<br />
x−i−1<br />
1−<br />
i+1+k −i−1<br />
= x−i k +i+1−x<br />
Bi,k−1(x)+ Bi+1,k−1(x)<br />
k k<br />
Bj+l,k(x+l) =<br />
Bi+1,k−1(x) =<br />
x+l −j −l<br />
i+l+k −i−l Bi+l,k−1(x+l)+<br />
<br />
<br />
x+l−i−l −1<br />
1−<br />
Bi+l+1,k−1 =<br />
i+l +1+k −i−l−1<br />
= x−i<br />
k<br />
k −i−1−x<br />
Bi+l,k−1(x+l)− Bi+l+1,k−1(x+l)<br />
k<br />
B0,3(x) = ω0,3(x)B0,2(x)+(1−ω1,3(x))B1,2(x)) = 1<br />
3 [xB0,2(x)+(4−x)B1,2(x)]<br />
B0,2(x) = ω0,2(x)B0,1(x)+(1−ω1,2(x))B1,1(x) = 1<br />
2 [xB0,1(x)+(3−x)B1,1(x)]
8.2. B-spline 115<br />
B1,2(x) = ω1,2(x)B1,1(x)+(1−ω2,2(x))B2,1(x) = 1<br />
2 [(x−1)B1,1(x)+(4−x)B2,1(x)]<br />
B0,1(x) = xB0,0(x)+(2−x)B0,1(x)<br />
B1,1(x) = (x−1)B1,0(x)+(3−x)B2,0(x)<br />
B2,1(x) = (x−2)B2,0(x)+(4−x)B3,0(x)<br />
<br />
1 x ∈ [ti,ti+1)<br />
Bi,0(x) =<br />
<br />
0 în rest<br />
1 x ∈ [t0,t1) = [0,1)<br />
B0,0(x) =<br />
0 în rest<br />
<br />
1 x ∈ [1,2]<br />
B0,1(x) =<br />
0<br />
B3,3(x) = B0,3(x−3)<br />
⎧<br />
t<br />
⎪⎨<br />
B0,3(x) =<br />
⎪⎩<br />
3<br />
x ∈ [0,1)<br />
6<br />
Problema 8.2.2 Fie acum nodurile<br />
1<br />
6 (−3t3 +12t2 −12t+4) x ∈ [1,2)<br />
1<br />
6 (3t3 −24t2 +60t−44) 2 ≤ t < 3<br />
1<br />
6 (4−t)3 3 ≤ t < 4<br />
Să se <strong>de</strong>termine B-splinele Bi,k pentru k = 2 s¸i S∆f s¸i pentru f ∈ C 2 [0,3],<br />
R∆f.<br />
Solut¸ie. n+k = 7, n = 5<br />
n−1<br />
(S∆f)(x) = Bi,k(x)f(ξi)<br />
i=0<br />
ξi = ti+1<br />
Bi,2<br />
+···+ti+k<br />
k<br />
i = 0,n−1 i = 0,4<br />
x−ti<br />
ti+k−ti ωi,k(x) =<br />
dacăti<br />
0<br />
< ti+k<br />
în rest<br />
.
116 Operatori liniari s¸i pozitivi<br />
Bi,k(x) = ωi,k(x)Bi,k−1(x)+[1−ωi+1,k(x)]Bi+1,k−1(x)<br />
ω0,2(x) = x−t0<br />
= 0, ω0,1(x) = 0, ω1,2(x) = x, ω1,1(x) = 0<br />
t2 −t0<br />
ω2,2(x) = x<br />
2 , ω2,1(x) = x, ω3,2(x) = x−1<br />
, ω3,1(x) = x−1<br />
2<br />
ω4,2(x) = x−2, ω4,1(x) = x−2, ω5,2(x) = 0, ω5,1(x) = 0, ω6,1(x) = 0<br />
B0,2(x) = (1−x)B1,1, B1,1(x) = (1−x)B2,0<br />
B0,2(x) = (1−x) 2 <br />
2 (1−x) x ∈ [0,1)<br />
B2,0(x) =<br />
0 în rest<br />
B1,2(x) = ω1,2B1,1 +(1−ω2,2)B2,1 = xB1,1 + 2−x<br />
2 B2,1<br />
B2,1(x) = ω2,1B0,2 +(1−ω3,1)B0,3 = xB2,0 +(2−x)B3,0<br />
B1,2(x) = x(1−x)B2,0 + 2−x<br />
2 xB2,0 + (2−x)2<br />
B3,0<br />
⎧<br />
2<br />
⎨ x<br />
=<br />
⎩<br />
2− 3<br />
2x x ∈ [0,1)<br />
(x−2) 2<br />
x ∈ [1,2) .<br />
2<br />
0 în rest<br />
B2,2(x) = ω2,2B2,1 +(1−ω3,2)B3,1 = x<br />
2 B2,1 + 3−x<br />
2 B3,1<br />
B3,1(x) = ω3,1B3,0 +(1−ω4,1)B4,0 = (x−1)B3,0 +(3−x)B4,0<br />
B2,2 = x<br />
2 xB2,0 + x(2−x)<br />
B3,0 +<br />
2<br />
3−x<br />
(x−1)B3,0 +<br />
2<br />
(3−x)2<br />
⎧<br />
2<br />
⎪⎨<br />
x<br />
=<br />
⎪⎩<br />
2<br />
x ∈ [0,1)<br />
2<br />
x(2−x) (3−x)(x−1)<br />
+ x ∈ [1,2)<br />
2 2<br />
x ∈ [2,3)<br />
(3−x) 2<br />
2<br />
B4,0 =<br />
B3,2(x) = ω3,2B3,1 +(1−ω4,2);B4,1 = x−1<br />
2 B3,1 +(3−x)B4,1<br />
B4,1(x) = ω4,1B4,0 +(1−ω5,1);B5,0 = (x−2)B4,0<br />
B3,2(x) = x−1<br />
(x−1)B3,0 +<br />
2<br />
x−1<br />
(3−x)B4,0 +(3−x)(x−2)B4,0 =<br />
⎧<br />
2<br />
(x−1)<br />
⎨<br />
=<br />
⎩<br />
2<br />
x ∈ [1,2)<br />
2<br />
(3−x) <br />
x−1+2x−4 x ∈ [2,3)<br />
2<br />
0 în rest
8.2. B-spline 117<br />
Problema 8.2.3 Pentru oricek ≥ 0 s¸i oricex ∈ R,Bi,k este <strong>de</strong>rivabilă la dreapta<br />
s¸i avem<br />
B ′ <br />
Bi,k−1(x)<br />
i,k(x) = k −<br />
ti+k −ti<br />
Bi+1,k−1(x)<br />
<br />
ti+k−1 −ti+1<br />
cu convent¸ia că o expresie cu numitorul nul se înlocuies¸te cu 0.<br />
Demonstrat¸ie. Prin recurent¸ă dupăk, cazul k = 0<br />
Bi,k(x) = x−ti<br />
Bi,k−1(x)+<br />
ti+k −ti<br />
ti+k+1 −x<br />
Bi+1,k−1(x)<br />
ti+k+1 −ti+1<br />
în care <strong>de</strong>rivând s¸i aplicând ipoteza induct¸iei<br />
<br />
x−ti<br />
B ′ i,k = Bi,k−1<br />
−<br />
ti+k −ti<br />
Bi+1,k−1<br />
+(k−1)<br />
ti+k+1 −ti<br />
tik −ti<br />
Bi,k−2<br />
ti+k−1 −ti<br />
+ ti+k+1<br />
<br />
−x Bi+1,k−2<br />
−<br />
ti+k+1 −ti+1 ti+k −ti+1<br />
Bi+2,k−1<br />
<br />
ti+k+1 −ti+2<br />
<br />
=<br />
x−ti<br />
− Bi+1,k−2<br />
<br />
+<br />
ti+k −ti+1<br />
= Bi,k−1<br />
−<br />
ti+k −ti<br />
Bi+1,k−1<br />
+<br />
ti+k+1 −ti+1<br />
k −1<br />
tik −x<br />
Bi,k−2 + Bi+1,k−2<br />
ti+k −ti ti+k−1 −ti ti+k −ti+1<br />
<br />
k −1 x−ti+1<br />
−<br />
Bi+1,k−2 +<br />
ti+k+1 −ti+1 ti+k −ti+1<br />
ti+k+1<br />
<br />
−x<br />
Bi+2,k−2<br />
ti+k+1 −ti+2<br />
din care aplicând <strong>de</strong>finit¸ia luiBi,k−1 s¸i Bi+1,k−1 se obt¸ine rezultatul dorit.<br />
Problema 8.2.4<br />
∞<br />
−∞<br />
Bi,k(x)dx = 1<br />
k +1 (ti+k+1 −ti)<br />
Demonstrat¸ie. Presupunem căsuppBi,k ∈ [a,b]<br />
Bi,k > 0 pentrux ∈ [ti,ti+k+1)<br />
Fie diviziunea ∆ ′ obt¸inută din diviziunea init¸ială adăugând nodurile t−1 = t0<br />
s¸itn+k+1 = tn+k<br />
Consi<strong>de</strong>răm primitiva luiBi,k<br />
B(x) =<br />
x<br />
−∞<br />
Bi,k(t)dt<br />
Pe port¸iuni este polinomială, <strong>de</strong>ci ea va fi combinat¸ie liniară <strong>de</strong> B-spline.<br />
x<br />
−∞<br />
Bi,k(t)dt =<br />
n−1<br />
j=−1<br />
cjBj,k+1(x)<br />
<br />
−
118 Operatori liniari s¸i pozitivi<br />
pentrux ∈ [a,b]. Derivăm<br />
Deci<br />
Bi,k(x) =<br />
n−1<br />
j=−1<br />
<br />
Bj,k(x)<br />
cjk<br />
tj+k+1−tj<br />
− Bj+1,k(x)<br />
<br />
tj+k+1 −tj+1<br />
Deoarece Bi,k formează o bază avem sistemul<br />
⎧<br />
(k +1)(c2 −c1) = 0<br />
⎪⎨<br />
(k +1)(c3 −c2) = 0<br />
<br />
...<br />
c0 = ··· = ci−1 = 0<br />
⇔<br />
k(ci −ci−1) = 0<br />
⎪⎩<br />
...<br />
= 1<br />
k(ci+1 −ci) 1<br />
ti+k+1−ti<br />
x<br />
−∞<br />
Bi,k(x)dx = ti+k+1 −ti<br />
k +1<br />
pentrux ∈ [a,b] s¸i <strong>de</strong>ci pentru ti+k+1 ≤ x ≤ b<br />
x<br />
−∞<br />
ci = ··· = cn−1 = ti+k+1−ti<br />
k+1<br />
<br />
j≥i<br />
Bi,k(x)dx = ti+k+1 −ti<br />
.<br />
k +1<br />
Problema 8.2.5 Op spline cu variat¸ie diminuată????<br />
Solut¸ie.<br />
ξ2 = x0 +x1<br />
2<br />
ξ3 = x1 +x2<br />
2<br />
ξ4 = x2 +x3<br />
2<br />
= 1<br />
2<br />
= 1+2<br />
2<br />
= 2+3<br />
2<br />
3<br />
=<br />
2<br />
5<br />
=<br />
2<br />
Bj,k+1(x)<br />
ξ5 = x3 +x4<br />
= 3<br />
2<br />
<br />
1 3 5<br />
(S∆f)(x) = B1,3(x)f(0)+B2,3(x)f +B3,3(x)f +B4,3(x)f +B5,3(x)f(3) =<br />
2 2 2<br />
⎧<br />
⎨ B1,3(x)f(0)+B2,3(x)f<br />
=<br />
⎩<br />
<br />
1 +B3,3(x)f 2<br />
<br />
3 x ∈ [0,1) 2<br />
B2,3(x)f <br />
1<br />
+B3,3(x)f 2<br />
<br />
3<br />
+B4,3(x)f 2<br />
<br />
5<br />
x ∈ [1,2) 2<br />
B3,3(x)f <br />
3 +B4,3(x)f 2<br />
<br />
=<br />
5 +B5,3(x)f(3) x ∈ [2,3]<br />
2<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
(1−x)<br />
=<br />
⎪⎩<br />
2<br />
f(0)+ 2 1+2x−x2f<br />
2 <br />
1 x + 2<br />
2<br />
2 f <br />
3 x ∈ [0,1)<br />
2<br />
1+2x−x2 f 2 <br />
1 x + 2<br />
2<br />
2 f <br />
3 (x−1)<br />
+ 2<br />
2<br />
f 2 <br />
5 x ∈ [1,2)<br />
2<br />
(3−x) 2<br />
f 2 <br />
3 10x−2x<br />
+ 2<br />
2−11 f 2 <br />
5 (x−2)<br />
+ 2<br />
2<br />
f(3) x ∈ [2,3]<br />
2
8.3. Alt¸i operatori liniari s¸i pozitivi 119<br />
8.3 Alt¸i operatori liniari s¸i pozitivi<br />
Problema 8.3.1 (operatorul lui Fejer) Se obt¸ine din polinomul <strong>de</strong> interpolare<br />
Hermite cu noduri duble rădăcini ale polinomului Cebâs¸ev <strong>de</strong> spet¸a I, Tm+1.<br />
xk = cos<br />
(H2m+1)(x) =<br />
2k +1<br />
π k = 0,m<br />
2(m+1)<br />
m<br />
hk0(x)f(x)+<br />
k=0<br />
m<br />
hk1(x)f ′ (x)<br />
omit¸ând a doua sumă sau consi<strong>de</strong>rând echivalentf ′ (xk) = 0, k = 0,n<br />
Solut¸ie.<br />
(F2m+1)(x) =<br />
k=0<br />
m<br />
hk(x)f(xk)<br />
k=0<br />
<br />
Tm+1(x)<br />
hk(x) = hk0(x) = (1−xkx)<br />
(m+1)(x−xk)<br />
F2m+1((t−x) 2 ;x) =<br />
=<br />
F2m+1f ⇉ f pe [−1,1]<br />
F2m+1(1;x) = 1 x ∈ [−1,1]<br />
m<br />
<br />
Tm+1(x)<br />
(1−xkx)<br />
(m+1)(x−xk)<br />
n=0<br />
1<br />
(m+1) 2T2 m+1(x)<br />
m<br />
k=0<br />
2<br />
2<br />
(xk −x) 2 =<br />
(1−xkx) = 1<br />
m+1 T2 m+1(x) ≤ 1<br />
m+1<br />
căci m<br />
k=0 xk = 0.<br />
Deci,<br />
lim<br />
m→∞ F2m+1((t−x) 2 ;x) = 0 uniform pe [−1,1]<br />
Problema 8.3.2 (Operatorul lui Meyer-König s¸i Zeller) Fie B[0,1) spat¸iul liniar<br />
al funct¸iilor reale <strong>de</strong>finite s¸i mărginite pe[0,1).<br />
Se <strong>de</strong>fines¸te operatorul lui Meyer-König s¸i Zeller Mm : B[0,1) → C[0,1)<br />
pentru oricex ∈ [0,1] prin egalitatea<br />
(Mmf)(x) =<br />
m<br />
<br />
m+k<br />
x<br />
k<br />
k (1−x) m+1 <br />
k<br />
f<br />
m+k<br />
k=0
120 Operatori liniari s¸i pozitivi<br />
cu (Mmf)(1) = f(1).<br />
Să se arate că pentru oricef ∈ [0,1] avem<br />
lim<br />
m→∞ Mmf = f uniform pe orice interval <strong>de</strong> forma[0,a), 0 < a < 1.<br />
