Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

Culegere de probleme de Analiză numerică
Radu Tiberiu Trîmbit¸as¸
8 noiembrie 2012

Cuprins
Prefat¸ă 1
1 Formula lui Taylor s¸i aplicat¸ii 2
2 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării 7
2.1 Spat¸ii metrice, spat¸ii Banach, spat¸ii Hilbert . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Spat¸ii Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Funct¸ionale liniare în spat¸ii Hilbert . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Serii Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Polinoame ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.1 Calculul polinoamelor ortogonale . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.2 Exemple de polinoame ortogonale . . . . . . . . . . . . . 20
3 Teoria erorilor 35
3.1 Erori absolute s¸i relative. Cifre semnificative corecte . . . . . . . 36
3.2 Propagarea erorilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Erorile pentru vectori s¸i operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Aritmetică în virgulă flotantă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Condit¸ionarea unei probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Rezolvarea numerică a sistemelor algebrice liniare 54
4.1 Descompunere LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2 Descompunere LUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3 Sisteme de ecuat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5 Calculul cu diferent¸e 67
6 Interpolare 78
6.1 Interpolare polinomială . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.2 Interpolare Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3 Interpolare Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
ii

CUPRINS iii
6.4 Interpolare Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5 Interpolare rat¸ională . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.6 Interpolare spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7 Aproximări în medie pătratică 103
8 Operatori liniari s¸i pozitivi 110
8.1 Operatorul lui Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.2 B-spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.3 Alt¸i operatori liniari s¸i pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9 Aproximarea funct¸ionalelor liniare 122
9.1 Derivare numerică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.2 Formule de integrare numerică de tip Newton-Cotes . . . . . . . . 127
9.2.1 Formule Newton-Cotes închise . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.2.2 Formule Newton-Cotes deschise . . . . . . . . . . . . . . 130
9.3 Alte formule de tip interpolator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.4 Cuadraturi repetate. Metoda lui Romberg . . . . . . . . . . . . . 141
9.5 Formule de cuadratură de tip Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10 Ecuat¸ii neliniare 151
10.1 Ecuat¸ii înR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.2 Sisteme neliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11 Rezolvarea numerică ecuat¸iilor diferent¸iale 164

iv CUPRINS

Prefat¸ă
Aici ar veni prefat¸a.
1

Capitolul 1
Formula lui Taylor s¸i aplicat¸ii
Fie I un interval s¸i f : I → R o funct¸ie derivabilă de n ori în punctul a ∈ I.
Polinomul
(Tnf)(x) = f(a)+ x−a
1! f′ (a)+···+ (x−a)n
f
n!
(n) (a)
se numes¸te polinomul lui Taylor de gradul n, atas¸at funct¸iei f în punctula.
Cantitatea
(Rnf)(x) = f(x)−(Tnf)(x)
se numes¸te restul de ordinulnal formulei lui Taylor în punctulx.
Formula
f(x) = (Tnf)(x)+(Rnf)(x)
sau
f(x) = f(a)+ x−a
1!
f(a)+ (x−a)2
2!
f ′′ (a)+···+ (x−a)n
f
n!
(n) (a)+(Rnf)(x)
se numes¸te formula lui Taylor de ordinul n pentru funct¸ia f în vecinătatea punctuluia.
Pentru rest avem
(Rnf)(x) = (x−a)n
ω(x), cu limω(x)
= 0.
n! x→a
Dacăf ∈ C n+1 (I), atunci ∃θ ∈ (0,1) astfel încât
(restul în forma lui Lagrange)
(Rnf)(x) = (x−a)n+1 f (n+1) [a+θ(x−a)]
(n+1)!
(Rnf)(x) = (x−a)n+1 (1−θ) n f (n+1) [a+θ(x−a)]
n!
2

(restul în forma lui Cauchy)
(Rnf)(x) =
b
a
(x−t) n
f
n!
(n+1) (t)dt
(restul în formă integrală.
Dacă în formula lui Taylor se iaa = 0, se obt¸ine formula lui MacLaurin
unde
f(x) = f(0)+xf ′ (0)+···+ xn
n! f(n) (0)+(Rnf)(x),
(Rnf)(x) = xn+1
(n+1)! f(n+1) (θx), θ ∈ (0,1).
Dăm formulele lui Taylor (MacLaurin) pentru câteva funct¸ii uzuale
e x = 1+x+ x2
2!
sinx = x− x3
3!
cosx = 1− x2
2!
+···+ xn
n! +Rn(x); (1.1)
+ x5
5!
+ x4
4!
+···+(−1)n x2n+1
(2n+1)! +R2n+1(x); (1.2)
+···+(−1)n x2n
(2n)! +R2n(x); (1.3)
x3 xn
+ +···+(−1)n
ln(1+x) = x− x2
2 3 n+1 +Rn+1(x); (1.4)
(1+x) k
k k
= 1+ x+ x
1 2
2
k
+···+ x
n
n +Rn(x), (1.5)
unde
k
=
n
k(k −1)...(k −n+1)
Aplicat¸ii
.
n!
I. La determinarea punctelor de extrem s¸i inflexiune ale unor funct¸ii.
Teorema 1.0.1 Fief : I → R s¸i a ∈ I. Dacă f admite derivată de ordinul
n peI, continuă peI, s¸i dacă
atunci
f ′ (a) = f ′′ (a) = ··· = f (n−1) (a) = 0 s¸i f (n) (a) = 0
• dacăn = 2k s¸i f (n) (a) < 0, atunciaeste un punct de maxim relativ;
• dacăn = 2k s¸i f (n) (a) > 0, atunciaeste un punct de minim relativ;
3