Solut¸ie.Mm liniar s¸i pozitiv<br />
(1−v) −α =<br />
∞<br />
<br />
α+k −1<br />
v<br />
k<br />
k<br />
k=0<br />
Punând α = m+1 s¸iv = x găsim<br />
Apoi<br />
=<br />
k=1<br />
k=0<br />
(|v| < 1)<br />
∞<br />
<br />
m+k<br />
x<br />
k<br />
k (1−x) m+1 = Mm(1;x) = 1<br />
Mm(t;x) =<br />
∞<br />
<br />
m+k<br />
k=1<br />
∞<br />
<br />
m+k −1<br />
x<br />
k −1<br />
k (1−x) m+1 = x<br />
T.B.P.K. ⇒ conv. uniformă<br />
k<br />
k<br />
m+k xk (1−x) m+1 =<br />
∞<br />
<br />
m+j<br />
x j (1−x) m+1 = x<br />
k=0<br />
x 2 ≤ Mm(t 2 ;x) ≤ x 2 + x(1−x)<br />
m+1<br />
Problema 8.3.3 (Operatorul lui Baskakov) Fie f : R → R mărginită s¸i operatorul<br />
∞<br />
<br />
m+k −1 x<br />
(Lmf)(x) =<br />
k<br />
k<br />
(1+x) m+kf<br />
<br />
k<br />
m<br />
k=0<br />
Să se arate că dacă f ∈ C[0,1] avem limm→∞Lmf = f uniform pe [0,a],<br />
0 < a < ∞.<br />
Solut¸ie. Lucrând cu seria binomială în care se iaα = n, v = x se obt¸ine 1+x<br />
Lm(1;x) = 1 Lm(t;x) = x<br />
Lm(t 2 ;x) = x 2 + x(x+1)<br />
m<br />
T.B.P.K. ⇒ conv. uniformă.<br />
j
8.3. Alt¸i operatori liniari s¸i pozitivi 121<br />
Problema 8.3.4 (Operatorul Favard-Szasz) Fie f : [0,∞) → R astfel încât<br />
lim f(x) = 0 s¸i a > 0 fixat. Să se arate că dacă f ∈ C[0,a] operatorii Favardx→∞<br />
Szasz <strong>de</strong>finit¸i prin<br />
are proprietatea<br />
uniform pe[0,a].<br />
(Lmf)(x) =<br />
∞ (mx) k<br />
e<br />
k!<br />
−mx f<br />
k=0<br />
lim<br />
m→∞ Lmf = f<br />
Solut¸ie. Pentru funct¸iile <strong>de</strong> probă1,t,t 2 avem<br />
T.B.P.K. ⇒ concluzia.<br />
Lm(1;x) = 1<br />
Lm(t;x) = x<br />
Lm(t 2 ;x) = x 2 + x(x+1)<br />
m<br />
<br />
k<br />
m
Capitolul 9<br />
Aproximarea funct¸ionalelor liniare<br />
X spat¸iu liniar,F1,...,Fm ∈ X # , F ∈ X #<br />
F,F1,...,Fm liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i<br />
Formula<br />
m<br />
F(f) = AiFi(f)+R(f) f ∈ X (9.1)<br />
i=1<br />
se numes¸te formulă <strong>de</strong> aproximare a funct¸ionalei F în raport cu funct¸ionalele<br />
F1,...,Fm.<br />
R(f) - termen rest<br />
DacăPr ⊂ X,max{r|KerR = Pr} se numes¸te grad <strong>de</strong> exactitate al formulei<br />
(9.1).<br />
9.1 Derivare numerică<br />
Formula <strong>de</strong> forma<br />
f (k) (α) =<br />
m<br />
AjFj(f)+R(f)<br />
j=0<br />
se numes¸te formulă <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivare numerică.<br />
Problema 9.1.1 Stabilit¸i formule <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivare numerică <strong>de</strong> tip interpolator cu 3,4<br />
s¸i 5 puncte în cazul nodurilor echidistante.<br />
Solut¸ie.<br />
x−x0<br />
= q<br />
h<br />
m<br />
(Lmf)(x) =<br />
i=0<br />
(−1) m−2 q<br />
i!(m−i)!<br />
[m+1]<br />
q −i f(xi)<br />
122
9.1. Derivare numerică 123<br />
(Rmf)(x) = hm+1 q [m+1]<br />
f ′ (x) ≈ (Lmf) ′ (x) = 1<br />
h<br />
(m+1)! f(m+1) (ξ) ξ ∈ (a,b)<br />
m (−1) m−i [m+1] d q<br />
f(xi)<br />
i!(m−i)! dq q −i<br />
i=0<br />
(Rmf) ′ (x) = hm+1<br />
(m+1)! f(m+1) (ξ) d<br />
dq qm+1 + hm+1 d<br />
q[m+1]<br />
(m+1)! dq f(m+1) (ξ)<br />
(Rmf) ′ (xi) = (−1) m−ihmi!(m−i)! (m+1)! f(m+1) (ξi)<br />
m = 2 (3 puncte)<br />
(L2f)(x) = 1<br />
2 f(x0)(q −1)(q −2)−f(x1)q(q −2)+ 1<br />
2 f(x2)q(q−1)<br />
(L2f) ′ (x) = 1<br />
<br />
1<br />
h 2 f(x0)(2q −3)−(2q−1)f(x1)+ 1<br />
2 f(x2)(2q−1)<br />
<br />
f ′ (x0) = 1<br />
1<br />
[−3f(x0)+4f(x1)−f(x2)]+<br />
2h 3 h2f ′′′ (ξ0)<br />
f ′ (x1) = 1 1<br />
[−f(x0)+f(x2)]−<br />
2h 6 h2f ′′′ (ξ1)<br />
f ′ (x2) = 1<br />
1<br />
[f(x0)−4f(x1)+3f(x2)]+<br />
2h 3 h2f ′′′ (ξ2)<br />
m = 3 4 puncte<br />
(L3f) ′ (x) = 1<br />
<br />
−<br />
h<br />
1<br />
6 f(x0)[(q −1)(q −2)(q−3)] ′ +<br />
+ 1<br />
2 f(x1)[q(q −2)(q−3)] ′ − 1<br />
2 f(x2)[q(q −1)(q−3)] ′ +<br />
+ 1<br />
6 f(x2)[q(q −1)(q−2) ′ <br />
]<br />
f ′ (x0) = 1<br />
h3<br />
[−11f(x0)+18f(x1)−9f(x2)+2f(x3)]−<br />
64 4 f(4) (ξ0)<br />
f ′ (x1) = 1<br />
h3<br />
[−2f(x0)−3f(x1)+6f(x2)−f(x3)]+<br />
6h 12 f(4) (ξ1)<br />
f ′ (x2) = 1<br />
h3<br />
[f(x0)−6f(x1)+3f(x2)+2f(x3)]−<br />
6h 12 f(4) (ξ2)<br />
f ′ (x3) = 1<br />
h3<br />
[−2f(x0)+9f(x1)−18f(x2)+11f(x3)]+<br />
6h 4 f(4) (ξ3)<br />
m = 4 (5 puncte)<br />
f ′ (x0) = 1<br />
h4<br />
[−25f(x0)+48f(x1)−36f(x2)+16f(x3)−3f(x4)]+<br />
12h 5 f(5) (ξ0)<br />
f ′ (x1) = 1<br />
h4<br />
[−3f(x0)−10f(x1)+18f(x2)−6f(x3)+f(x4)]−<br />
12h 20 f(5) (ξ1)<br />
f ′ (x2) = 1<br />
h4<br />
[f(x0)−8f(x1)+8f(x3)−f(x4)]+<br />
12h 30 f(5) (ξ2)
124 Aproximarea funct¸ionalelor liniare<br />
f(x3) = 1<br />
h4<br />
[−f(x0)+6f(x1)−18f(x2)+10f(x3)+3f(x4)]−<br />
12h 20 f(5) (ξ3)<br />
f(x4) = 1<br />
h4<br />
[3f(x0)−16f(x1)+36f(x2)−48f(x3)+25f(x4)]+<br />
124 4 f(5) (ξ4)<br />
Problema 9.1.2 Să se construiască o formulă <strong>de</strong> forma<br />
cu gradul <strong>de</strong> exactitater = 2.<br />
Solut¸ie. ⎧ ⎨<br />
Restul cu Peano x0 < x1<br />
f ′ (α) = A0f(x0)+A1f(x1)+(Rf)(α)<br />
⎩<br />
A0 +A1 = 0<br />
A0x0 +A1x1 = 1<br />
A0x2 0 +A1x2 1 = 2α<br />
⇒ A1 = −A0 =<br />
(Rf)(α) =<br />
x1 = 2α−x0<br />
x1<br />
x0<br />
1<br />
2(α−x0)<br />
K2(s)f ′′′ (s)ds<br />
K1(s) = (α−s)+ − (x1 −s) 2<br />
4(α−x0) =<br />
<br />
1 (s−x0)<br />
= −<br />
4(α−x0)<br />
2 s ≤ α<br />
(x1 −s) 2 ≤ 0<br />
s > α<br />
K2(s) ≤ 0, s ∈ [x0,x1], α > x0, f ∈ C 3 (x0,x1)<br />
(Rf)(α) = f ′′′ (ξ)<br />
x1<br />
x0<br />
2 (α−x0)<br />
K2(s)ds = −<br />
6<br />
f ′′′ (ξ ′ )<br />
f ′ 1<br />
(α−2)2<br />
(α) = − [2f(2α−2)−f(2)]− f<br />
2(α−2) 6<br />
′′′ (ξ)<br />
λ ∈ R, λ = α, α = x0 +x1<br />
2<br />
S-a obt¸inut o familie <strong>de</strong> formule <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivare numerică.<br />
Problema 9.1.3 Arătat¸i că<br />
f ′′ (x0) = 1<br />
h 2[f(x0 −h)−2f(x0)+f(x0 +h)]− h2<br />
12 f(4) (ξ)<br />
un<strong>de</strong>f ∈ C 4 [x0 −h,x0 +h], ξ ∈ (x0 −h,x0 +h)
9.1. Derivare numerică 125<br />
Solut¸ie. Se aplică formula lui Taylor<br />
f(x0 +h) = f(x0)+4f ′ (x0)+ 1<br />
2 h2 f ′′ (x0)+ 1<br />
6 f′′′ (x0)+ 1<br />
24 h4 f (4) (ξ1)<br />
f(x0 −h) = f(x0)−hf ′ (x0)+ 1<br />
2 h2 f ′′ (x0)− 1<br />
6 f′′′ (x0)+ 1<br />
24 h4 f (4) (ξ2)<br />
f(x0 +h)−f(x0 −h) = 2f(x0)+h 2 f ′′ (x0)+ 1<br />
24 [f(4) (ξ1)+f (4) (ξ2)]<br />
f ′′ (x0) = 1<br />
h 2[f(x0 +h)−2f(x0)+f(x0 −h)]− h2<br />
12 f(4) (ξ2)<br />
Problema 9.1.4 Stabilit¸i formula<br />
f ′ (x0) = 1<br />
24 [f(x0 +h)−f(x0 −h)]− h2<br />
6 f(3) (ξ), ξ ∈ (x0 −h,x0 +h)<br />
Solut¸ie. Cu Taylor<br />
Problema 9.1.5 (Aplicarea extrapolării Richardson) Pornind <strong>de</strong> la formula<br />
f ′ (x0) = 1<br />
24 [f(x0 +h)−f(x0 −2h)]− h2<br />
6 f′′′ (x0)− h4<br />
120 f(5) (ξ)<br />
obt¸inet¸i o formulăO(h 4 ) folosind extrapolarea Richardson.<br />
Solut¸ie. Să stabilim întâi formula <strong>de</strong> pornire<br />
+ 1<br />
f(x) = f(x0)−f ′ (x0)(x−x0)+ 1<br />
2 f′′ (x0)(x−x0) 2 +<br />
6 f′′′ (x0)(x−x0) 3 + 1<br />
24 f(4) (x0)(x−x0) 4 + 1<br />
120 f(5) (ξ)(x−x0) 5<br />
Scăzând <strong>de</strong>zvoltările lui f(x0 +h) s¸i f(x0 −h) obt¸inem<br />
f ′ (x0) = 1<br />
2h [f(x0 +h)−f(x0 −h)]− h2<br />
6 f′′′ (x0)− h4<br />
120 f(5)( ξ1), (9.2)<br />
Făcând în (9.2)h = 2h avem<br />
ξ ∈ (x0 −h,x0 +h)<br />
f ′ (x0) = 1<br />
4h [f(x0 +2h)−f(x0 −2h)]− 4h2<br />
6 f′′′ (x0)− 16h4<br />
120 f(5) ( ξ) (9.3)
126 Aproximarea funct¸ionalelor liniare<br />
4·(9.2)−(9.3) ⇒<br />
ξ ∈ (x0 −2h,x0 +2h)<br />
3f ′ (x0) = 2<br />
h [f(x0 +h)−f(x0 −h)]−<br />
− 1<br />
4h [f(x0 +2h)−f(x0 −2h)]− h4<br />
30 f(5) ( ξ)+ 2h4<br />
15 f(5) ( ξ)<br />
f ′ (x0) = 1<br />
12h [f(x0 −2h)−8f(x) −h)+8f(x0+h)−f(x0+h)]+ h4<br />
30 f(5) (ξ)<br />
(am obt¸inut o formulă cu 5 puncte).<br />
Problema 9.1.6 Pornind <strong>de</strong> la formula<br />
f ′ (x0) = 1<br />
h [f(x0 +h)−f(x0)]− h<br />
2 f′′ (x0)− h2<br />
6 f′′′ (x0)+O(h 3 )<br />
<strong>de</strong>ducet¸i o formulăO(h 3 ) folosind extrapolarea.<br />
Solut¸ie.<br />
f ′ (x0) = 1<br />
12h [f(x0 +4h)−18f(x0 +2h)+32f(x0 +h)−21f(x0)]+O(h 3 )<br />
Problema 9.1.7 Să presupunem că avem tabela <strong>de</strong> extrapolare<br />
N1(h)<br />
<br />
h<br />
N1<br />
N2(h) 2 <br />
h<br />
N3(h)<br />
N1<br />
4<br />
N2<br />
h<br />
2<br />
construită pentru a aproximaM cu formula<br />
M = N1(h)+K1h 2 +K2h 4 +K3h 6<br />
a) Arătat¸i că polinomul liniar <strong>de</strong> interpolare P0,1(h) ce trece prin punctele<br />
(h2 ,N1(h)) s¸i (h2 /4,N1(h/2))<br />
<br />
satisfaceP0,1(0) = N2(h).<br />
h<br />
La fel P1,2(0) = N2 , 2<br />
b) Arătat¸i că polinomul P0,2(h) ce trece prin (h4 <br />
h4 ,N2(h)) s¸i 16 ,N2<br />
<br />
h<br />
2<br />
<br />
satisfaceP0,2(0)<br />
= N3(h).<br />
Generalizare.