4 Formula lui Taylor s¸i aplicat¸ii
• dacă n = 2k +1s¸i a este un punct interior, atunci a este un punct de
inflexiune.
II. Calculul aproximativ al funct¸iilor în unul din următoarele moduri:
(a) Fiind dat un punctx ∈ I, să se determine un număr naturaln(cât mai
mic posibil) astfel încât
|f(x)−(Tnf)(x)| < ε.
(b) Să se determină n astfel încât inegalitatea |f(x) − (Tnf)(x)| < ε să
fie satisfăcută în toate punctele unui interval.
(c) Fiind dat un număr natural n să se determine intervalul în care are loc
inegalitatea anterioară.
III. La calculul unor limite.
IV. La deducerea unor metode numerice.
Problema 1.0.2 Să se scrie formula lui MacLaurin pentru funct¸iaf : [−a,∞) →
R,f(x) = √ a+x,a > 0.
Solut¸ie. Scriem f(x) = √ a+x = √ a 1+ x
; se obt¸ine a
f(x) = √
a
1+ 1
2
x 1
+(−1)1
a 22 1
2!
x
2 2 1
+(−1)
a 23 +(−1) n−11·3·5...(2n−3)
n!2 n
1
x
3! a
x
a
3
n
+...
+(Rnf)(x) .
Problema 1.0.3 Să se scrie formula lui MacLaurin pentru funct¸ia f : R → R,
f(x) = arctanx. Care este raza de convergent¸ă?
Solut¸ie. Pornim de la
Folosind apoi formula
(arctanx) ′ = 1 1
=
1+x 2 2i
1 1
− .
x−i x+i
dn dxn
1
=
x+a
(−1)nn! (x+a) n+1,

se obt¸ine pentru valoarea derivatei de ordinuln+1în 0
(arctanx) (n+1) = x=0 1
2i (−1)n
1 1
n! −
(x−i) n+1 (x+i) n+1
x=0
=
(−1) n+1
1 1
n! −
(−i) n+1 (i) n+1
= (−1) n+1 n!sin(n+1) π
2 .
Formula MacLaurin corespunzătoare este
arctanx = x− x3
3
Raza de convergent¸ă este
+ x5
5
R = lim
n→∞
+... x2n+1
2n+1 +(Rn+1f)(x).
an
an+1
= 1.
Problema 1.0.4 Să se determine punctele de maxim s¸i de minim ale următoarelor
funct¸ii:
a) f : − 1
1
6 3 , → R,f(x) = 2x −x +3;
2 2
b) f : R → R, f(x) = 2cosx+x 2 .
Solut¸ie.
a) f ′ (x) = 12x 5 −3x 2 = 3x 2 (4x 3 −1) are rădăcinile realex1,2 = 0 s¸ix3,4,5 =
1
3√ 4 .
f ′′ (x) = 60x 4 −6x, f ′′ (0) = 0,
f ′′′ (x) = 240x 3 −6 = 6(40x 3 −1), f ′′′ (0) = −6 ⇒ 0 punct de inflexiune.
Funct¸ia nu are puncte de extrem pe − 1
2
, 1
2
b) f ′ (x) = −2sinx+x = 2(x−sinx), f ′ (0) = 0,
f ′′ (x) = −2cosx+2 = 2(1−cosx), f ′′ (0) = 0
f ′′′ (x) = 2sinx, f ′′′ (0) = 0,
f IV (x) = 2cosx, f IV (0) = 2.
x = 0 este punct de minim s¸i f(0) = 2.
Problema 1.0.5 Să se determine numărul natural n astfel ca pentru a = 0 s¸i
f : R → R, f(x) = e x Tnf să aproximezef în[−1,1] cu trei zecimale exacte.
.
5

6 Formula lui Taylor s¸i aplicat¸ii
Solut¸ie. Impunem condit¸ia
|(Rnf)(x)| =
x
n+1eθx
(n+1)! < 10−3 .
Deoarece θx < 1,eθx < e < 3, avem
x
n+1
(n+1)! eθx
<
3
(n+1)! < 10−3 ⇒ n = 6.
În particular, luândx = 1, obt¸inem
e− 1+ 1
1
+···+
1! 6!
< 1
1000 .
Problema 1.0.6 Să se aproximeze 3√ 999 cu 12 zecimale exacte.
Solut¸ie. Avem
3√
999 = 10 1− 1
1
3
.
1000
Folosim formula (1.5) pentru k = 1/3, x = − 1 . Într-o serie alternată modulul
1000
erorii este mai mic decât modulul primului termen neglijat.
1
|(Rnf)(x)| < 3
10
n
−3n
.
Pentru n = 4 avem
|(Rnf)(x)| < 10
243 10−12 =
1
24300000000000 .

Capitolul 2
Elemente de Analiză funct¸ională s¸i
teoria aproximării
2.1 Spat¸ii metrice, spat¸ii Banach, spat¸ii Hilbert
Problema 2.1.1 Spat¸iulsal s¸irurilor numerice în care distant¸a dintre
x = (x1,x2,...,xk,...) s¸i y = (y1,y2,...,yk,...) este dată de
d(x,y) =
este un spat¸iu metric complet.
∞
k=1
1
2k |xk −yk|
1+|xk −yk|
Solut¸ie. Pozitivitatea s¸i simetria se verifică imediat. Inegalitatea triunghiului:
este crescătoare pentru λ ≥ 0, de unde
funct¸iaϕ(2) = λ
λ+1
|α+β| |α|+|β|
≤
1+|α+β| 1+|α|+|β|
d(x,y) =
=
∞
k=1
∞
k=1
1
2k |xk −yk|
1+|xk −yk|
1
2k |xk −zk|
1+|xk −zk| +
= d(x,z)+d(y,z)
|α| |β|
≤ +
1+|α| 1+|β|
∞
k=1
1
2k |zk −yk|
1+|zk −yk|
Completitudinea: Convergent¸a însînseamnă convergent¸a pe componente.
xn = (x (n)
1 ,x(n)
2 ,...,x(n)
k ,...), x0 = (x (0)
1 ,x(0)
2 ,...,x(0)
k ,...)
7