9.2. Formule <strong>de</strong> integrare numerică <strong>de</strong> tip Newton-Cotes 127<br />
9.2 Formule <strong>de</strong> integrare numerică <strong>de</strong> tip Newton-<br />
Cotes<br />
9.2.1 Formule Newton-Cotes închise<br />
Sunt formule care se obt¸in integrând termen cu termen formula <strong>de</strong> interpolare a<br />
lui Lagrange. Nodurile au forma<br />
Coeficient¸ii au expresia<br />
xk = a+kh, k = 0,m, h = b−a<br />
m .<br />
Ak = (−1) m−k<br />
h<br />
k!(m−k)!<br />
m<br />
0<br />
t [m+1]<br />
t−k dt<br />
Problema 9.2.1 Arătat¸i că o formulă <strong>de</strong> cuadratură cu m+1 noduri este <strong>de</strong> tip<br />
interpolator dacă s¸i numai dacă are gradul <strong>de</strong> exactitate cel put¸inm.<br />
Demonstrat¸ie. (⇒)imediată din expresia restului<br />
( ⇐ ) xj, j = 0,m, r ≥ m<br />
⎧ m<br />
Aj = b−a<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
j=0<br />
m<br />
j=0<br />
...<br />
m<br />
j=0<br />
Ajxj = 1<br />
2 (b2 −a 2 )<br />
Ajx m j = 1<br />
m+1 (bm+1 −a m+1 )<br />
(9.4)<br />
∆ = 0 (Van<strong>de</strong>rmon<strong>de</strong>) dacă xi = xj <strong>de</strong>ci (9.4) are solut¸ie unică.<br />
Dar (9.4) este satisfăcută pentruAj = b<br />
a lj(x)dx s¸i exactă pentru1,x,...,x m .<br />
Unicitatea ⇒ Aj = b<br />
a lj(x)dx.<br />
Problema 9.2.2 Să se aproximeze volumul butoiului cu diametrele D s¸i d s¸i înălt¸imea<br />
h.<br />
Solut¸ie. Vom aproxima conturul butoiului prin arce <strong>de</strong> parabolă.<br />
D −d<br />
y(x) = −2<br />
h2 <br />
x− h<br />
<br />
x+<br />
2<br />
h<br />
<br />
2<br />
+ d<br />
<br />
, x ∈<br />
2<br />
− h h<br />
,<br />
2 2<br />
<br />
.
128 Aproximarea funct¸ionalelor liniare<br />
Volumul obt¸inut prin rotat¸ia arcului y în jurul axeiOx este<br />
V = π<br />
h/2<br />
−h/2<br />
Valoarea exactă a integralei <strong>de</strong> mai sus este<br />
y 2 (x)dx.<br />
V = πh<br />
60 (8D2 +4Dd+3d 2 ).<br />
În practicăV se aproximează cu formula lui Simpson s¸i se obt¸ine:<br />
V ≈ πh 2 2<br />
d +2D<br />
12<br />
.<br />
Problema 9.2.3 Deducet¸i restul formulei lui Simpson<br />
R2(f) = − (b−a)5<br />
2880 fIV (ξ)<br />
Solut¸ie. Gradul <strong>de</strong> exactitate fiind r = 3 avem<br />
K2(t) = 1<br />
6<br />
⎪⎩<br />
R2(f) =<br />
b<br />
a<br />
K2(t)f IV (t)dt<br />
un<strong>de</strong><br />
K2(t) = 1<br />
<br />
(b−t)<br />
3!<br />
4<br />
−<br />
4<br />
b−a<br />
<br />
(a−t)<br />
6<br />
3 + +4<br />
<br />
a+b<br />
2 −t<br />
3 +(b−t)<br />
+<br />
3 <br />
+<br />
⎧<br />
(b−t)<br />
⎪⎨<br />
4<br />
−<br />
4<br />
b−a<br />
<br />
a+b<br />
4<br />
6 2 −t<br />
3 +(b−t) 3<br />
<br />
t ∈ a, a+b<br />
<br />
2<br />
9b−t) 4<br />
4<br />
− b−a<br />
6 (b−t)3<br />
Se verifică că pentrut ∈ [a,b], K2(t) ≤ 0<br />
R2(f) = 1<br />
4! fIV (ξ)R(e4) = 1<br />
= 1<br />
24 fIV (ξ)(b−a)<br />
<br />
24 fIV (ξ)<br />
<br />
b 5 −a 5<br />
b 4 +b 3 a+b 2 a 2 +ba 3 +b 4<br />
= − 4a4 +a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 +4b 4<br />
24<br />
5<br />
5<br />
− b−a<br />
6<br />
−<br />
<br />
= fIV (ξ)<br />
(b−a)<br />
24<br />
−a4 +4a3b−6a 2b2 +4ab3 −b4 120<br />
=<br />
t ∈<br />
<br />
a+b<br />
2 ,b<br />
<br />
<br />
a 4 <br />
a+b<br />
+4<br />
2<br />
= − (b−a)5<br />
2880 fIV (ξ)<br />
4<br />
+b 4<br />
<br />
=
9.2. Formule <strong>de</strong> integrare numerică <strong>de</strong> tip Newton-Cotes 129<br />
Problema 9.2.4 Deducet¸i formula lui Newton s¸i restul ei<br />
b<br />
f(x)dx = b−a<br />
<br />
2a+b a+2b<br />
f(a)+3f +3f<br />
8 3 3<br />
a<br />
R3(f) = − (b−a)5<br />
f<br />
648<br />
(4) (ξ)<br />
Solut¸ie. Este o formulă Newton-Cotes închisă pentru m = 3.<br />
Ak = (−1) m−k<br />
m<br />
h t<br />
k!(m−k)! 0<br />
[m+1]<br />
t−k dt<br />
A0 = A3 = (−1) 3b−a<br />
3<br />
1!<br />
(t−1)(t−2)(t−3)dt =<br />
3 0!3! 0<br />
b−a<br />
8<br />
A1 = A2 = (−1) 2b−a<br />
3<br />
1!<br />
t(t−2)(t−3)dt =<br />
3 1!2!<br />
3(b−a)<br />
8<br />
⎪⎩<br />
b<br />
0<br />
<br />
+f(b) +R3(f)<br />
R3(f) = K3(t)f<br />
a<br />
(4) (t)dt<br />
K3(t) = 1<br />
<br />
(b−t)<br />
3!<br />
4<br />
−<br />
4<br />
b−a<br />
<br />
(a−t)<br />
8<br />
3 <br />
+ 2a+b<br />
+3<br />
0 3 −t<br />
3 +<br />
+<br />
<br />
a+2b<br />
+3<br />
3 −t<br />
3 +(b−t)<br />
+<br />
3 <br />
+ =<br />
= 1<br />
⎧<br />
(b−t)<br />
⎪⎨<br />
3!<br />
4<br />
b−a − 4 8 (b−t)3 t ∈ a, 2a+b<br />
<br />
3<br />
(b−t) 4<br />
<br />
b−a<br />
− (b−t) 4 8<br />
3 +3 2a+b<br />
3 −t 3 <br />
t ∈ 2a+b<br />
, 3 a+2b<br />
<br />
3<br />
(b−t) 4<br />
<br />
b−a<br />
− (b−t) 4 8<br />
3 +3 2a+b<br />
3 −t 3 <br />
a+2b<br />
+ +3 3 −t <br />
3<br />
<br />
+3 a+2b<br />
3 −t 3<br />
t ∈ a+b<br />
3 ,b<br />
K3(t) ≤ 0<br />
R3(f) = 1<br />
4! f(4) (ξ)R(e4) = 1<br />
24 f(4) (ξ)R(e4)<br />
b<br />
R(e4) = x<br />
a<br />
4 dx− b−a<br />
<br />
a<br />
8<br />
4 4 <br />
2a+b a+2b<br />
+3 +3<br />
3 3<br />
= b5 −a5 <br />
b−a<br />
− a<br />
5 8<br />
4 + (2a+b)4<br />
+<br />
27<br />
(a+2b)4<br />
+b<br />
27<br />
4<br />
<br />
=<br />
<br />
b<br />
= (b−a)<br />
4 +ab3 +a2b2 +ab3 +a4 −<br />
5<br />
1<br />
8 a4 − 1<br />
8 b4− − (2a+b)4<br />
8·27<br />
− (a+2b)4<br />
8·27<br />
<br />
= b−a<br />
8·27·5 ·40(b−a)4<br />
4<br />
+b 4<br />
<br />
=
130 Aproximarea funct¸ionalelor liniare<br />
9.2.2 Formule Newton-Cotes <strong>de</strong>schise<br />
La aceste formule nodurile sunt echidistante<br />
xi = x0 +ih, i = 0,m, h = b−a<br />
m+2<br />
x0 = ah, xm = b−h<br />
x−1 = a, xm+1 = b<br />
Coeficient¸ii au expresia<br />
b<br />
Ai =<br />
a<br />
li(x)dx = (−1) m−i h<br />
i!(m−i)!<br />
m+1<br />
−1<br />
t [m+1]<br />
t−i dt<br />
Problema 9.2.5 Deducet¸i formula Newton-Cotes <strong>de</strong>schisă pentrum = 1.<br />
căci<br />
Solut¸ie.<br />
b−a<br />
2<br />
b<br />
a<br />
f(x)dx = A0f(x0)+A1f(x1)+R1(f)<br />
A0 = A1 = −h<br />
2<br />
R1(f) =<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
K1(t) =<br />
⎪⎩<br />
t(t−1)<br />
dt =<br />
t<br />
3h<br />
2<br />
−1<br />
b<br />
a<br />
(a−t) 2<br />
2<br />
(a−t) 2<br />
2<br />
(b−t) 2<br />
2<br />
K1(t)f ′′ (t)dt<br />
+ b−a<br />
2<br />
2a+b<br />
3 −t<br />
<br />
2a+b<br />
3 −t<br />
<br />
a+2b<br />
+<br />
3 −t<br />
<br />
=<br />
Se verifică că pentru oricet ∈ [a,b], K1(t) ≥ 0.<br />
Aplicând corolarul la teorema lui Peano obt¸inem<br />
= b−a<br />
2<br />
b<br />
a<br />
(x−t)dx<br />
R1(f) = 1<br />
2! f′′ (ξ)R(e2) =<br />
= 1<br />
2 f′′ b<br />
(ξ) x<br />
a<br />
3 dx− b−a<br />
2a+b 2 <br />
2<br />
a+2b<br />
+ =<br />
2 3 3<br />
= 1<br />
2 f′′ (ξ) b−a<br />
<br />
b<br />
3<br />
2 +ab+a 2 − 5a2 +8ab+5b 2<br />
=<br />
6<br />
= (b−a)3<br />
f<br />
36<br />
′′ (ξ) = 3h3<br />
4 f′′ (ξ).
9.2. Formule <strong>de</strong> integrare numerică <strong>de</strong> tip Newton-Cotes 131<br />
Problema 9.2.6 Aceeas¸i problemă pentrum = 2.<br />
Solut¸ie.<br />
b<br />
a<br />
−1<br />
b<br />
f(x)dx = A0f(x0)+A1f(x1)+A2f(x2)+R2(f)<br />
3<br />
A0 = A2 = h t(t−1)(t−2)<br />
dt =<br />
2 −1 t<br />
8h 8 b−a<br />
= ·<br />
3 3 4<br />
3<br />
t(t−1)(t−2)<br />
A1 = −h dt = −<br />
t−1<br />
4h<br />
= −b−a<br />
3 3<br />
R2(f) = K2(t)f<br />
a<br />
(4) (t)dt<br />
K2(t) = 1<br />
<br />
(b−t)<br />
3!<br />
4<br />
−<br />
4<br />
b−a<br />
<br />
3a+b<br />
2<br />
3 4 −t<br />
3 <br />
2a+2b a+3b<br />
− −t +2<br />
4 4 −t<br />
<br />
3<br />
K2(t) = 1<br />
6<br />
+<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
(a−t) 4<br />
4<br />
(a−t) 4<br />
4<br />
(b−t) 4<br />
4<br />
(b−t) 4<br />
4<br />
− 2(b−a)<br />
3<br />
− 2(b−a)<br />
3<br />
+<br />
3<br />
<br />
3a+b<br />
4 −t 3<br />
a+3b<br />
4 −t 3<br />
−<br />
+<br />
= 2(b−a)<br />
3<br />
t ∈ a, 3a+b<br />
<br />
4<br />
t ∈ 3a+b<br />
t ∈ a+b<br />
2<br />
, 4 a+b<br />
2<br />
, a+3b<br />
4<br />
t ∈ a+3b<br />
4 ,b <br />
Se verifică că K2(t) ≥ 0, t ∈ [a,b] s¸i aplicând corolarul la teorema lui Peano<br />
se obt¸ine<br />
R2(f) = 1<br />
4! f(4) (ξ)R(e4)<br />
R(e4) =<br />
b<br />
a<br />
x 4 dx− b−a<br />
3<br />
<br />
3a+b<br />
2<br />
4<br />
4<br />
<br />
2a+2b<br />
−<br />
4<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
a+3b<br />
+2 =<br />
4<br />
4 3 2 2 3 4<br />
b +ab +a b +a b+a<br />
= (b−a)<br />
−<br />
5<br />
148a4 +176a3b+120a 2b2 +176ab3 +148b4 <br />
=<br />
768<br />
= b−a<br />
5·768 ·28(b−a)4 = 7·4<br />
15·4·64 (b−a)5<br />
R2(f) = 14h5<br />
45 f(4) (ξ) = 14<br />
45<br />
b−a<br />
4<br />
5<br />
f (4) (ξ)
132 Aproximarea funct¸ionalelor liniare<br />
9.3 Alte formule <strong>de</strong> tip interpolator<br />
Problema 9.3.1 Obt¸inet¸i o formulă <strong>de</strong> cuadratură <strong>de</strong> forma<br />
b<br />
f(x)dx = A00f(a)+A10f(b)+A01f<br />
a<br />
′ (a)+A11f ′ (b)+R(f)<br />
b b<br />
(x−b)<br />
Solut¸ie.A00 = h00(x)dx =<br />
a a<br />
2<br />
(a−b) 3[3a−b−2x]dx<br />
b b<br />
(x−a)<br />
A10 = h10(x)dx =<br />
a a<br />
2<br />
(b−a) 3[3b−a−2x]dx<br />
A00 = A10 = b−a<br />
2 b<br />
A01 = −A10 = (x−a) (x−b)2 (b−a)2<br />
(a−b) 2dx<br />
=<br />
12<br />
b<br />
a<br />
R(f) = K3(t)f<br />
a<br />
(4) (t)dt<br />
K3(t) = 1<br />
<br />
(b−t)<br />
3!<br />
4<br />
−<br />
4<br />
b−a<br />
2 (a−t)3 b−a<br />
+ −<br />
2 (b−t)3 + −<br />
− (b−a)2<br />
·<br />
12<br />
3(a−t)2 +<br />
+<br />
0<br />
(b−a)2<br />
3(b−t)<br />
122<br />
2 <br />
+ =<br />
= 1<br />
4 (b−t)<br />
−<br />
3! 4<br />
b−a<br />
2 (b−t)3 + (b−a)2<br />
(b−t)<br />
4<br />
2<br />
<br />
=<br />
= (b−t)2<br />
[b<br />
4!<br />
2 −2bt+t 2 −2(b−a)(b−t)+(b−a) 2 ] =<br />
= (b−t)2<br />
4!<br />
(b−t) 2 (a−t) 2<br />
4!<br />
R3(f) =<br />
[b 2 − 2bt + t 2 − 2b 2 + 2bt + 2ab − 2at + b 2 − 2ab + a 2 ] =<br />
5 2! (b−a)<br />
f<br />
4! 5<br />
(4) (ξ), ξ ∈ [a,b]<br />
Problema 9.3.2 Generalizare pentrum = 1 s¸i r0 = r1 = s−1.<br />
Solut¸ie.<br />
b<br />
A0j =<br />
a<br />
b<br />
a<br />
s−1<br />
f(x)dx =<br />
h0j(x)dx =<br />
b<br />
a<br />
j=0<br />
[A0jf (j) (a)+A1jf (j) (b)]+R2s−1(f)<br />
s j x−b (x−a)<br />
a−b j!<br />
n−j <br />
<br />
n+ν x−a<br />
dx =<br />
ν b−a<br />
ν=0
9.3. Alte formule <strong>de</strong> tip interpolator 133<br />
b<br />
A1j =<br />
a<br />
h1j(x)dx =<br />
= s(s−1)...(s−j) (b−a)j+1<br />
·<br />
2s(2s−1)...(2s−j) (j +1)!<br />
b<br />
a<br />
s j x−a (x−b)<br />
b−a j!<br />
f ∈ C 2s [a,b] ⇒ R2s−1(f) =<br />
n−j <br />
<br />
n+ν x−b<br />
dx = (−1)<br />
ν a−b<br />
j A0j<br />
ν=0<br />
2 2s+1 s! (b−a)<br />
f<br />
(2s)! 2s+1<br />
(2s) (ξ)<br />
<br />
K2s−1 = (b−t)2s<br />
(2s)! −<br />
s−1<br />
A1j<br />
j=0<br />
= 1<br />
(2s)! (b−t)s (s−t) s<br />
(b−t) 2s−j−1<br />
(2s−j −1)! =<br />
K2s−1(t) are semn constant pe [a,b], iar f (2s) este continuă s¸i se poate aplica<br />
formula <strong>de</strong> medie sau corolarul la teorema lui Peano.<br />
Problema 9.3.3 Stabilit¸i o formulă <strong>de</strong> cuadratură <strong>de</strong> forma<br />
b<br />
a<br />
f(x)dx = Af ′ (a)+Bf(b)+R1(f)<br />
Solut¸ie. Pornim <strong>de</strong> la formula <strong>de</strong> interpolare <strong>de</strong> tip Birkhoff<br />
Integrând se obt¸ine<br />
f(x) = (x−b)f ′ (a)+f(b)+(R1f)(x)<br />
int b <br />
a−b<br />
af(x)dx = (b−a)<br />
2 f′ <br />
(a)+f(b) +R1(f)<br />
Pentru rest se aplică teorema lui Peano s¸i se ajunge în final la<br />
R1(f) = − (b−a)3<br />
f<br />
3<br />
′′ (ξ), ξ ∈ [a,b].<br />
Problema 9.3.4 Deducet¸i o formulă <strong>de</strong> cuadratură integrând formula <strong>de</strong> aproximare<br />
a lui Bernstein.
134 Aproximarea funct¸ionalelor liniare<br />
Solut¸ie.<br />
m<br />
<br />
k<br />
f(x) = pm,k(x)f +Rn(f)<br />
m<br />
k=0<br />
1 m<br />
1 1<br />
k x(1−x)<br />
f(x)dx = pm,k(x)dxf −<br />
0<br />
k=0<br />
0 m 0 2m f′′ (ξ)dx<br />
1 1<br />
m<br />
pm,k(x)dx = x<br />
0 k 0<br />
k (1−x) m−k dx =<br />
<br />
m<br />
= B(k +1,m−k +1) =<br />
k<br />
k!(m−k)! m! 1<br />
· =<br />
(m+1)! k!(m−k)! m+1<br />
R(f) = − f′′ 1<br />
(ξ)<br />
x(1−x)dx = −<br />
2m 0<br />
f′′ 2 (ξ) x x3<br />
−<br />
2m 2 3<br />
1 <br />
= −<br />
0<br />
1<br />
12m f′′ (ξ)<br />
1<br />
f(x)dx = 1<br />
m<br />
<br />
k<br />
f −<br />
m+1 m<br />
1<br />
12m f′′ (ξ)<br />
0<br />
k=0<br />
Observat¸ia 9.3.5 Se pot folosi funct¸iile lui EulerB s¸i Γ:<br />
Observat¸ia 9.3.6 Formule repetate<br />
Problema 9.3.7 Calculat¸i I =<br />
1<br />
Bρ,ν = x<br />
0<br />
ρ−1 (1−x) ν−1 dx<br />
B(ρ,ν) = Γ(ρ)Γ(ν)<br />
Γ(ρ+ν)<br />
1<br />
Solut¸ie. Folosim formula Simpson repetată<br />
max<br />
x∈[0,1] |f(4) (x)| = 24<br />
|Rn(f)| ≤ 24 1<br />
=<br />
2880n4 <br />
120n<br />
3<br />
3 10<br />
n = +1 = 2<br />
120<br />
0<br />
dx<br />
1+x cu preciziaε = 10−3 .<br />
4 ≤ 10−3<br />
I ≈ ln2 = 1<br />
<br />
f(0)+f(1)+2f<br />
12<br />
<br />
1<br />
+4 f<br />
2<br />
<br />
1<br />
+f<br />
4<br />
<br />
3<br />
=<br />
4
9.3. Alte formule <strong>de</strong> tip interpolator 135<br />
= 1<br />
<br />
1+<br />
12<br />
1 4<br />
+<br />
2 3 +4<br />
<br />
4 4<br />
+ .<br />
5 7<br />
Problema 9.3.8 Deducet¸i formula repetată a lui Newton.<br />
b<br />
f(x)dx = b−a<br />
<br />
n−1<br />
f(a)+f(b)+2 f(xi)+<br />
8n<br />
a<br />
n−1<br />
<br />
2xi +xi+1<br />
n−1<br />
+3 f +3 f<br />
3<br />
i=0<br />
i=0<br />
xi +2xi+1<br />
3<br />
i=1<br />
<br />
Problema 9.3.9 (Semnul nucleului lui Peano în FNC închise)<br />
− (b−a)5<br />
648n 4 f(4) (ξ)<br />
Fie f ∈ Cn+2 [−1,1] s¸i τj = −1 + 2j<br />
, j = 0,n n+1 puncte echidistante<br />
n<br />
pe[−1,1] cu pasulh = 2<br />
n .<br />
1 ◦ Arătat¸i că<br />
a) pentruj = 0,n, lim<br />
x→τj<br />
x=τj<br />
[τ0,...,τn,x;f] există<br />
b) pentru orice x ∈ [−1,1], d<br />
dx [τ0,...,τn,x;f] are sens s¸i că există ξx ∈<br />
[−1,1] astfel încât<br />
d<br />
dx [τ0,...,τn,x;f] = f(n+2) (ξx)<br />
(n+2)!<br />
2 ◦ Arătat¸i că eroarea <strong>de</strong> integrare numerică a funct¸ieif prin FNCî în punctele<br />
τ0,τ1,...,τn este dată <strong>de</strong><br />
Rn(f) =<br />
3 ◦ Punem w(x) =<br />
x<br />
1<br />
−1 j=0<br />
−1 j=0<br />
n<br />
(x−τj)[τ0,τ1,...,τn,x;f]dx<br />
n<br />
(t − tj)dt s¸i Ik = w(τk+1) − w(τk) pentru k =<br />
0,n−1<br />
a) Presupunem n par (n = 2m); arătat¸i că Ik este un s¸ir alternant, <strong>de</strong>screscător<br />
în valoare absolută; <strong>de</strong>ducet¸i că w(x) păstrează un semn constant pe<br />
[−1,1] cu w(1) = w(−1) = 0. Arătat¸i că existăη ∈ [−1,1] astfel încât<br />
Rn(f) = hn+3<br />
(n+2)! f(n+2) m<br />
(η) s<br />
−m<br />
2 (s 2 −1)...(s 2 −m 2 )ds
136 Aproximarea funct¸ionalelor liniare<br />
b) Presupunem n impar (n = 2m + 1). Reluând <strong>de</strong>monstrat¸ia prece<strong>de</strong>ntă s¸i<br />
<strong>de</strong>scompunând[−1,1] în două subintervale[−1,τn−1] s¸i [τn−1,τn] <strong>de</strong>ducet¸i că<br />
Rn(f) = hn+2<br />
(n+1)! f(n+1) (η)<br />
cu η ∈ [−1,1].<br />
m+1<br />
s(s<br />
−m<br />
2 −1 2 )(s 2 −2 2 )...(s 2 −m 2 )(s−m−1)ds<br />
Solut¸ie. 1◦ este imediată din <strong>de</strong>finit¸ia diferent¸ei divizate cu noduri multiple s¸i<br />
formula <strong>de</strong> medie pentru diferent¸e divizate.<br />
2◦ Rn(f) =<br />
1<br />
−1<br />
[f(x)−Ln(x)]dx =<br />
1<br />
−1 i=0<br />
3 ◦ a)n = 2m. Prin simetriew(−1) = w(1). Avem<br />
τk+1<br />
Ik =<br />
τk<br />
n<br />
(x−τi)[τ0,...,τn,x;f]dx<br />
un(t)dt<br />
s¸i <strong>de</strong>ci (−1) kIk > 0. <br />
<br />
Cum |un(t + h)| = |un(t)| <br />
t+1+h <br />
<br />
t−1 < un(t) dacă t ∈ [τ0,τ0 − 1) avem<br />
|Ik| > |Ik+1| pentru k ≤ m − 1 <strong>de</strong>ci w(τk) = I0 + I1 + ··· + Ik−1 are semnul<br />
lui I0 pentru k = 0,...,m s¸i prin simetrie s¸i pentru alte valori k ≤ 2m; dacă<br />
x ∈ [τk,τk+1]<br />
w(τk) < w(x) < w(τk+1)<br />
căci w ′ (x) = un(x) păstrează semn constant, <strong>de</strong>ci pentru orice x ∈ [−1,1],<br />
w(x) ≥ 0 (semnul luiI0).<br />
Integrând prin părt¸i<br />
după formula <strong>de</strong> medie<br />
Rn(f) =<br />
cum 1<br />
w(x)dx =<br />
−1<br />
1<br />
−1<br />
un[τ0,...,τn,x;f]dx =<br />
1<br />
= − w(x)[τ0,...,τn,x;f]dx<br />
−1<br />
Rn(f) = −[τ0,τ1,...,τn,η,η]<br />
1<br />
−1<br />
1<br />
−1<br />
w(x)dx<br />
1<br />
(1−t)un(t)dt = − tun(t)dt =<br />
−1
9.3. Alte formule <strong>de</strong> tip interpolator 137<br />
= −h n+3<br />
m<br />
<strong>de</strong>ci nucleul are semn constant.<br />
b)n = 2m+1<br />
t<br />
−m<br />
2 (t 2 −1)...(t 2 −m 2 ),<br />
w(x) =<br />
x<br />
−1<br />
u2m(t)dt<br />
analog ca la a).<br />
w(−1) = w(τ2m) = 0 s¸i w(x) ≥ 0 pe[−1,τ2m]<br />
Avem<br />
[τ0,τ1,...,τn,x;f] = [τ0,τ1,...,τn,x;f](x−1)u2m(x) =<br />
= ([τ0,...,τn−1,x]−[τ0,...,τn−1,τn;f])u2m(x)<br />
se <strong>de</strong>duce<br />
τ2m<br />
(f(x)−pn(x))dx =<br />
−1<br />
τ2m<br />
τ2m<br />
−1<br />
[τ0,...,τn−1,x;f]dx =<br />
τ2m<br />
= −f[τ0,...,τn−1,η,η] w(x)dx<br />
−1<br />
La fel un fiind negativ pe[τ2m,1],<br />
1<br />
(f(x)−on(x)) = −[τ0,...,τn,η ′ <br />
<br />
1 <br />
;f] <br />
w(x)dx<br />
<br />
Utilizând teorema <strong>de</strong> medie pentru integrale s¸i formula <strong>de</strong> medie pentru diferent¸e<br />
divizate se obt¸ine că<br />
Rn(f) = cnf (n+1) (ξ)<br />
Luând f = un se obt¸ine<br />
1<br />
−1<br />
τ2m<br />
un(x)dx = Rn(un) = cn(n+1)!<br />
Problema 9.3.10 Arătat¸i că pentru f ∈ Cm+2 [a,b] restul în formula <strong>de</strong> cuadratură<br />
Newton-Cotes închisă este dat <strong>de</strong><br />
pentrumpar s¸i<br />
pentrumimpar.<br />
Rm(f) = hm+3 f (m+2) (ξ)<br />
(m+2)!<br />
Rm(f) = hm+2 f (m+1) (ξ)<br />
(m+1)!<br />
m<br />
0<br />
m<br />
0<br />
tt [m+1] dt, ξ ∈ (a,b)<br />
t [m+1] dt, ξ ∈ (a,b)
138 Aproximarea funct¸ionalelor liniare<br />
Solut¸ie.a = x0, xi = x0 +ih, i = 0,m, xm = b<br />
ϕm+1(x) = h m+1<br />
ϕm+1(x) =<br />
m<br />
i=0<br />
m<br />
(x−xi)<br />
i=0<br />
x = x0 +th<br />
(t−i) = h m+1 ψm+1(t) = h m+1 t [m+1]<br />
Lema 9.3.11 a) ϕm+1(xm/2 +σ) = (−1) m+1 ϕm+1(xm/2 −σ) un<strong>de</strong> xm<br />
2 = x0 +<br />
m<br />
2 h.<br />
b) De asemenea pentrua < σ +h < xm<br />
2<br />
s¸i pentruxm<br />
2<br />
Demonstrat¸ie.<br />
ψm+1<br />
ψm+1<br />
< σ < b, σ = xi,<br />
ψm+1<br />
ψm+1<br />
s¸i σ = xi<br />
|ϕm+1(σ +h)| < |ϕm+1(σ)|<br />
|ϕm+1(σ)| < |ϕm+1(σ +h)|<br />
ψm+1(t) = t [m+1]<br />
<br />
m<br />
2 −s<br />
<br />
m<br />
= ψm+1<br />
2 +s<br />
<br />
pentrumimpar<br />
<br />
m<br />
2 −s<br />
<br />
m<br />
= −ψm+1<br />
2 +s<br />
<br />
pentru m par<br />
<br />
m<br />
2 −s<br />
<br />
m<br />
=<br />
2 −s<br />
<br />
m<br />
2 −s−1<br />
<br />
m<br />
...<br />
2 −s−m<br />
<br />
<br />
m<br />
2 +s<br />
<br />
m<br />
=<br />
2 +s<br />
<br />
m<br />
2 +s−1<br />
<br />
m<br />
...<br />
2 +s−m<br />
<br />
ϕm+1(xm<br />
2 +σ) = hm+1 <br />
m<br />
ψ<br />
= (2s+m)(2s+m−2)...(2s−m)<br />
2 m<br />
(9.5) ⇒ (2s−m)(2s−m+2)...(2s+m)<br />
2m (−1) m+1<br />
2 +σ<br />
<br />
= (−1) m+1 h m+1 <br />
m<br />
ψ<br />
2 −σ<br />
<br />
b)0
9.3. Alte formule <strong>de</strong> tip interpolator 139<br />
Definim<br />
= |t+1|<br />
|t−m| =<br />
m<br />
2<br />
φm+1(x) =<br />
t+1<br />
(m+1)−(t+1) ≤<br />
< t+1 < m ψm+1(t)<br />
ψ(t)<br />
x<br />
a<br />
ϕm+1(σ)dσ =<br />
m<br />
2<br />
(m+1)− m<br />
2<br />
> 1<br />
x<br />
h<br />
a<br />
m+1 σ [m+1] dσ<br />
Lema 9.3.12 Dacă m este par φm+1(a) = φm+1(b) = 0 s¸i φm+1(x) > 0 pentru<br />
a < x < b.<br />
Demonstrat¸ie. Pentru m par φm+1 este o funct¸ie impară în raport cu xm<br />
2 conform<br />
părt¸ii L1 ⇒ φm+1(b) = 0<br />
ϕm+1(x) < 0 pentru x < a căci m+1 este par,<br />
ϕm+1(x) > 0 pentru a < x < x1 ⇒ φm+1(x) > 0 pentru a < x ≤ x1.<br />
În [x1,x2], |ϕm+1(x)| < |ϕm+1(x − h)| în [x0,x1]. Schimbând variabila <strong>de</strong><br />
integrare se observă că<br />
<br />
x2 <br />
<br />
ϕm+1(x)dx<br />
<<br />
<br />
x1 <br />
<br />
ϕm+1(x)dx<br />
<br />
x1<br />
Astfelφm+1(x) > 0 pentrua < x < x2 s¸i prin acelas¸i rat¸ionamentφm+1(x) ><br />
0 pentrua < x < xm<br />
2 . Se utilizează apoi antisimetria luiϕn+1 în raport cu xm<br />
2 .<br />
Rm(f) =<br />
b<br />
Integrăm prin părt¸i<br />
a<br />
[f(x)−(Lmf)(x)] =<br />
Rm(f) =<br />
b<br />
−<br />
= −<br />
b<br />
a<br />
x0<br />
b<br />
a<br />
< 1<br />
ϕm+1(x)[x0,...,xm,x;f]dx<br />
d<br />
dx φm+1(x)[x0,...,xm,x;f]dx =<br />
<br />
<br />
= φm+1(x)[x0,...,xm,x;f]<br />
c<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
φm+1(x) d<br />
dx [x0,...,xm,x;f]dx =<br />
φm+1(x) d<br />
dx [x0,...,xm,x;f]dx =
140 Aproximarea funct¸ionalelor liniare<br />
b<br />
= −<br />
a<br />
= −f(m+2) (α)<br />
(m+2)!<br />
φm+1(x) f(m+2) (ξx)<br />
dx =<br />
(m+2)!<br />
b<br />
Integrând din nou prin părt¸i se obt¸ine<br />
b<br />
a<br />
a<br />
φm+1(x)dx = −<br />
Luândx = x0 +sh s¸i utilizând lema 2<br />
φm+1(x)dx a < α < b<br />
b<br />
Rm(f) = f(m+2) (ξ)<br />
(m+2)! hm+3<br />
a<br />
xϕn+1(x)dx > 0<br />
m<br />