8 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
1
2 k
|x (n)
k −x(0)
k |
1+|x (n)
k −x(0)
Din (2.1) rezultă că în
xn → x0 ⇔ lim x
n→∞ (n)
n = x(0)
k
k | ≤ d(xn,x0) → 0 ⇒ x (n)
k
S =
∞
k=1
1
2 k
|x (n)
k −x(0)
k |
1+|x (n)
k −x(0)
k |
→ x(0)
k
∀k ∈ N
(2.1)
se poate trece la limită termen cu termen deoarece S este uniform convergentă
(este majorată de seria numerică ∞ 1
k=1 2k ) fiecare termen tinzând la zero rezultă
d(xn,x0) → 0. Dacă(xn) este s¸ir Cauchy, atunci fiecare componentă este Cauchy.
= lim , k ∈ N.
Fiex (0)
k
n→∞ x(n)
k
x0 = (x (0)
1 ,...,x (0)
k ,...), xn → x0.
Observat¸ia 2.1.2 s este un spat¸iu vectorial topologic.
Problema 2.1.3 Asemănător se arată că C(K) este complet.
Demonstrat¸ie. Fie(xn) un s¸ir Cauchy înC(K).∀ε > 0∃Nε a.î.∀m,n ≥ Nε
d(xm,xn) = max
t∈K |xm(t)−xn(t)| < ε
∀t ∈ K |xm(t)−xn(t)| < ε (2.2)
Fixăm t ∈ K (xn(t)) s¸ir numeric Cauchy ⇒ ∃ lim
n→∞ xn(t) = x0(t) x0 ∈ C(K)?
xn → x0. Trecând la limită când m → ∞ în (2.2) obt¸inem
|x0(t)−xn(t)| ≤ ε
xn ⇉ x0 ⇔ xn → x0 înC(K) ⇒ x0 continuă
Problema 2.1.4 Spat¸iul Lc(X,Y) = B(X,Y) al aplicat¸iilor liniare s¸i continue
definite pe X cu valori în Y , unde X s¸i Y sunt spat¸ii liniare normate, este un
spat¸iu liniar normat. Dacă Y este spat¸iu Banach atunci s¸i Lc(X,Y) este spat¸iu
Banach.
Solut¸ie. FieU ∈ L(X,Y).

2.1. Spat¸ii metrice, spat¸ii Banach, spat¸ii Hilbert 9
Propozit¸ia 2.1.5 U continuu în x0 ∈ X ⇔ U continuu pe X. ( ⇒ ) Fie (xn),
xn → x (x,xn ∈ Ω)
( ⇐)evidentă.
xn = [x0 +(xn −x)]+(x−x0)
x0 +xn −x → x0
Uxn = U[x0 +(xn −x)]+U(x−x0) → U(x0)+U(x−x0)
Definit¸ia 2.1.6 U ∈ L(X,Y), X,Y spat¸ii liniare normate. U mărginit dacă
existăC ∈ R astfel încât
Teorema 2.1.7 U continuu ⇔ U mărginit.
∀x ∈ X Ux ≤ Cx (2.3)
Demonstrat¸ie.(⇒) U continuu, fieC0 = sup Ux < ∞ Într-adevăr dacă
x
x∈X
C0 = ∞, atunci există(xn) (xn ∈ X, xn = 1) astfel încâtλn = Uxn → ∞.
Fie (x ′ n ) x′ xn
n = x 2n ′ (cont)
n → 0 =⇒ Ux ′ n → 0, dar Ux′ n = 1 contradict¸ie. Fie
x = 0; x ∈ X s¸i x ′ = x
x ⇒ x′ = 1 Ux ′ ≤ C0; dar Ux ′ = 1
xUx Ux ≤ C0x, deci (2.3) este adevărată pentru C = C0. ( ⇐ ) (2.3) ⇒ U
continuă în 0 ⇒ U continuu peX.
În (2.3) luămC = C0 = U.
Ux ≤ Ux (2.4)
Dacă am stabilit o inegalitate de tipul (2.3) pentru un anumitC, atunciU ≤ C.
Să arătăm că Lc(X,U) ≤ L(X,Y) s¸i că este normat. Fie U1,U2 ∈ Lc(X,Y),
U = U1+U2. AvemUx ≤ U1x+U2x ≤ (U1+U2) s¸iλu = |λ|U.
U = 0 ⇒ Ux = 0 ∀x ∈ X ⇒ U = 0
Completitudinea(Un) Cauchy ⇒ ∀ ε > 0 ∃Nε : ∀m,n ∈ Nε
Um −Un < ε (2.5)
∀x ∈ X Umx−Unx < εx ⇒ (Unx) Cauchy (2.6)
complet.lui Y
=⇒ ∃Ux = lim
n→∞ Unx (x ∈ X); (2.5) ⇒ Ux−Unx = lim
m→∞ Umx−
Unxl ≤ εx ⇒ V = U −Un ∈ B(X,Y) ⇒ U = V +Un ∈ B(X,Y) (2.6)
⇒ U −Un ≤ ε ⇒ Un → U

10 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
Corolar 2.1.8 Dacă X,Y s.l.n. ⇒ Lc(X,Y) s.l.n.; X s.l.n., Y Banach ⇒
Lc(X,Y) Banach
Observat¸ia 2.1.9 Interpretarea geometrică a luiU - este marginea superioară
a coeficientului de dilatare al unui vector prin operatorulU.
Corolar 2.1.10 X ∗ este Banach.
f ∈ X ∗
X ∗ = Lc(X,K)
f = sup f(x)
x≤1
Observat¸ia 2.1.11 Dacă K = C, atunci(λf)(x) = λf(x).
Problema 2.1.12 FieC[a,b] s¸i f : C[a,b] → R.
f(x) =
n
ckx(tk)
t1,...,tn ∈ [a,b], ck ∈ R. Să se arate că f este liniară s¸i f = n
k=1 |ck|.
k=1
k=1
Solut¸ie. Liniaritatea este imediată.
n n
|f(x)| = ckx(tk) ≤ max |x(t)| |ck| =
t∈[a,b]
k=1
n
|ck|x
f continuă s¸i f ≤ n
k=1 |ck|
Să construim acum pe [a,b] o funct¸ie x, liniară pe port¸iuni, care ia în t1, t2,
..., tn valorile
x(tk) = signck, k = 1,n,
s¸i care să fie liniară pe intervalul [tk,tk+1], k = 1,n−1 s¸i constantă în [a,t1] s¸i
[tn,b] (vezi figura 2.1)
Evident |x(t)| ≤ 1, adicăx ≤ 1 s¸i
f = sup |f(x)| ≥ f(x) =
x≤1
n
ckx(tk) =
k=1
k=1
n
cknξnck =
k=1
n
|ck|
k=1