0<br />
sψm+1(s)ds < 0<br />
Deoarece f (m+2) (ξ) = 0 când f ∈ Pm+1 ⇒ r = m+1 pentrumpar.<br />
Cazul m impar<br />
Rm(f) =<br />
b−h<br />
a<br />
ϕm+1(x)[x0,...,xm,x;f]dx+<br />
b<br />
+ ϕm+1(x)[x0,...,xm,x;f]dx<br />
b−h<br />
ϕm+1(x) = ϕm(x)(x−xm)<br />
Deci b−h<br />
ϕm+1(x)[x0,...,xm,x;f]dx =<br />
=<br />
b−h<br />
a<br />
a<br />
dφm<br />
dx ([x0,...,xm−1,x;f]−[x0,...,xm;f])dx<br />
m impar ⇒ φm(b−h) = 0. Integrând prin părt¸i se obt¸ine<br />
b−h<br />
a<br />
= − f(m+1) (ξ ′ )<br />
(m+1)!<br />
Aplicăm Teorema 1 <strong>de</strong> medie<br />
− f(m+1) (ξ ′′ )<br />
(m+1)!<br />
φm+1(x)[x0,...,xm,x;f]dx =<br />
b−h<br />
φm(x)dx = Kf<br />
a<br />
(m+1) (ξ ′ )<br />
a < ξ ′ < b−h<br />
b<br />
ϕm+1(x)dx = Lf<br />
b−h<br />
(m+1) (ξ ′′ )
9.4. Cuadraturi repetate. Metoda lui Romberg 141<br />
Astfel<br />
Rf = Kf (m+1) (ξ ′ )+Lf (m+1) (ξ ′′ )<br />
Deoarece K < 0 s¸i L < 0, Rf = (K + L)f (n+1) (ξ) pentru ξ ∈ (ξ ′ ,ξ ′′ ).<br />
Deoarece<br />
ϕn+1(x) = d<br />
dx φn(x)(x−b)<br />
integrarea prin părt¸i ne dă<br />
K +L = In.<br />
9.4 Cuadraturi repetate. Metoda lui Romberg<br />
Se vor utiliza formulele<br />
Rk,1 = 1<br />
⎡<br />
2<br />
⎣Rk−1,1 +hk−1<br />
2k−2 <br />
i=1<br />
f<br />
<br />
a+ i− 1<br />
<br />
hk−1<br />
2<br />
⎤<br />
⎦, k = 2,n<br />
Rk,j = 4j−1Rk,j−1−Rk−1,j−1 4j−1 , k = 2,n<br />
−1<br />
R1,1 = h1 b−a<br />
[f(a)+f(b)] =<br />
2 2 [f(a)+f(b)]<br />
hk = hk−1<br />
2<br />
= b−a<br />
2 k−1<br />
Problema 9.4.1 Aproximat¸i π<br />
0 sinxdx prin metoda lui Romberg, ε = 10−2 .<br />
Solut¸ie.<br />
I =<br />
π<br />
0<br />
sinxdx = 2<br />
R1,1 = π<br />
(0+0) = 0<br />
2<br />
R2,1 = 1<br />
<br />
R1,1 +πsin<br />
2<br />
π<br />
<br />
= 1.571<br />
2<br />
R2,2 = 1.571+(1,571−0)/3 = 2.094<br />
R3,1 = 1<br />
<br />
R2,1 +<br />
2<br />
π<br />
2<br />
(R2,2 −R1,1) > 0.01<br />
<br />
sin π 3π<br />
+sin<br />
4 4<br />
<br />
= 1.895
142 Aproximarea funct¸ionalelor liniare<br />
R3,2 = 1,895+ 1.895−1.571<br />
= 2.004<br />
3<br />
R3,3 = 2.004+(2.004−2.094)/15 = 1.999<br />
|R3,3 −R2,2| < 0.1<br />
Pentru trapez cu acelas¸i număr <strong>de</strong> argumenteI ≈ 1,895<br />
Pentru Simpson cu 4 noduriI ≈ 2.005<br />
9.5 Formule <strong>de</strong> cuadratură <strong>de</strong> tip Gauss<br />
Vom consi<strong>de</strong>ra formule <strong>de</strong> cuadratură <strong>de</strong> forma<br />
b<br />
m<br />
w(x)f(x)dx = Akf(xk)+Rm(f)<br />
a<br />
k=1<br />
Coeficient¸iiAk s¸i nodurilexk se <strong>de</strong>termină din sistemul neliniar<br />
⎧<br />
A1 +A2 +...+Am = µ0<br />
un<strong>de</strong>µk =<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
b<br />
a<br />
A1x1 +A2x2 +···+Amxm<br />
...<br />
A1x m−1<br />
1 +A2x m−1<br />
2 +···+Amx m−1<br />
m<br />
...<br />
A1x 2m−1<br />
1 +A2x 2m−1<br />
2 +···+Amx 2m−1<br />
m<br />
= µ1<br />
w(x)x k dx sunt momentele funct¸iei pon<strong>de</strong>rew.<br />
= µm−1<br />
= µ2m−1<br />
Nodurile xk, k = 1,m vor fi rădăcinile polinomului u <strong>de</strong> grad m, ortogonal<br />
pePm−1 relativ la pon<strong>de</strong>reaw s¸i intervalul[a,b].<br />
Pentru coeficient¸i avem expresia<br />
Ak =<br />
[v ′ k<br />
1<br />
(xk)] 2<br />
b<br />
un<strong>de</strong>vk(x) = u(x)<br />
, iar pentru rest<br />
x−xk<br />
Rm(f) = f(2m) (ξ)<br />
(2m)!<br />
a<br />
b<br />
a<br />
w(x)v 2 k (x)dx, k = 1,m<br />
w(x)u 2 (x)dx, ξ ∈ [a,b]<br />
Dacă w(x) ≡ 1, atunciueste polinomul Legendre <strong>de</strong> grad m<br />
u(x) = m! d<br />
(2m)!<br />
m<br />
dxm[(x−a)m (x−b) m ]
9.5. Formule <strong>de</strong> cuadratură <strong>de</strong> tip Gauss 143<br />
iar coeficient¸ii s¸i restul au expresiile<br />
s¸i respectiv<br />
(m!)<br />
Ak =<br />
4 (b−a) 2m+1<br />
[(2m)!] 2 (xk −a)(b−xk)[v ′ k<br />
Rm(f) = (m!)4<br />
[(2m)!] 3<br />
(xk)] 2, k = 1,m<br />
(b−a) 2m+1<br />
f<br />
2m+1<br />
(2m) (ξ), ξ ∈ [a,b]<br />
Problema 9.5.1 Stabilit¸i o formulă <strong>de</strong> cuadratură <strong>de</strong> tip Gauss în cazulw(x) ≡ 1<br />
s¸im = 3.<br />
Solut¸ie. Polinomul Legendre <strong>de</strong> grad 3 corespunzând intervalului[−1,1] este<br />
P3(t) = 1<br />
2 (5t3 −3t)<br />
cu rădăcinile <br />
3<br />
t1 = −<br />
5 , t2 = 0, t3 =<br />
Coeficient¸ii sunt solut¸iile sistemului<br />
⎧<br />
⎪⎨ A1 +A2 +A3 <br />
= 2<br />
3 −<br />
⎪⎩<br />
5A1 <br />
3 + 5A3 = 0<br />
Pentru rest se obt¸ine<br />
3<br />
5 A1 + 3<br />
5 A2 = 2<br />
3<br />
A1 = A3 = 5<br />
9 A2 = 8<br />
9<br />
R3(f) = (3!)4<br />
(6!) 3<br />
3<br />
5<br />
(b−a) 7<br />
f<br />
7<br />
(6) (ξ)<br />
Trecerea <strong>de</strong> la[−1,1] la[a,b] se poate face prin schimbarea <strong>de</strong> variabilă<br />
b<br />
a<br />
x = b+a b−a<br />
+<br />
2 2 t<br />
f(x)dx = b−a<br />
1 <br />
b+a b−a<br />
f +<br />
2 −1 2 2 t<br />
<br />
dt<br />
b<br />
f(x)dx ≈ b−a<br />
m<br />
Aif(xi)<br />
2<br />
a<br />
un<strong>de</strong> xi = b+a b−a<br />
+<br />
2 2 t2, ti fiind rădăcinile polinomului Legendre corespunzător<br />
intervalului[−1,1].<br />
i=1
144 Aproximarea funct¸ionalelor liniare<br />
Problema 9.5.2 Aproximat¸i ln2 cu două zecimale exacte folosind o formulă gaussiană<br />
repetată.<br />
n = 5<br />
Solut¸ie.<br />
ln2 =<br />
2<br />
1<br />
dx<br />
x<br />
Vom folosi formula repetată a dreptunghiului<br />
2<br />
1<br />
b<br />
a<br />
f(x)dx = b−a<br />
n<br />
n<br />
i=1<br />
M2f = 2 ξ ∈ (a,b)<br />
f(xi)+ (b−a)3<br />
f<br />
3<br />
′′ (ξ)<br />
|Rn(f)| ≤ 1<br />
24n2M2f = 1 1<br />
<<br />
12n2 2 ·10−2 ⇒ 6n 2 ≥ 100<br />
dx<br />
x<br />
<br />
1<br />
≈<br />
5<br />
1<br />
1+ 1<br />
10<br />
= 1<br />
<br />
10<br />
5 11<br />
= 2<br />
+ 1<br />
1+ 3<br />
10<br />
+ 1<br />
1+ 5<br />
10<br />
+ 1<br />
1+ 7<br />
10<br />
10 10 10 10<br />
+ + + +<br />
13 15 17 19<br />
<br />
1 1 1 1 1<br />
+ + + +<br />
11 13 15 17 19<br />
<br />
=<br />
<br />
+ 1<br />
1+ 9<br />
<br />
=<br />
10<br />
Problema 9.5.3 Determinat¸i o formulă cu grad <strong>de</strong> exactitate cel put¸in doi pentru<br />
a aproxima ∞<br />
e −x f(x)dx<br />
în ipoteza că integrala improprie există.<br />
0<br />
Solut¸ie. Polinoamele ortogonale pe[0,∞) relativ la pon<strong>de</strong>reaw(t) = e −t sunt<br />
polinoamele lui Laguerre<br />
gn(t) = et d<br />
n!<br />
n<br />
dtn(tn e −t )<br />
g2(t) = t 2 −4t+2<br />
cu rădăcinilet1 = 2− √ 2,t2 = 2+ √ 2.
9.5. Formule <strong>de</strong> cuadratură <strong>de</strong> tip Gauss 145<br />
=<br />
Momentele funct¸iei pon<strong>de</strong>re sunt<br />
∞<br />
µ0 = e<br />
0<br />
−x dx = 1 µ1 = 1 µ2 = 2<br />
<br />
A1 +A2 = 1<br />
A1x1 +A2x2 = 1 ⇒ A1 = 2+√2 , A2 =<br />
4<br />
2−√2 4<br />
R2(f) = f(4) (ξ)<br />
4!<br />
b<br />
w(x)u 2 (x)dx<br />
b<br />
a<br />
w(x)u<br />
a<br />
2 ∞<br />
(x) = (x<br />
0<br />
2 −4x+2) 2 e −x dx =<br />
∞<br />
(x<br />
0<br />
4 +16x 2 +4−8x 3 +4x 2 −16x)e −x dx = 4+32+4−24+8−16 = 8<br />
Problema 9.5.4 Aceeas¸i problemă pentru gradul <strong>de</strong> exactitater = 3 s¸i<br />
∞<br />
−∞<br />
e −x2<br />
f(x)dx<br />
Solut¸ie. Nodurile formulei gaussiene căutate vor fi rădăcinile polinoamelor<br />
Hermite ortogonale pe(−∞,∞) relativ la pon<strong>de</strong>reaw(t) = e−t2. hn(t) = (−1) n dn<br />
t2 e<br />
dtn(e−t2 ) t ∈ R<br />
h0(t) = 1, h1(t) = 2t<br />
hn+1(t) = 2thn(t)−2nhn−1(t)<br />
h2(t) = 2(2t 2 −1) = 2th1(t)−2 = 4t 2 −2<br />
h3(t) = 2th2(t)−2h1(t) = 2t(4t 2 −2)−8t = 4t(2t 2 −3)<br />
<br />
3<br />
t1 = −<br />
2 , t2 = 0, t3 =<br />
∞<br />
µ0 =<br />
−∞ ∞<br />
µ1 =<br />
−∞ ∞<br />
µ2 =<br />
−∞<br />
e −t2<br />
dt = √ π<br />
te −t2<br />
dt = 0<br />
t 2 e −t2<br />
dt = 1<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
4<br />
∞<br />
−∞<br />
3<br />
2<br />
(2t)(2t)e −t2<br />
dt = 1<br />
4 22 ·2! √ π = 2 √ π<br />
A1 +A2 +A3 = √ π<br />
−A1 +A3 = 0<br />
A1 +A3 = 2<br />
3 ·2√π = 4√<br />
π<br />
3
146 Aproximarea funct¸ionalelor liniare<br />
R3(f) = f(6) (ξ)<br />
6!<br />
A1 = A3 = 2√<br />
π<br />
3<br />
A2 = 1√<br />
π<br />
3<br />
∞<br />
−∞<br />
= 8·3! √ π · 1<br />
8 2 · f(6) (ξ)<br />
6! =<br />
Problema 9.5.5 Fie formula <strong>de</strong> cuadratură <strong>de</strong> forma<br />
1<br />
−1<br />
f(x)<br />
√ dx =<br />
1−x 2<br />
e −x2h23(t) dt =<br />
82 √<br />
π<br />
4·5·6·8 f(6) (ξ)<br />
n<br />
Aif(xi)+Rn(f), f ∈ C 2n [−1,1].<br />
i=1<br />
1 ◦ Arătat¸i că coeficient¸iiAi s¸i nodurilexi sunt date <strong>de</strong><br />
1<br />
Tn(x)<br />
Ai = √<br />
−1 1−x 2 (x−xi)T ′ n<br />
xi = cosθi, θi = (2i−1)<br />
2n<br />
dx,<br />
(xi)<br />
π<br />
, i = 1,n,<br />
2<br />
un<strong>de</strong>Tn este polinomul Cebîs¸ev <strong>de</strong> spet¸a I <strong>de</strong> gradn.<br />
2 ◦ Punând pentru1 ≤ i ≤ n,<br />
π<br />
δj =<br />
0<br />
cosjθ−cosjθi<br />
dθ, j = 1,2,...<br />
cosθ−cosθi<br />
arătat¸i căδj+1−2cosθiδj +δj−1 = 0, pentruj = 2,3,...s¸i calculat¸iδk+1.<br />
Deducet¸i că Ai = π,<br />
i = 1,n. n<br />
3 ◦ Arătat¸i că<br />
Solut¸ie.<br />
Rn(f) = π<br />
2 2n−1<br />
f (2n) (ξ)<br />
, ξ ∈ (−1,1).<br />
(2n)!<br />
1 ◦ T¸ inând cont că nodurile formulei vor fi rădăcinile polinomului lui Cebâs¸ev<br />
<strong>de</strong> spet¸a I, iar coeficient¸ii se obt¸in integrând polinoamele fundamentale, formulele<br />
<strong>de</strong> la punctul 1 ◦ sunt imediate.