2.1. Spat¸ii metrice, spat¸ii Banach, spat¸ii Hilbert 11
Figura 2.1: Funct¸ia x din problema 2.1.12
Problema 2.1.13 Se consideră următoarele trei norme peR 2
x2 = (|x1| 2 +|x2| 2 ) 1/2 , x1 = |x1|+|x2|, x∞ = max{|x1|,|x2|}
Să se reprezinte grafic mult¸imile B1(0) în raport cu toate cele 3 norme. Să se
determine geometric cele mai mici constantea,b,c,d astfel încât
Solut¸ie. Avem inegalităt¸ile: √2
Graficele apar în figura 2.2.
ax1 ≤ x2 ≤ bx1,
cx∞ ≤ x2 ≤ dd∞.
2
≤ x2
x1
1 ≤ x2
x∞
Problema 2.1.14 FieC 1 [0,1] s¸i normele
f1 =
1
0
≤ 1
≤ √ 2
|f(t)|dt, f = sup |f(t)|
t∈[0,1]
f ′ = |f(0)|+ sup |f
t∈[0,1]
′ (t)|

12 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
Figura 2.2: Normele||.||2,||.||1 s¸i||.||∞
(a) Să se verifice că · ′ este normă peC 1 [0,1].
(b) Orice s¸ir convergent în norma· este convergent s¸i în norma·1; orice
s¸ir convergent în norma· ′ este convergent s¸i în norma·.
(c) Să se studieze convergent¸a s¸irurilorfn(t) = t n s¸i gn(t) = n −1 sinnt. Ce se
poate afirma despre cele trei norme?
Solut¸ie. a) f ′ ≥ 0 0 ′ = 0 f ′ = 0 ⇒ f(0) = 0, f ′ (t) = 0 ⇒
|f(t)| = |f(t)−f(0)| = |tf ′ (θ)| = 0 ⇒ f = 0
|λf ′ = |λf(0)|+ sup |λf
t∈[0,1]
′ (t)| = |λ|f ′
f +g ′ = |(f +g)(0)|+ sup |(f +g)
t∈[0,1]
′ (t)| ≤
≤ |f(0)|+|g(0)|+ sup (|f
t∈[0,1]
′ (t)|+|g ′ (t)|) ≤ f ′ +g ′
b) fn − f → 0 ⇒ sup |fn(t) − f(t)| → 0 ⇒
t∈[0,1]
1
0 |fn(t) − f(t)|dt → 0
fn → f în· ′ ⇒ fn−f ′ → 0 ⇒ |fn(0)−f(0)|+ sup
t∈[0,1]
|f ′ n(t)−f ′ (t)| →
0 ⇒ fn −f → 0 .
c) fn1
1
= t
0
n dt = 1
n+1
fn = sup t
t∈[0,1]
n ⎫
⎪⎬
= 1 ⎪⎭ ⇒ fn → 0 în · 1 fn → f în · ⇒
fn → f în ·1, adicăf = 0,f = 1 fn în·1 ⇒ nu converge în·
gn = sup |n
t∈[0,1]
−1 sinnt| ≤ n −1 gn ′ =
= |n −1 sin0|+ sup |cosnt| = 1
t∈[0,1]

2.2. Spat¸ii Hilbert 13
gn → 0 în ·1 s¸i · dar nu are limită în · ′ . f1 ≤ f ≤ f ′ , dar ele nu
sunt echivalente.
Problema 2.1.15 FiePspat¸iul liniar al polinoamelor cu coeficient¸i reali.
a) P(X) = a0 +a1X + ···+ anXn , atunci p(P) = |a0|+···+|an| este o
normă pePs¸ip(P1P2) ≤ p(P1)p(P2).
b) Aplicat¸ia ϕ : P → P, ϕ(P) = P ′ este o aplicat¸ie liniară care nu este
continuă fat¸ă de norma P .
c) Fie p1(P) = sup |P(x)|. Să se arate că p1 este o normă dar p s¸i p1 nu
x∈[−1,1]
sunt echivalente.
Solut¸ie. a)
(PQ)(x) = a0b0 +(a0b1 +a1b0)X +···+anbmX n+m
p(PQ) =
n+m
k=0
k
i=0
aibk−1
≤
n,m
i,j=0
|aibj| = p(P)p(Q)
b)Pn(x) = n−1Xn p(Pn) = n−1 Pn → 0 (înp) p(P ′ n ) = 1 P′ n 0
c) Se arată us¸or că p1(P) ≤ p(P) Presupunem că există C ≥ 0 astfel încât
p(P) ≤ Cp1(P), ∀p ∈ P . FiePn(x) = (n+1) −1 (1−x2 +x4 −···+(−1) nx2n )
p(Pn) = 1 Pn(x) = (n+1) −11+(−1)n x2n+2 1+x 2
n+1
P(p) = 2n+1
n+1
(P,·) este o algebră normată.
2.2 Spat¸ii Hilbert
2.2.1 Funct¸ionale liniare în spat¸ii Hilbert
p1(Pn) = (n+1) −1 ⇒ C ≥
Problema 2.2.1 Expresia generală a unei funct¸ionale liniare într-un spat¸iu Hilbert.
Solut¸ie. (H,〈·,·〉) spat¸iu Hilbert. Pentru y fixat 〈x,y〉 este o funct¸ională liniară,
continuă. Fie
f(x) = 〈x,y〉 (2.7)
|f(x)| = |〈x,y〉| ≤ xy ⇒ f ≤ y (2.8)
Să arătăm că funct¸ionalele de forma (2.7) sunt singurele din H s¸i că în (2.8)
are loc egalitatea.

14 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
Teorema 2.2.2 (Riesz) Pentru orice funct¸ională liniară s¸i continuă, definită pe
spat¸iul HilbertH,∃! y ∈ H astfel încât ∀x ∈ H,f(x) = 〈x,y〉 s¸i
f = y. (2.9)
Demonstrat¸ie. Fie H0 = {x ∈ H : f(x) = 0} = Kerf, f liniară s¸i continuă
⇒ H0 închis Dacă H0 = H ⇒ y = 0. Presupunem că H0 = H. Fie y0 ∈ H0.
Scriem y0 sub forma y0 = y ′ + y ′′ (y ′ ∈ H0, y ′′ ⊥ H0) Evident y ′′ = 0 s¸i
f(y ′′ ) = 0. Putem luaf(y ′′ ) = 1.
Observat¸ia 2.2.3 f(y0) = f(y ′ )
0
+f(y ′′ ) = f(y ′′ )
Putem lua f(y ′′ ) = 1. Să luăm x ∈ H s¸i punem f(x) = α. Elementul x ′ =
x−αy ′′ ∈ H0 căci
Deci
astfel încât
s¸i deci putem lua y =
f(x ′ ) = f(x)−αf(y ′′ ) = α−α = 0
〈x,y ′′ 〉 = 〈x ′ +αy ′′ ,y ′′ 〉 = α〈y ′′ ,y ′′ 〉+〈x ′ ,y ′′ 〉
f(x) = α =
y
x,
′′
〈y ′′ ,y ′′
〉
y ′′
〈y ′′ ,y ′′ 〉 . Unicitatea 〈x,y〉 = 〈x,y1〉 ⇒ 〈x,y −y1〉 = 0
deci y −y1 ⊥ H, posibil doar dacăy = y1. Pe de altă parte
Cazuri particulare.
f ≥ f
y
=
y
〈y,y〉
= y.
y
L2 [a,b] f(x) = 〈x,y〉 = b
a x(t)y(t)dt
l2 f(x) = 〈x,y〉 = ∞ k=1ξkη k
Rn f(x) = 〈x,y〉 = n k=1ξkη k
Problema 2.2.4 Să se arate că dualul unui spat¸iu Hilbert este tot un spat¸iu Hilbert.

2.3. Serii Fourier 15
Solut¸ie. X ∗ spat¸iu Banach. Să arătăm că norma este indusă de un produs scalar.
f,g ∈ X ∗ ⇒ ∃ x,y ∈ X astfel încât f(u) = 〈u,x〉,g(u) = 〈u,y〉, ∀ u ∈ X
Fie 〈f,g〉 = 〈y,x〉. Să arătăm că aplicat¸ia astfel definită verifică axiomele produsului
scalar.
〈f,f〉 = x 2 = f 2 ≥ 0
Fief ′ (u) = 〈u,x ′ 〉
〈f,g〉 ? = 〈g,f〉
(f +f ′ )(u) = f(u)+f ′ (u) = 〈u,x〉+〈u,x ′ 〉 = 〈u,x+x ′ 〉
〈f +f ′ ,g〉 = 〈y,x+x ′ 〉 = 〈y,x〉+〈y,x ′ 〉 = 〈f,g〉+〈f ′ ,g〉
2.3 Serii Fourier
(λf)(u) = λf(u) = 〈λu,x〉 = 〈u,λx〉
〈λf,g〉 = 〈y,λx〉 = λ〈y,x〉 = λ〈f,g〉
Fie un sistem ortonormal {xk} într-un spat¸iu Hilbert (H,〈·,·〉) s¸i x ∈ H. Numerele
ak = 〈x,xk〉, k ∈ N
se numesc coeficient¸i Fourier ai elementului x în raport cu sistemul considerat,
iar seria
∞
k=1
akxk
seria Fourier a elementuluix.
Considerăm subspat¸iulHn = L({x1,...,xn}).
Avem
Teorema 2.3.1 Suma part¸ialăsn = n
k=1 akxk a seriei Fourier a unui elementx
este proiect¸ia acelui element pe subspat¸iulHn.
Demonstrat¸ie. x = sn +(x−sn) s¸i pentru sn ∈ Hn este suficient să arătăm
căx−sn ⊥ Hn. x−sn ⊥ xk (x ⊥ E ⇒ x ⊥ L(E)) ⇒ x−sn ⊥ Hn.
Corolar 2.3.2 Pentru orice element
n
z =
avem
k=1
αkxk ∈ Hn
x−sn = d(x,Hn) ≤ x−z

16 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
Pe de altă parte
x 2 = sn 2 +x−sn 2 ≥ sn 2
sn 2 =
Corolar 2.3.3 (Inegalitatea lui Bessel)
n
k=1
Trecând la limită pentru n → ∞
∞
k=1
n
|ak| 2
k=1
|ak| 2 ≤ x 2 .
|ak| 2 ≤ x 2
(2.10)
(2.11)
(2.12)
Dacă în (2.12) are loc egalitate pentru x ∈ X spunem că este verificată egalitatea
lui Parseval sau ecuat¸ia de închidere.
Teorema 2.3.4 Seria Fourier a oricărui element x ∈ H converge întotdeauna s¸i
suma sa este proiect¸ia lui H pe H0 = L({xk}). Pentru ca suma seriei Fourier să
fie egală cu un element dat x, este necesar s¸i suficient ca ecuat¸ia de închidere să
fie verificată pentru acel element.
Demonstrat¸ie. (2.12) ⇒ n
k=1 |ak| 2 convergentă. Pentru sumele part¸iale se
obt¸ine
sn+p −sn 2 =
n+p
k=n+1
|ak| 2 n→∞
−→ 0 ⇒ convergent¸a seriei Fourier
Fie s = ∞ k=1akxk. Deoarece s ∈ H0 s¸i x = s + x − s putem arăta ca în
demonstrat¸ia teoremei 2.3.1 că x − s ⊥ H0. T¸ inând cont de (2.11), (2.10) se
rescrie
n
|ak| 2 ⇒ concluzia.
x−sn 2 = x 2 −
k=1
Dacă {xk} este complet, H0 = H s¸i ∀ x ∈ H proiect¸ia lui x pe H0 coincide
cu X.
Corolar 2.3.5 Dacă {xk} este complet∀x ∈ H seria sa Fourier converge la x.

2.3. Serii Fourier 17
Spunem că sistemul ortonormal{xk} este închis dacă ecuat¸ia de închidere este
verificată pentru oricex ∈ H.
Corolar 2.3.6 {xk} închis ⇔ {xk} complet.
Demonstrat¸ie. Teorema 2 ⇒ ecuat¸ia de închidere are loc ∀ x ∈ H0, deci
închiderea este echivalentă cu H0 = H, adică completitudinea.
Exemplul 2.3.7 Să se determine seria Fourier trigonometrică pentru funct¸ia:
Solut¸ie. Funct¸iile de bază sunt
iar coeficient¸ii
f(x) = |x|, −π < x < π
x0 = 1
√ 2π ,...,xk = 1
√ π coskx, yk = 1
√ π sinkx,...,
ak = 1
π
√
π −π
π
bk = 1
√ π
−π
π
a0 =
−π
π
ak = 1
√
π
bk = 1
√
π
f(x) 1
√ dx =
2π
−π
π
−π
f(x)coskxdx,
f(x)sinkxdx,
√ 2π 2
2 √ π ,
|x|coskxdx = 2
π
√ xcoskx =
π 0
2
√ [(−1)
πk k −1],
|x|sinkxdx = 0.
sn(x) = π 2
+
2 π
n
k=1
(−1) k −1
k 2
coskx.
Observat¸ia 2.3.8 Seria Fourier trigonometrică pe[−l,l] are expresia:
sn = a0
2 +
akcos nπx nπx
+bksin ,
l l
iar coeficient¸ii sunt dat¸i de formulele
ak = 1
l
l
−l
f(x)cos nπx
l dx,
bk = 1
l
f(x)sin
l −l
nπx
l dx.