9.5. Formule <strong>de</strong> cuadratură <strong>de</strong> tip Gauss 147<br />
2 ◦ Punând x = cosθ avem<br />
π<br />
Ai =<br />
0<br />
cosnθ<br />
cosθ −cosθi<br />
căci cosnθi = 0, i = 1,n. Din relat¸ia<br />
rezultă pentruj ≥ 2 că<br />
T ′ n<br />
1 δn<br />
= ,<br />
(xi) (xi)<br />
T ′ n<br />
cos(j +1)θ+cos(j −1)θ = 2cosθcosjθ<br />
δj+1 +δj−1 = 2<br />
= 2<br />
π<br />
0 π<br />
0<br />
cosθcosjθ−cosθicosjθi<br />
dθ<br />
cosθ−cosθi<br />
cosjθdθ+2cosθiδj<br />
s¸i δ0 = 0 s¸i δ1 = π. Relat¸ia <strong>de</strong> recurent¸ă δj+1 −2cosθiδj + δj−1 = 0 are<br />
solut¸ia generalăδj = Acosjθi +Bsinjθi; se obt¸ine<br />
s¸i cum<br />
se <strong>de</strong>duce căAi = π<br />
,i = 1,n. n<br />
3 ◦ Din expresia restului se obt¸ine<br />
Rn(f) = f(2n) (ξ)<br />
(2n)!<br />
δn = πsinnθi<br />
sinθi<br />
T ′ n (xi) = nsinnθi<br />
sinθi<br />
1<br />
−1<br />
T2 n(x)<br />
22n−2√ π<br />
=<br />
1−x 2dx 22n−1 Problema 9.5.6 Deducet¸i o formulă <strong>de</strong> cuadratură <strong>de</strong> forma<br />
1<br />
−1<br />
f (2n) (ξ)<br />
.<br />
(2n)!<br />
√ 1−x 2 f(x)dx = A1f(x1)+A2f(x2)+A3f(x3)+R3(f)<br />
Solut¸ie. Formula va fi <strong>de</strong> tip Gauss; polinoamele ortogonale care dau nodurile<br />
vor fi polinoamele Cebâs¸ev <strong>de</strong> spet¸a a II-a.<br />
Qn(t) = sin[(n+1)arccost]<br />
√ , t ∈ [−1,1]<br />
1−t 2
148 Aproximarea funct¸ionalelor liniare<br />
Ele au rădăciniletk = cos kπ<br />
, k = 1,n<br />
n+1<br />
În cazul nostru avem<br />
Q3(t) = 8t 3 −4t Q3(t) = 1<br />
8 (8t3 −4t)<br />
Rădăcinile vor fi<br />
t1 = −<br />
√ 2<br />
2 , t0 = 0, t2 =<br />
Pentru coeficient¸i, t¸inând cont că formula are gradul <strong>de</strong> exactitate2m−1 = 5<br />
obt¸inem sistemul ⎧<br />
⎨ A1 +A2 +A)3 = µ0<br />
un<strong>de</strong><br />
1<br />
µ2 =<br />
−1<br />
⎩<br />
Se observă că µ2k+1 =<br />
este impară.<br />
Sistemul are solut¸iile<br />
Restul va fi<br />
A1t1 +A2t2 +A3t3 = µ1<br />
A1t2 1 +A2t2 2 +A3t2 3 = µ2<br />
1<br />
µk =<br />
−1<br />
1<br />
µ0 = π<br />
2 , µ1 =<br />
t 2√ 1−t 2dt = 1<br />
4<br />
t k√ 1−t 2 dt<br />
−1<br />
1<br />
√ 2<br />
2<br />
t √ 1−t 2 dt = 0<br />
(2t)(2t) √ 1−t 2dt = π<br />
8<br />
−1<br />
1<br />
t<br />
−1<br />
2k+1√ 1−t 2dt = 0, <strong>de</strong>oarece funct¸ia <strong>de</strong> integrat<br />
A1 = A3 = π<br />
8 , A2 = π<br />
4<br />
Rm(f) = f(2m) (ξ)<br />
(2m)!<br />
= f(2m) (ξ)<br />
(2m)!<br />
1<br />
· 1 π<br />
·<br />
2m 2 =<br />
−1<br />
w(x)u 2 (x)dx =<br />
π<br />
2 m+1 (2m)! f(2m) (ξ)<br />
Am obt¸inut formula<br />
1<br />
f(x)dx = π<br />
√ √ <br />
2 2<br />
f − +2f(0)+f<br />
8 2 2<br />
−1<br />
+ π<br />
2 4 6! f(6) (ξ)
9.5. Formule <strong>de</strong> cuadratură <strong>de</strong> tip Gauss 149<br />
Problema 9.5.7 Deducet¸i o formulă <strong>de</strong> tip Cebâs¸ev pe [−1,1] cu w(x) = 1 s¸i cu<br />
3 noduri.<br />
Solut¸ie.<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
A = 2<br />
3<br />
t1 +t2 +t3 = 0<br />
t2 1 +t2 2 +t2 3 = 1<br />
t3 1 +t32 +t33 = 0<br />
C1 = t1 +t2 +t3<br />
C2 = t1t2 +t1t3 +t2t3<br />
C3 = t1t2t3<br />
C1 = 0<br />
C2 = 1<br />
2 [(t1 +t2 +t3) 2 −(t 2 1 +t22 +t23 )] = −1<br />
2<br />
C3 = 1<br />
6 [(t1+t2+t3) 3 −3(t1+t2+t3)(t 2 1 +t2 2 +t2 3 )+2(t3 1 +t3 2 +t3 3<br />
1<br />
Deoarece<br />
−1<br />
2<br />
3<br />
t 3 −C1t 2 +C2t−C3 = 0<br />
t 3 − 1<br />
2 t = 0, t1<br />
√<br />
2<br />
= −<br />
2 , t2<br />
√<br />
2<br />
= 0, t3 =<br />
2<br />
f(t)dt = 2<br />
√ √ <br />
2 2<br />
f − +f(0)+f +R3(f)<br />
3 2 2<br />
R3(f) =<br />
1<br />
−1<br />
K3(t) = 1<br />
<br />
(1−t)<br />
6<br />
4<br />
−<br />
4<br />
2<br />
3<br />
3<br />
(ti −t) 3 =<br />
i=1<br />
1<br />
−1<br />
K3(f)f (4) (t)dt<br />
K3(t) = 1<br />
6<br />
3<br />
i=1<br />
(ti −t) 3 +<br />
(x−t) 3 dx = (1−t)4<br />
4<br />
<br />
1<br />
)] = (0−0+0) = 0<br />
6<br />
− (1+t)4<br />
4
150 Aproximarea funct¸ionalelor liniare<br />
obt¸inem<br />
K3(t) = 1<br />
6<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
(1+t) 4<br />
4<br />
(1+t) 4<br />
4<br />
(1−t) 4<br />
4<br />
(1−t) 4<br />
4<br />
√<br />
2 2 − 3<br />
− 2<br />
3<br />
K3 pară, K3 ≥ 0. Pentru rest avem<br />
sau cu corolarul teoremei lui Peano<br />
√2<br />
2 +t<br />
2 −t<br />
3<br />
3<br />
<br />
t ∈<br />
<br />
t ∈<br />
<br />
t ∈<br />
t ∈<br />
−1,− √ 2<br />
2<br />
− √ 2<br />
2 ,0<br />
<br />
<br />
0, √ 2<br />
2<br />
√<br />
2<br />
2 ,1<br />
R3(f) = f (4) 1<br />
(ξ) K3(t)dt =<br />
−1<br />
1<br />
360 f(4) (ξ),<br />
R3(f) = 1<br />
4! f(4) (ξ)R(e4) = 1<br />
24 f(4) (ξ)<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
1<br />
−1<br />
<br />
x 4 dx− 2<br />
⎡<br />
√<br />
⎣<br />
2<br />
−<br />
3 2<br />
= 1<br />
<br />
2 2 1<br />
− · f<br />
24 5 3 2<br />
(4) (ξ) = 1<br />
360 f(4) (ξ).<br />
<br />
4<br />
√ ⎤⎫<br />
4<br />
2<br />
⎬<br />
+ ⎦<br />
2 ⎭ =
Capitolul 10<br />
Ecuat¸ii neliniare<br />
10.1 Ecuat¸ii înR<br />
Metoda coar<strong>de</strong>i (a falsei pozit¸ii sau a părt¸ilor proport¸ionale)<br />
Fie ecuat¸iaf(x) = 0 s¸i intervalul[a,b] astfel încâtf(a)f(b) < 0. Presupunem<br />
căf(a) < 0 s¸if(b) > 0.<br />
În loc să înjumătăt¸im intervalul ca la metoda intervalului îl împărt¸im în raportul−<br />
f(a)<br />
. Se obt¸ine pentru rădăcină aproximanta<br />
f(b)<br />
un<strong>de</strong><br />
h1 =<br />
x1 = a+h1<br />
(10.1)<br />
−f(a) f(a)<br />
(b−a) = − (b−a). (10.2)<br />
−f(a)+f(b) f(b)−f(a)<br />
Procedând analog pentru intervalul[a,x1] sau [x1,b], la capătul căruia funct¸ia<br />
f are semne opuse, obt¸inem o a doua aproximarex2, s¸.a.m.d.<br />
Interpretare geometrică. Metoda părt¸ilor proport¸ionale este echivalentă cu<br />
înlocuirea lui y = f(x) cu coarda ce trece prin punctele A[a,f(a)] s¸i B[b,f(b)]<br />
(vezi figura 10.1).<br />
Făcând y = 0 se obt¸ine<br />
y −f(a)<br />
f(b)−f(a)<br />
x1 = a−<br />
(10.3) ⇔ (10.1)∧(10.2)<br />
= x−a<br />
b−a<br />
f(a)<br />
(b−a). (10.3)<br />
f(b)−f(a)<br />
151
152 Ecuat¸ii neliniare<br />
f(a)<br />
a<br />
h 1<br />
x 1<br />
ξ<br />
Figura 10.1: Metoda falsei pozit¸ii<br />
Convergent¸a meto<strong>de</strong>i. Presupunem că rădăcina este izolată s¸i căf ′′ are semn<br />
constant pe[a,b].<br />
Presupunem că f ′′ (x) > 0 pe [a,b] (cazul f ′′ (x) < 0 se reduce la prece<strong>de</strong>ntul<br />
scriind −f(x) = 0. Curba y = f(x) este convexă s¸i putem avea două situat¸ii:<br />
f(a) > 0 s¸i f(b) > 0 (figura 10.2).<br />
În primul caz capătul este fix iar aproximat¸iile succesive se obt¸in astfel<br />
xn+1 = xn −<br />
x0 = b<br />
s¸irul obt¸inut fiind monoton <strong>de</strong>screscător s¸i mărginit.<br />
f(xn)<br />
f(xn)−f(a) (xn −a), n = 0,1,2,... (10.4)<br />
a < ξ < ··· < xn+1 < xn < ··· < x1 < x0<br />
Pentru celălalt cazbeste fix s¸i x0 = a<br />
xn+1 = xn −<br />
S¸irul obt¸inut este crescător s¸i mărginit<br />
f(x1)<br />
f(b)−f(x1) (b−xn)<br />
b<br />
f(b)<br />
x0 < x1 < x2 < ··· < xn < xn+1 < ··· < ξ < b
10.1. Ecuat¸ii în R 153<br />
f(a)<br />
a<br />
ξ<br />
x 2<br />
x 1<br />
b=x 0<br />
f(b)<br />
f(a)<br />
a=x 0<br />
Figura 10.2: Convergent¸a meto<strong>de</strong>i falsei pozit¸ii<br />
Pentru a arăta că limita este rădăcină a ecuat¸iei init¸iale se trece la limită în<br />
relat¸ia <strong>de</strong> recurent¸ă. Pentru <strong>de</strong>limitarea erorii folosim formula<br />
un<strong>de</strong>|f ′ (x)| ≤ m1 pentrux ∈ [a,b]<br />
|xn −ξ| ≤ |f(xn)|<br />
m1<br />
f(xn)−f(ξ) = (xn −ξ)f ′ (c), c ∈ (xn,ξ)<br />
|f(xn)−f(ξ)| = |f(xn)| ≥ m1|xn −ξ|<br />
Vom da o <strong>de</strong>limitare mai bună dacăf este continuă pe[a,b],[a,b] cont¸ine toate<br />
aproximantele s¸if ′ îs¸i păstrează semnul.<br />
Pentru primul caz avem<br />
x 1<br />
0 < m1 ≤ |f ′ (x)| ≤ M1 < ∞<br />
xn = xn−1 −<br />
f(xn−1)<br />
f(xn−1)−f(a) (xn−1 −a)<br />
f(ξ)−f(xn−1) = f(xn−1)−f(a)<br />
(xn −xn−1)<br />
xn−1 −a<br />
Utilizând teorema lui Lagrange avem<br />
(ξ −xn−1)f ′ (ξn−1) = (x−xn−1)f ′ (xn−1)<br />
ξ<br />
x 2<br />
b<br />
f(b)
154 Ecuat¸ii neliniare<br />
xn−1 ∈ (xn−1,ξ),xn−1 ∈ (a,xn−1). Deci<br />
sau<br />
|ξ −xn| = |f′ (xn−1)−f ′ (ξn−1)|<br />
f ′ |xn −xn−1|<br />
(ξn−1)|<br />
Deoarece f ′ are semn constant pe[a,b] s¸ixn−1,ξn−1 ∈ [a,b] obt¸inem<br />
|f ′ (xn−1)−f ′ (ξn−1)| ≤ M1 −m1<br />
Deci<br />
|ξ −xn| ≤ M1 −m1<br />
|xn −xn−1|<br />
m1<br />
Dacă M1 ≤ 2m1 (lucru care se poate întâmpla dacă [a,b] este mic)<br />
|ξ −xn| ≤ |xn −xn−1|<br />
Deci dacă programăm această metodă, putem folosi drept criteriu <strong>de</strong> oprire<br />
M1 −m1<br />
m1<br />
|xn −xn−1| < ε<br />
|xn −xn−1| < ε<br />
Problema 10.1.1 Determinat¸i o rădăcină pozitivă a ecuat¸iei<br />
cu precizia 0.002.<br />
Solut¸ie.<br />
f(x) = x 3 −0.2x 2 −0.2x−1.2<br />
f(1) = −0.6 < 0, f(2) = 5.6 > 0<br />
ξ ∈ (1,2), f(1.5) = 1.425, ξ ∈ (1,1.5)<br />
x1 = 1+<br />
x2 = 1.15+<br />