18 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
Problema 2.3.9 Fief(x) = x 2 . Se cere seria sa Fourier pe[−π,π].
Solut¸ie.
Pentru x = π
an = 1
π
π −π
π
x
0
2 cosnxdx = x2nknx π
x 2 cosnxdx = 2
x
π 0
2 cosnxdx
n
π
−
0
2
π
xnknxdx =
n 0
= − 2
−x
n
cosnx
n
π
+
0
1
π
cosnxdx =
n 0
= − 2
−π
n
cosnπ 1sinnx
+
n n n
π
=
0
2π 2π
cosnπ =
n2 n2(−1)n a0 = 1
π
n
k=1
π
−π
1 π2
=
n2 6 .
x 2 dx = 2
π
x 2 = π3
3 +4
π
0
∞
n=1
x 2 dx = 2 π
π
3
3
(−1) ncosnx
n 2
Problema 2.3.10 Dezvoltat¸if(x) = x pe[−π,π] s¸i[0,2π].
Solut¸ie.
bn = 2
π
π
0
xsinnx = 2
π
⇒ x = 2
−x cosnx
n
∞
n=1
2.4 Polinoame ortogonale
π
0
= 2
3 π2
+ 1
π
cosnxdx =
4 0
2(−1)n+1
n
(−1) n−1sinnx
n
2.4.1 Calculul polinoamelor ortogonale
Se poate da o metodă generală de construire a unei familii de polinoame ortogonale
în raport cu orice funct¸ie pondere pe un interval finit [a,b] sau pe o mult¸ime
finită de puncte (în cazul unei mult¸imi finite, familia va fi de asemenea finită). Se
poate aplica procedeul Gramm-Schmidt mult¸imii{1,x,x 2 ,...}, dar procedeul nu

2.4. Polinoame ortogonale 19
face uz de proprietăt¸ile algebrice ale polinoamelor s¸i este sensibil la erorile de rotunjire.
Fie {Q0,Q1,...,Qn−1} o familie ortonormală de polinoame, astfel încât gradul
luiQi să fieis¸i fieQ n ⊥ Qi, i = 0,n−1.
Să considerăm polinomul
Q n(x)−αxQn−1(x)
Pentru o alegere convenabilă a lui α = 0, acest polinom are gradul ≤ n−1,
deci
n−1
Qn −αxQn−1 =
i=0
αiQi
Dacă 〈Q n,Qi〉 > 0 pentru oricei = 0,n−1 trebuie să avem
0 = 〈Q n,Qn−1〉 = α〈xQn−1,Qn−1〉+αn−1
(2.13)
0 = 〈Q n,Qn−2〉 = α〈xQn−1,Qn−2〉+αn−2
Putem alege α = 1, deoarece înmult¸irea cu o constantă nu afectează ortogonalitatea.
Deci αn−1 s¸i αn−2 se pot obt¸ine din ecuat¸iile de mai sus. Aplicând
rat¸ionamente similare lui Qi pentru i < n−2 obt¸inem αi = 0 pentru i < n−2.
Aceasta sugerează următoarea formulă de recurent¸ă pentru calculul lui Q n:
s¸i
Q n(x) = (x+an)Qn−1(x)+bnQn−2(x), n ≥ 2 (2.14)
Qn = Q n
Qn
an = −〈xQn−1,Qn−1〉 (2.15)
bn = −〈xQn−1,Qn−2〉 (2.16)
Se verifică că pentru an s¸i bn astfel determinate avem 〈Q n,Qi〉 = 0, i =
0,n−2 s¸i căQ n cu an s¸ibn determinate de (2.15) s¸i (2.16) este unic determinat.
Deci (2.14) ne dă o formulă de recurent¸ă pentru calculul polinoamelor ortogonale
(ortonormale) în L 2 w [a,b]. Vom începe punând Q0 = b0, unde b0 este o
constantă astfe încât Q0 = 1 s¸i luăm Q 1 = (x+a1)Q0. Din
se determină
s¸i se continuă.
〈Q 1,Q0〉 = 〈xQ0,Q0〉+a1 = 0
a1 = −〈xQ0,Q0〉
Exemplul 2.4.1 Pentru polinoamele Cebîs¸ev I aplicând (2.14)-(2.16) se obt¸ine
Tn(x) = 2xTn−1(x)−Tn−2(x).

20 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
2.4.2 Exemple de polinoame ortogonale
I. Polinoamele lui Cebîs¸ev de spet¸a I
Tn(t) = cos(narccost), t ∈ [−1,1]
Ele sunt ortogonale pe[−1,1] în raport cu pondereaw(t) = 1
√ 1−t 2 .
1
−1
Are loc relat¸ia de recurent¸ă
II. Polinoamele lui Hermite
∞
−∞
⎧
Tm(t)Tn(t)
⎨
√ dt =
1−t 2 ⎩
0, m = n
π,
m = n = 0 2
π, m = n = 0
Tn+1(t) = 2tTn(t)−Tn−1(t)
T0(t) = 1, T1(t) = t
hn(t) = (−1) n dn
t2
e
dtn(e−t2), t ∈ R
a = −∞, b = ∞, w(t) = e −t
e −t2
hm(t)hn(t)dt =
III. Polinoamele lui Laguerre
∞
IV. Polinoamele lui Hermite
0
0, m = n
2 n n! √ π, m = n
hn+1(t) = 2thn(t)−2nhn−1(t)
h0(t) = 1, h1(t) = 2t
gn(t) = et d
n!
n
dtn(tn e −t )
a = 0, b = ∞, w(t) = e −t
e −t
0, m = n
gm(t)gn(t)dt =
1, m = n
gn+1(t) = 2n+1−t
gn(t)−ngn−1(t)
n+1
g0(t) = 1, g1(t) = 1−t
w(t) = e −t2
pe R (a = −∞, b = ∞)

2.4. Polinoame ortogonale 21
∞
−∞
e −t2
0, m = n
hn(t)hn(t) =
2nn! √ π, m = n
hn(t) = (−1) n dn t2
e
dtn(e−t2), t ∈ R
hn+1(t) = 2thn(t)−2nhn−1(t)
h0(t) = 1, h1(t) = 2t
Proprietăt¸i ale polinoamelor ortogonale
P1. Rădăcini reale, distincte, situate în(a,b).
P2. Relat¸ia de recurent¸ă dată de ecuat¸iile (2.14), (2.15) s¸i (2.16).
P3. pn ⊥ Pn−1, pn = minp
p∈Pn
P4. Caracterizarea cu ajutorul ecuat¸iilor diferent¸iale.
Fie Pn = {p0,...,pn} o mult¸ime de polinoame ortogonale pe intervalul[a,b]
în raport cu pondereaw.
Avem
b
a
w(t)pi(t)t k dt = 0, i = 1,...,n, k = 0,...,i−1. (2.17)
Se consideră funct¸iaUi astfel încât
Din (2.17) se obt¸ine
b
Se integrează dek+1 ori prin părt¸i
a
w(t)pi(t) = U (i)
i (t), i = 1,n
U (i)
i (t)tk dt = 0, k = 0,...,i−1
[U (i−1)
i (t)t k −kU (i−2)
i (t)t k−1 +···+(−1) k k!U (i−k−1)
i (t)] b c
pentruk = 0,1,...,i−1condit¸ii satisfăcute dacă
Întrucât 1
diferent¸iale
w U(i)
U (i−1)
i (a) = U (i−2)
i (a) = ··· = Ui(a) = 0
U (i−1)
i (b) = U (i−2)
i (b) = ··· = Ui(b) = 0
= 0
(2.18)
i = pi ∈ Pi, funct¸ia Ui poate fi obt¸inută ca solut¸ie a ecuat¸iei
d i+1
dt i+1
1
w(t) U(i) i (t)
= 0
de ordinul2i+1 cu condit¸iile la limită (2.18).

22 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
Deci Ui se determină până la o constantă multiplicativă:
pi(t) = Ai
w(t) U(i)
i (t)
ConstantaAi se poate determina impunând condit¸ii suplimentare, de exemplu
ortonormalitate b
w(t)p 2 i(t)dt = 1
a
pn(x) = (x−2n)pn−1(x)−µnpn−2(x)
µn =
pn−1 2
pn−22, λn = 〈xpn−1,pn−1〉
pn−12 Problema 2.4.2 Polinoamele Cebîs¸ev de spet¸a I
Stabilit¸i proprietăt¸ile următoare:
Tn(x) = cosnarccosx
Tn+1(x)−2xTn(x)+Tn−1(x) = 0 (2.19)
Tn(Tn(x)) = Tnm(x) = Tm(Tn(x)) (2.20)
Tn(2x 2 −1) = 2Tn(x) 2 −1 (2.21)
Tn(x)Tm(x) = 1
2 (Tn+m(x)+Tm−n(x)), dacă m ≥ n (2.22)
Tn(x)dx = 1
Tn+1(x) Tn−1(x)
− , dacă n > 1 (2.23)
2 n+1 n−1
Tn(x) = 1
2 (Qn(x)−Qn−2(x)) dacă Qn(x) = sin(n+1)θ
;
sinθ
(2.24)
cu x = cosθ (polinom Cebîs¸ev de spet¸a a II-a)
2 n−1 x n =
n
Tn−2k(x), n ≥ 1
k
(2.25)
∞
t n Tn(x) =
m=0
∞
t n Un(x) =
n=0
0≤k≤ n
2
d
dx Tn(x) = nUn−1(x), n ≥ 1 (2.26)
1−xt
1−2xt+t 2,
pentru |t| < 1 (funct¸ia generatoare) (2.27)
1
1−2xt+t 2, pentru |t| < 1, |x| < 1 (2.28)

2.4. Polinoame ortogonale 23
Solut¸ie. (2.19)-(2.24) s¸i (2.26) cu ajutorul formulelor trigonometrice uzua-
le. (2.25) se obt¸ine dezvoltând x n = (cosθ) n =
n eiθ +e−iθ 2
s¸i făcând să apară
Tn−2k(x). Funct¸iile generatoare se obt¸in ca pentru polinoamele Legendre (vezi
problema 2.4.7).
Problema 2.4.3
1. . Zerourile polinoamelor Cebîs¸ev de spet¸a I sunt
ξj := ξ (n)
2j −1
j = cos
2n π
, j = 1,n.
În [-1,1] existăn+1extreme
ηk := η (n)
k := cos kπ
, k = 0,n
n
undeTn are un minim sau un maxim local. În aceste puncte
Tn(ηk) = (−1) k , k = 1,n
s¸i Tn ∞ = 1 pe [−1,1]. Zerourile s¸i extremele polinoamelor Cebîs¸ev sunt
foarte importante ca noduri de interpolare. În raport cu produsul scalar
n+1
(f,g)T := f(ξk)g(ξk)
k=1
unde {ξ1,...,ξn+1} este mult¸imea zerourilor lui Tn+1 are loc următoarea
proprietate ⎧
⎨ 0, i = j
n+1
(Ti,Tj) T = , i = j = 0 .
⎩ 2
n+1, i = j = 0
2. În raport cu produsul scalar
(f,g) U := 1
1
f(η0)g(η0)+f(η1)g(η1)+···+f(ηn−1)g(ηn−1)+
2 2 f(ηn)g(ηn)
n′′
= f(ηk)g(ηk),
k=0
unde {η0,...,ηn} este mult¸imea extremelor lui Tn, are loc o propritate similară
⎧
⎨ 0, i = j
n
(Ti,Tj) U = , i = j = 0
⎩ 2 .
n, i = j = 0