0.6<br />
(1.5−1) = 1+0.15 = 1.15<br />
1.425+0.6<br />
f(x1) = −0.173<br />
0.173<br />
(1.5−1.15) = 1.15+0.040 = 1.150<br />
1.425+0.173<br />
f(x2) = −0.036<br />
x3 = 1.150+<br />
0.036<br />
1.425+0.036 (1.5−1.15) = 1.190<br />
f(x3) = −0.0072
10.1. Ecuat¸ii în R 155<br />
f ′ (x) = 2x 2 −0.4x−0.2, x3 < x < 1.5<br />
f ′ (x) ≥ 3.1198 2 −0.4·1.5−0.2 = 3·1.43−0.8 = 3.49<br />
0 < ξ −x3 < 0.0072<br />
≈ 0.002<br />
3.49<br />
ξ = 1.198+0.002θ, θ ∈ (0,1]<br />
Problema 10.1.2 Utilizând metoda lui Newton, calculat¸i o rădăcină negativă a<br />
ecuat¸iei<br />
f(x) ≡ x 4 −3x 2 +75x−10000 = 0<br />
cu 5 zecimale exacte.<br />
Solut¸ie.<br />
Luăm x0 = −11<br />
f(0) = −10000, f(−10) = −1050<br />
f(−100) = 1−8<br />
f(−11) = 3453, f ′ (x) < 0, f ′′ (x) > 0<br />
f(−11) > 0, f ′′ (−11) > 0<br />
xn+1 = xn − f(xn)<br />
f ′ (xn)<br />
x1 = −11− 3453<br />
= −10.3<br />
−5183<br />
x2 = −10.3− 134.3<br />
= −10.3+0.03 = −10.27<br />
−4234<br />
x3 = −10.27− 37.8<br />
= −10.27+0.009 = −10.261<br />
−4196<br />
|x2 −x3| = |0.09|, s¸.a.m.d.<br />
Problema 10.1.3 Fie ecuat¸ia<br />
s¸if ′′ este continuă s¸i îs¸i păstrează semnul pe(−∞,∞).<br />
Arătat¸i că:<br />
a) Ecuat¸ia are cel mult două rădăcini.<br />
b) Să presupunem că<br />
f(x) = 0 (10.5)<br />
f(x0)f ′ (x0) < 0, f(x0)f ′′ (x) < 0
156 Ecuat¸ii neliniare<br />
atunci (1) are o rădăcină unică în (x0,x1). Cum poate fi calculată cu Newton<br />
pornind cu x0.<br />
c) Dacă f ′ (x0) = 0, f(x0)f ′′ (x) < 0, ecuat¸ia are două rădăcini care pot fi<br />
calculate cu Newton s¸i cu aproximantele init¸iale<br />
<br />
x1 = x0 − − 2f(x0)<br />
f ′′ (x0)<br />
x ′ 1 = x0 +<br />
<br />
− 2f(x0)<br />
f ′′ (x0)<br />
a) Rezultă din teorema lui Rolle.<br />
b)ξ are o solut¸ie unică în(x0,x1) (vezi figura 10.3)<br />
x 0<br />
ξ<br />
y=f(x)<br />
x1 = x0 − f(x0)<br />
f ′ (x0)<br />
Figura 10.3: Cazul b) al <strong>probleme</strong>i 10.1.3<br />
c)f ′ (x0) = 0, f(x0)f ′′ (x) < 0<br />
Ecuat¸ia (10.5) are două rădăcini ξ s¸i ξ ′ în(−∞,∞) (figura 10.4, stânga).<br />
Aproximămf cu Taylor<br />
f(x0)+f ′ (x0)(x−x0)+ 1<br />
2 f′′ (x0)(x−x0) 2 = 0.<br />
x 1
10.1. Ecuat¸ii în R 157<br />
Ecuat¸ia<br />
are două rădăcini<br />
x 0<br />
ξ ξ′<br />
f(x 0 )<br />
ξ x x ′<br />
1<br />
1 ξ′<br />
Figura 10.4: Cazul c) al <strong>probleme</strong>i 10.1.3<br />
f(x0) = 1<br />
2 f′′ (x0)(x−x0) 2<br />
<br />
x1 = x0 − − 2f(x0)<br />
f ′′ (x0)<br />
x ′ 1 = x0<br />
<br />
+ − 2f(x0)<br />
f ′′ (x0)<br />
care sunt abscisele punctelor <strong>de</strong> intersect¸ie cu axa Ox ale parabolei (figura 10.4,<br />
dreapta)<br />
Y = f(x0)+ 1<br />
2 f′′ (x0)(x−x0) 2 .<br />
Observat¸ia 10.1.4 Avem <strong>de</strong> fapt două cazuri <strong>de</strong> interes date <strong>de</strong> I s¸i II.<br />
Problema 10.1.5 Determinat¸i o rădăcină a ecuat¸iei<br />
x 3 −x−1 = 0<br />
folosind metoda aproximat¸iilor succesive.
158 Ecuat¸ii neliniare<br />
Solut¸ie.<br />
f(1) = −1 < 0, f(2) = 5 > 0<br />
x−x 3 −1<br />
f(x) = x 3 −1, ϕ ′ (x) = 3x 2<br />
ϕ ′′ (x) ≥ 3 pentrux ∈ [1,2]<br />
dar nu se poate aplica m.a.s.<br />
x = 3√ x+1<br />
ϕ(x) = 3√ x+1, ϕ ′ 1<br />
(x) =<br />
3 3 (x+1) 2<br />
0 < ϕ ′ (x) < 1<br />
3 3√ 1<br />
< = 2 pentru a ≤ x ≤ 2<br />
4 4<br />
metoda aproximat¸iilor succesive are o convergent¸ă rapidă<br />
|xn −x ∗ | ≤ qn<br />
1−q |x1 −x0|<br />
x0 = 1, x1 = 3√ 2<br />
<br />
1+ 3<br />
<br />
1+ 3√ 2<br />
x2 = 3<br />
<br />
1+ 3√ 2, x3 = 3<br />
Problema 10.1.6 Concepet¸i o metodă cu un pas s¸i una cu doi pas¸i pentru a aproxima<br />
√ a,a > 0.<br />
Solut¸ie. Folosim metoda lui Newton<br />
(Metoda lui Heron)<br />
xn+1 = xn − x2 n −a<br />
2xn<br />
f(x) = x 2 −a<br />
= 1<br />
<br />
xn +<br />
2<br />
a<br />
<br />
xn<br />
f ′ (x) = 2x > 0 pentrux > 0<br />
f ′′ (x) = 2 > 0<br />
f ′ (x) = 0 pe[a,b] ⊂ (0,∞)<br />
f ′′ (x) > 0 pe[a,b]<br />
Orice valoare pozitivă poate fi utilizată ca valoare <strong>de</strong> pornire.
10.1. Ecuat¸ii în R 159<br />
Observat¸ia 10.1.7 Numărul <strong>de</strong> zecimale corecte se dublează la fiecare pas, comparativ<br />
cu numărul original <strong>de</strong> zecimale corecte.<br />
x0 = √ a(1+δ)<br />
x1 = 1<br />
<br />
x0 +<br />
2<br />
a<br />
<br />
=<br />
x0<br />
1 √ √ −1<br />
a(1+δ)+ a(1+δ)<br />
2<br />
=<br />
= 1<br />
<br />
√ √ 2<br />
a(1+δ +1−δ +δ ) = x 1+<br />
2<br />
δ2<br />
<br />
2<br />
b) Folosim metoda secantei<br />
xn+1 = xn − (xn −xn−1)f(xn)<br />
f(xn)−f(xn−1) =<br />
= xn − (xn −xn−1)(x 2 n −a)<br />
x 2 n −x2 n−1<br />
= xn − x2 n −a<br />
xn +xn−1<br />
=<br />
= x2 n +xnxn−1 −x 2 n +a<br />
xn +xn−1<br />
x0 > 0<br />
Problema 10.1.8 La fel pentru rădăcina cubică 3√ x.<br />
yn+1 = 1<br />
<br />
2yn +<br />
3<br />
x<br />
y2 <br />
n<br />
y0 > 0<br />
Problema 10.1.9 Strict aplicabilitatea meto<strong>de</strong>i lui Newton pentru rădăcini multiple.<br />
Solut¸ie. Fiex ∗ o rădăcină multiplă <strong>de</strong> ordinulm.<br />
Dorim convergent¸ă <strong>de</strong> ordinul 2.<br />
g(x) = x−m(f ′ (x)) −1 f(x)<br />
g(x ∗ ) = x ∗<br />
Presupunem căf(x ∗ ) = f ′ (x ∗ ) = ··· = f (m−1) (x ∗ ) = 0<br />
f (m) (x ∗ ) = 0
160 Ecuat¸ii neliniare<br />
f(x ∗ +h) = f(n) (x ∗ )h m<br />
m!<br />
(1+O(h))<br />
f ′ (x ∗ +h) = fm (x∗ )hm−1 (1+O(h))<br />
(m−1)!<br />
f(x ∗ +h)<br />
f ′ (x ∗ +h)<br />
s¸i pentru f ′ (x ∗ +h) = 0,<br />
h h<br />
= (1+O(h)) =<br />
m m +O(h2 )<br />
g(x ∗ +h) = x ∗ +h−m<br />
<br />
h<br />
m +O(h2 <br />
)<br />
g ′ (x ∗ g(x<br />
) = lim<br />
h→0<br />
∗ +h)−g(x ∗ )<br />
h<br />
h−h+mO(h<br />
= lim<br />
h→0<br />
2 )<br />
h<br />
Problema 10.1.10 Deducet¸i formula<br />
=<br />
< 1 convergentă<br />
xi+1 = xi − f(xi)<br />
f ′ <br />
1 f(xi)<br />
−<br />
(xi) 2 f ′ 2 ′′ f (xi)<br />
(xi) f(xi)<br />
Solut¸ie. Folosim interpolarea Taylor inversă:<br />
F T m(xi) = xi +<br />
m−1 <br />
k=1<br />
(−1) l<br />
k!<br />
[f(xi)] k g (k) (f(xi))<br />
Problema 10.1.11 Stabilit¸i următoarea metodă <strong>de</strong> aproximare a unei rădăcini<br />
reale a ecuat¸iei f(x) = 0<br />
xk+1 = xk −<br />
f(xk)<br />
[xk−1,xk;f] −<br />
[xk−2,xk−1,xk;f]f(xk−1)f(xk)<br />
[xk−2,xk−1;f][xk−2,xk;f][xk−1,xk;f]<br />
k = 3,4,...<br />
Solut¸ie. Folosim polinomul <strong>de</strong> interpolare inversă a lui Newton.<br />
g(y) ≈ g(y0)+(y −y0)[y0,y1;g]+(y −y0)(y −y1)[y0,y1,yi;f]<br />
g(0) ≈ g(y0)−y0[y0,y1;g]+y0y1[y0,y1,y2;g] =
10.2. Sisteme neliniare 161<br />
x1 −x0 [y1,y2;g]−[y0,y1;g]<br />
= x0 −f(x0) +f(x0)f(x1) =<br />
f(x1)−f(x0)<br />
x2 −x1<br />
y2 −y0<br />
= x0 − f(x0)<br />
[x0,x1;f] +f(x0)f(x1)<br />
f(x2)−f(x1) −<br />
x1 −x0<br />
f(x1)−f(x0)<br />
=<br />
f(x2)−f(x0)<br />
= x0 − f(x0)<br />
[x0,x1;f] −f(x0)f(x1)<br />
f(x2)−f(x1)<br />
x2 −x1<br />
− f(x1)−f(x0)<br />
x1 −x0<br />
x2 −x0<br />
x2 −x0<br />
·<br />
f(x2)−f(x0) ·<br />
x1 −x0<br />
f(x1)−f(x0) ·<br />
x2 −x1<br />
f(x2)−f(x1) =<br />
= x0 − f(x0) [x0,x1,x2;f]f(x1)f(x2)<br />
−<br />
[x0,x1;f] [x1,x2;f][x0,x2;f][x0,x1;f]<br />
10.2 Sisteme neliniare<br />
Problema 10.2.1 Utilizat¸i metoda aproximat¸iilor succesive pentru a aproxima<br />
solut¸ia sistemului<br />
<br />
2 x1 +x2 2 = 1<br />
(10.6)<br />
x 3 1 −x2 = 0<br />
Solut¸ie. Interpretarea geometrică apare în figura 10.5.<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
−0.2<br />
−0.4<br />
−0.6<br />
−0.8<br />
−1<br />
−1 −0.5 0 0.5 1<br />
Figura 10.5: Interpretarea geometrică a sistemului (10.6)<br />
·
162 Ecuat¸ii neliniare<br />
x (0) <br />
2 0.9 x1 +x<br />
= f(x) =<br />
0.5<br />
2 2 −1<br />
x3 <br />
1 −x2<br />
f ′ <br />
2x1 2x2<br />
(x) =<br />
3x2 <br />
f<br />
1 −1<br />
′ (x 0 <br />
1.8 1<br />
) =<br />
2.43 −1<br />
<strong>de</strong>tf ′ (x 0 ) = 0 = −4.23<br />
[f ′ (x 0 )] −1 = − 1<br />
<br />
−1 −1<br />
4.23 −2.43 1.8<br />
Λ = −[f ′ (x 0 )] −1 = 1<br />
4.23<br />
<br />
−1 −1<br />
−2.43 1.8<br />
<br />
x1<br />
ϕ(x) = x+Λf(x) = −<br />
x2<br />
1<br />
<br />
2 1 1 x1 +x<br />
4.23 2.43 −1.8<br />
2 2 −1<br />
x3 1 −x2<br />
<br />
x (1) <br />
x<br />
=<br />
(0)<br />
1<br />
x (0)<br />
<br />
−<br />
2<br />
1<br />
<br />
2 2 1 1 0.9 +0.5 −1<br />
4.23 2.43 −1.8 0.93 <br />
0.8317<br />
=<br />
−0.5 0.5630<br />
x (2) <br />
0.8317<br />
= −<br />
0.5630<br />
1<br />
<br />
2 2 1 1 0.8317 +0.5630 −1<br />
4.23 2.43 −1.8 0.83172 <br />
0.8265<br />
=<br />
−0.5630 0.5633<br />
x (3) <br />
0.8261<br />
= , x<br />
0.5361<br />
(4) <br />
0.8261<br />
=<br />
0.5636<br />
x (4) −x (3) < 10 −4 .<br />
Observat¸ia 10.2.2 În locul procesului Picard-Banach pentru sisteme neliniare<br />
este uneori convenabil să se utilizeze un proces Sei<strong>de</strong>l.<br />
xn+1 = ϕ1(xn,yn)<br />
xn+2 = ϕ2(xn+1,yn) .<br />
Problema 10.2.3 Aproximat¸i solut¸ia sistemului<br />
F(x,y) = 2x 3 −y 2 −1 = 0<br />
G(x,y) = xy 3 −y −4 = 0<br />
folosind metoda lui Newton.
10.2. Sisteme neliniare 163<br />
Solut¸ie. F(x,y) = 0<br />
G(x,y) = 0<br />
x = xn +hn<br />
F,g ∈ C 1<br />
y = yn +kn<br />
F(xn +hn,yn +kn) = 0<br />
G(xn +hn,yn +kn) = 0<br />
Utilizând formula lui Taylor se obt¸ine<br />
F(xn,yn)+hnF ′ x (xn,yn)+knF ′ (xn,yn) = 0<br />
G(xn,yn)+hnG ′ x (xn,yn)+knG ′ (xn,yn) = 0<br />
Dacă jacobianul<br />
<br />
<br />
J(xn,yn) = <br />
obt¸inem<br />
F′ x (xn,yn) F ′ y (xn,yn)<br />
G ′ x(xn,yn) G ′ y(xn,yn)<br />
<br />
<br />
<br />
= 0<br />
<br />
1 <br />
hn = − <br />
J(xn,yn) F(xn,yn) F ′ y (xn,yn)<br />
G(xn,yn) G ′ y (xn,yn)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 <br />
kn = − <br />
J(xn,yn) F′ x (xn,yn) F(xn,yn)<br />
G ′ <br />
<br />
<br />
x(xn,yn) G(xn,yn) <br />
x0 = 1.2, y0 = 1.7<br />
F(x0,y0) = −0.434<br />
G(x0,y0) = 0.1956<br />
<br />
<br />
J(x,y) = <br />
6x2 <br />
−2y <br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
8.64 −3.40 <br />
<br />
4.91 5.40 = 57.91<br />
y 3 3xy 2 −1<br />
h0 = 0.6349<br />
k0 = −0.0390
Capitolul 11<br />
Rezolvarea numerică ecuat¸iilor<br />
diferent¸iale<br />
Problema 11.0.4 Aproximat¸i solut¸ia <strong>probleme</strong>i Cauchy<br />
y ′ = −y +x−1, x ∈ [0,1], y(0) = 1<br />
pentruN = 10, h = 0.1, xi = 0.1i folosind metoda lui Euler.<br />
Solut¸ie.<br />
Solut¸ia exactă este<br />
y ′ = −y +x+1, x ∈ [0,1], y(0) = 1<br />
y0 = α<br />
yi+1 = yi +hf(xi,yi)<br />
τ = h2<br />
2 y′′ (ξi)<br />
y(x) = x+e −x<br />
y0 = 1<br />
yi = yi−1 +h(−yi−1 +xi−1 +1) =<br />
= yi−1 +0·1(−yi−1 +0.1(i−1)+1) =<br />
= 0.9yi−1 +0.01(i−1)+0.1 = 0.9yi−1 +0.01i+0.09<br />
Calculele sunt date în următorul tabel<br />
xi yi y(xi) |yi −y(xi)|<br />
0.0 1.000000 1.000000 0<br />
0.1 1.000000 1.004837 0.004837<br />
0.2 1.01 1.018731 0.008731<br />
0.3 1.029 1.040818 0.011818<br />
0.4 1.0561 1.070320 0.014220<br />
164
165<br />
Să aplicăm acum pentru aceeas¸i problemă metoda Runge-Kutta <strong>de</strong> ordinul IV.<br />
y0 = α = y(a)<br />
k1 = hf(xi,yi)<br />
<br />
k2 = kf xi + h<br />
2 ,yi + 1<br />
2 k1<br />
<br />
<br />
k3 = hf xi + h<br />
2 ,yi + 1<br />
2 k2<br />
<br />
k4 = hf(xi +h,yi +k3), τ ∈ O(h 4 )<br />
yi+1 = yi + 1<br />
6 (k1 +2k2 +2k3 +k4)<br />
xi val.exactă yi eu<br />
0 1.0 1.0 0<br />
0.1 1.0048374180 1.0048375000 8.1·15 −8<br />
0.2 1.0187307531 1.0187309014 1.483·10 −7<br />
0.3 1.0408<br />
Problema 11.0.5 Aproximat¸i solut¸ia ecuat¸iei<br />
y ′ = −y +1<br />
y(0) = 0<br />
folosind:<br />
a) metoda Euler cu h = 0.025;<br />
b) metoda Euler modificată cu h = 0.05;<br />
c) metoda Runge-Kutta cu h = 0.1.<br />
Comparat¸i rezultatele celor 3 meto<strong>de</strong> în punctele 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 între<br />
ele s¸i cu valoarea exactă.<br />
Solut¸ie. y0 = α<br />
yi+1 = yi + h<br />
2 [f(xi,yi)+f(xi+1,yi +hf(xi,yi))]<br />
x Euler Euler mod. RK4 val.exactă<br />
0.1 0.096312 0.095123 0.0951620 0.095162582<br />
0.2 0.183348 0.181198 0.18126910 0.181269247<br />
0.3 0.262001 0.259085 0.25918158 0.259181779<br />
0.4 0.333079 0.329563 0.32967971 0.329679954<br />
0.5 0.397312 0.393337 0.39346906 0.393469340<br />
Problema 11.0.6 Deducet¸i meto<strong>de</strong> predictor corector <strong>de</strong> tip Adams <strong>de</strong> ordinul<br />
2,3,4.
166 Rezolvarea numerică ecuat¸iilor diferent¸iale<br />
Solut¸ie. Predictorul cu m pas¸i se generează astfel:<br />
xi+1<br />
xi<br />
(−1) k<br />
y(xi+1) = y(xi)+<br />
f(x,y(x))dx =<br />
+ hm+1<br />
m!<br />
1<br />
0<br />
m−1 <br />
k=0<br />
xi+1<br />
xi<br />
f(x,y(x))dx<br />
∇ k f(xi,y(xi))h(−1) k<br />
1<br />
0<br />
−s<br />
s(s+1)...(s+m−1)f (m) (ξi,y(ξi))ds<br />
k 0<br />
<br />
s<br />
ds 1<br />
0 k<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
5<br />
12<br />
<br />
3<br />
3<br />
8<br />
4<br />
251<br />
720<br />
5<br />
95<br />
288<br />
y(xi+1) = y(xi)+h f(xi,y(xi))+ 1<br />
2 ∇f(xi,y(xi)+<br />
1<br />
Pentru m = 2 obt¸inem<br />
+ 5<br />
12 ∇2 f(xi,y(xi))+ 3<br />
8 ∇3 f(xi,y(xi))+...<br />
+h m+1 f (m) (µi,y(µi))(−1) m<br />
1<br />
y(xi+1) ≈ y(xi)+h<br />
0<br />
<br />
−s<br />
ds<br />
m<br />
<br />
+<br />
<br />
f(xi,y(xi))+ 1<br />
2 ∇f(xi,y(xi))<br />
<br />
=<br />
k<br />
<br />
ds+<br />
<br />
= y(xi)+h f(xi,y(xi))+ 1<br />
2 (f(xi,y(xi))−f(xi−1,y(xi−1)))<br />
<br />
=<br />
= y(xi)+ h<br />
2 [3f(xi,y(xi))−f(xi−1,y(xi−1))]<br />
h 3 f ′′ (µi,y(µi))(−1) 2<br />
1<br />
y0 = α, y1 = α1<br />
yi+1 = yi + h<br />
2 [3f(xi,yi)−f(xi−1,yi−1)]<br />
<br />
−s<br />
2<br />
τi+1 = y(xi+1)−y(xi)<br />
h<br />
0<br />
f ′′ (µi,y(µi)) = y (3) (µi)<br />
<br />
ds = 5<br />
12 h3 f ′′ (µi,y(µi))<br />
− 1<br />
2 [3f(xi,yi)−f(xi−1,yi−1)] =
= 1<br />
<br />
5<br />
h 12 h3f ′′ <br />
(µi,y(µi)) = 5<br />
12 h2y ′′′ (µi,y(µi))<br />
167<br />
Pentru m = 3 avem <br />
y(xi+1) ≈ y(xi)+h f(xi,y(xi))+ 1 5<br />
∇f(xi,y(xi))+<br />
2 12 ∇2 <br />
f(xi,y(xi)) =<br />
= y(xi)+h{f(xi,yi)+ 1<br />
2 [f(xi,y(xi))−f(xi−1,y(xi−1))]+<br />
+ 5<br />
12 [f(xi,y(xi))−2f(xi−1,y(xi−1))+f(xi−2,y(xi−2))]} =<br />
= y(xi)+ 4<br />
12 [23f(xi,yi)−16f(xi−1,y(xi−1))+5f(xi−2,yi−2)]<br />
y0 = α, y1 = α1, y2 = α2<br />
yi+1 = yi + h<br />
12 [23f(xi,yi)−16f(xi−1,yi−1)+5f(xi−2,yi−2)]<br />
h4f (3) (µi,y(µi))(−1) 3<br />
1<br />
0<br />
f (3) (µi,y(µi)) = y (4) (µi)<br />
τi+1 = y(xi+1)−y(xi)<br />
4<br />
−s<br />
3<br />
<br />
ds = 3h4<br />
8 f(3) (µi,y(µi))<br />
− 1<br />
12 [23f(xi,y(xi))−hf(xi−1,y(xi−1))+<br />
+5f(xi−2,y(xi−2))] = 1<br />
4 3h<br />
4 8 f(3) (µi,y(µi))<br />
Pentru m = 4 obt¸inem<br />
y(xi+1) = y(xi)+h<br />
yi+1 = yi +h<br />
<br />
<br />
= 3h3<br />
8 y(4) (µi)<br />
f(xi,yi)+ 1<br />
2 ∇f(xi,y(xi))+<br />
+ 5<br />
12 ∇2f(xi,y(xi))+ 3<br />
8 ∇3 <br />
f(xi,y(xi)) +<br />
+h 5 f (4) (µi,y(µi))(−1) 4<br />
1<br />
<br />
0<br />
<br />
−s<br />
ds<br />
4<br />
f(xi,yi)+ 1<br />
2 [f(xi,yi)−f(xi−1,yi−1)]+<br />
+ 5<br />
12 [f(xi,yi)−2f(xi−1,yi−1)+f(xi−2,yi−2)]+<br />
+ 3<br />
8 [f(xi,yi)−3f(xi−1,yi−1)+3f(xi−2,yi−2)−f(xi−3,yi−3)] =
168 Rezolvarea numerică ecuat¸iilor diferent¸iale<br />
= yi + h<br />
24 [55f(xi,yi)−55f(xi−1,yi−1)+37f(xi−2,yi−2)−9f(xi−3,yi−3)]<br />
h 5 f (4) (µi,y(µi))(−1) 4<br />
1<br />
<br />
−s<br />
ds =<br />
4<br />
251<br />
720 f(4) (µi,y(µi))<br />
0<br />
τi+1 = 251<br />
720 f(4) y (5) (µi)<br />
Observat¸ia 11.0.7 Am integrat polinomul lui Newton cu diferent¸e regresive cu<br />
nodurile<br />
(xi,y(xi)),(xi−1,y(xi−1)),...,(xi+1−n,y(xi+1−m))<br />
pentrumpas¸i.<br />
Pentru corectorul cumpas¸i vom folosi formula lui Newton cu diferent¸e regresive<br />
(xi+1,f(xi+1)),(xi,f(xi)),...,(xi−m+1,f(xi−m+1))<br />
Pm(x) =<br />
1<br />
dk =<br />
0<br />
<br />
yi+1 = yi +h<br />
= yi +4<br />
m<br />
<br />
s+k −2<br />
∇<br />
k<br />
k f(xi+1,y(xi+1))<br />
k=0<br />
yi+1 = yi +h<br />
s+k −2<br />
k<br />
m<br />
dk∇ k f(xi+1,y(xi+1))<br />
k=0<br />
<br />
ds = (−1) k<br />
1<br />
d0 = 1, d1 = − 1<br />
2 , d2 = − 1<br />
12<br />
d3 = − 1<br />
24 , d4 = − 19<br />
720<br />
s = x−xi<br />
4<br />
x = xi +sh−m ≤ s ≤ 0<br />
xi+1 = xi +h−m+1 ≤ s ≤ 1<br />
f(xi+1,yi+1− 1<br />
<br />
2<br />
m = 2<br />
0<br />
−s+1<br />
k<br />
<br />
ds<br />
∇f(xi+1,yi+1)− 1<br />
12 ∇2 f(xi+1,yi+1)<br />
f(xi+1,yi+1)− 1<br />
2 [f(xi+1,yi+1)−f(xi,yi)]−<br />
<br />
=
− 1<br />
12 [f(xi+1,yi+1)−2f(xi,yi)+f(xi−1,yi−1)]<br />
<br />
=<br />
= yi + 4<br />
12 [5f(xi+1,yi+1)+8f(xi,yi)−f(xi−1,yi−1)]<br />
τi+1 = y(xi+1)−y(xi)<br />
h<br />
= h4<br />
3!<br />
f (3) (µi,y(µi))<br />
(−1)<br />
3!<br />
3<br />
yi+1 = yi +h<br />
− 1<br />
= yi +h<br />
− 1<br />
12 [5f(xi+1,yi+1)+8f(xi,yi)−f(xi−1,yi−1)] =<br />
1<br />
<br />
0<br />
(−s+1)(−s)(−s−1)ds = − 1<br />
24 h4 y (IV) (µi)<br />
m = 4<br />
f(xi+1,yi+1)− 1<br />
2 ∇f(xi+1,yi+1)−<br />
12 ∇2f(xi+1,yi+1)− 1<br />
24 ∇3f(xi+1,yi+1) <br />
f(xi+1,yi+1)− 1<br />
2 [f(xi+1,yi+1)−f(xi,yi)]−<br />
− 1<br />
12 [f(xi+1,yi+1)−2f(xi,yi)+f(xi−1,yi−1)]−<br />
− 1<br />
24 [f(xi+1,yi+1)−3f(xi,yi)+3f(xi−1,yi−1)−f(xi−2,yi−2)]<br />
= yi + h<br />
24 [9f(xi+1,yi+1)+19f(xi,yi)−5f(xi−1,yi−1)+f(xi−2,yi−2)]<br />
τi+1 = − 19<br />
720 y(5) (µi)h 4<br />
Problema 11.0.8 Deducet¸i următoarea formulă predictor-corector<br />
y (0)<br />
i+1 = yi−3 + 4h<br />
3 [2f(xi,yi)−f(xi−1,yi−1)+2f(xi−2,yi−2)]<br />
y (c)<br />
τi+1 = 14<br />
45 h4 y (5) (ξi), ξi ∈ (ti−1,ti+1) (Milne)<br />
i+1 = yi−1 + h<br />
3<br />
[f(xi+1,y (p)<br />
i+1 )+4f(xi,yi)+f(xi−1,yi−1)]<br />
τi+1 = − h4<br />
90 y(5) (ξi), ξi ∈ (ti−1,ti+1) (Simpson)<br />
<br />
=<br />
<br />
=<br />
169
170 Rezolvarea numerică ecuat¸iilor diferent¸iale<br />
Solut¸ie. Corectorul<br />
y(xi+1)−y(xi−1) =<br />
xi+1<br />
xi−1<br />
f(t,y(t))dt ≃<br />
≃ h<br />
3 [f(xi+1,yi+1)+4f(xi,yi)+f(xi−1,yi−1)]<br />
τi+1 = − (b−a)5<br />
2880 f(IV) (ξi,y(ξi)) = − 32h5<br />
2880 y5 (ξi) = − h5<br />
90 y(5) (ξi)<br />
Predictorul<br />
= h<br />
3<br />
y(xi+1)−y(xi−3) =<br />
xi+1<br />
xi−3<br />
f(t,y(t))dt =<br />
xi+1 −xi−3<br />
[2f(xi−2,yi−2)−f(xi−1,yi−1)+2f(xi−2,yi−2)] =<br />
4<br />
= 4h<br />
3 [2f(xi−2,yi−2)−4f(xi−1,yi−1)+2f(xi−2,yi−2)]<br />
τi+1 = 14h5<br />
45 y(5) (ξi)<br />
Observat¸ia 11.0.9 Pentru predictor s-a folosit formula Newton-Cotes <strong>de</strong>schisă<br />
<strong>de</strong> ordinul II, iar pentru corector formula Newton-Cotes închisă <strong>de</strong> ordinul II<br />
(Simpson).