24 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
Solut¸ie. Avem arccosξk = 2k−1π,
k = 1,n+1. Să calculăm acum produsul
2n+2
scalar:
(Ti,Tj) T = (cosiarccost,cosjarccost) T =
n+1
= cos(iarccosξk)cos(jarccosξk) =
k=1
n+1
2k −1
= cos i
2(n+1)
k=1
π
2k −1
cos j
2(n+1) π
=
= 1 n+1
2k −1 2k −1
cos(i+j) π +cos(i−j)
2 2(n+1) 2(n+1) π
=
k=1
= 1 n+1
i+j 1 n+1
i−j
cos(2k−1) π + cos(2k −1)
2 2(n+1) 2 2(n+1) π.
k=1
Notămα = i+j i−j
π, β = π s¸i
2(n+1) 2(n+1)
Deoarece
S1 = 1
n+1
2
k=1
S2 = 1 n+1
2
k=1
k=1
cos(2k −1)α,
cos(2k −1)β.
2sinαS1 = sin2(n+1)α,
2sinβS2 = sin2(n+1)β,
se obt¸ineS1 = 0 s¸iS2 = 0. Cealaltă proprietate se demonstrează analog.
Problema 2.4.4 Polinoame Cebîs¸ev de spet¸a a II-a.
Definit¸ia 2.4.5 Qn ∈ Pn dat de
Qn(t) = sin[(n+1)arccost]
√ , t ∈ [−1,1]
1−t 2
se numes¸te polinomul lui Cebîs¸ev de spet¸a a II-a.
Qn = 1
n+1 T′ n+1 (t), t ∈ [−1,1]

2.4. Polinoame ortogonale 25
1
−1
Qn = 1
2nQn, Qn
∈ Pn
√
1−t 2 0 pentru m = n
Qm(t)Qn(t)dt =
pentru m = n
PolinoameleQm, m = 0,1,2,... sunt ortogonale pe[−1,1] în raport cu ponderea
w(t) = √ 1−t 2 .
Are loc relat¸ia de recurent¸ă
π
2
Qn+1(t) = 2tQn(t)−Qn−1(t)
Ea rezultă imediat din relat¸ia sin(n + 2)θ + sinnθ = 2cosθsin(n + 1)θ. Dăm
primele 4 polinoame ortogonale:
Q0(t) = 1
Q1(t) = 2t
Q2(t) = 4t 2 −1
Q3(t) = 8t 3 −4t
Q4(t) = 16t 4 −12t 2 +1
Pentru alte intervale se face schimbarea de variabilă x = 1
2 [(b−a)x+a+b].
Polinoame Cebîs¸ev s¸i economizarea seriilor de puteri
Polinoamele Cebîs¸ev de spet¸a I pot fi utilizate pentru a reduce gradul unui
polinom de aproximare cu o pierdere minimă de precizie. Această tehnică este
utilă când se utilizează pentru aproximare polinomul Taylor. Des¸i polinoamele
Taylor sunt foarte precise în vecinătatea punctului în care se face dezvoltarea,
dacă ne îndepărtăm de acel punct precizia se deteriorează rapid. Din acest motiv,
pentru a atinge precizia dorită este nevoie de polinoame Taylor de grad mai mare.
Deoarece polinoamele Cebîs¸ev de spet¸a I au cea mai mică normă Cebîs¸ev pe un
interval, ele pot fi utilizate pentru a reduce gradul polinomului Taylor fără a depăs¸i
gradul de tolerant¸ă admis.
Exemplul 2.4.6 f(x) = e x poate fi aproximată pe [−1,1] prin polinomul Taylor
de grad 4 în jurul lui 0.
P4(x) = 1+x+ x2
2!
R4(x) = |f(ξ) (ξ(x))||x 5 |
5!
+ x3
3!
+ x4
4!
≤ e
≈ 0.023, x ∈ [−1,1]
120

26 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
Să presupunem că eroarea esteε = 0.05 s¸i că dorim să înlocuim termenul din
polinomul Taylor care îl cont¸ine pex 4 cu un polinom Cebîs¸ev de grad ≤ 4.
Să deducem reprezentarea luix k cu ajutorul polinoamelor Cebîs¸ev.
s¸i
Deci
Tn+1 = 2tTn −Tn−1
T0(t) = 1
T1(t) = t
T2(t) = 2t 2 −1
T3(t) = 4t 3 −3t 2
T4(t) = 8t 4 −8t 2 +1
k Tk xk 0 1 T0
1
2
x
2x
T1
2 −1
1
2T0 + 1
2T2 3 4x3 3
−3x 4T1 + 1
4T3 4 8x4 −8x2 3 +1 8T0 + 1
2T2 + 1
8T4 5 16x5 −20x3 5 +5x 8T1 + 5
16T3 + 1
16T5 6 32x6 −48x4 +18x2 5 −1 16T0 + 15
32T2 + 3
16T4 + 1
32T6 P4(x) = 1+x+ 1
2 x2 + 1
6 x3 + 1
24
3
8
1 1
T0(x)+ T2(x)+
2 8 T4(x)
= 1+x+ 1
2 x2 + 1
6 x3 + 1 1 1
T0(x)+ T2(x)+
64 48 192 T4(x)
= 191 13
+x+
192 24 x2 + 1
6 x3 + 1
192 T4(x)
max
x∈[−1,1] |T4(x)| = 1
1
192
T4(x)
1
≤ = 0.0053
192
|R4(x)|+
1
192
T4(x)
≤ 0.023+0.0053 = 0.0283 < 0.05
Deci termenul de grad 4, 1
192 T4(x), poate fi omis fără a afecta precizia dorită.
Polinomul de grad 3
P3(x) = 191 13
+x+
192 24 x2 + 1
6 x3

2.4. Polinoame ortogonale 27
ne dă precizia dorită pe[−1,1].
Încercăm să eliminăm termenul de grad 3 înlocuindx 3 cu 3
4
P3(x) = 191 13
+x+
192 24 x2 + 1
3 1
T1(x)+
6 4 4 T3(x)
= 191
192
9 13
+ x+
8
max
x∈[−1,1]
24 x2 + 1
24 T3(x)
1
24
T3(x)
= 0.0417
0.0417+0.0283 ≈ 0.07 > 0.5
T1(x)+ 1
4 T3(x).
Deci P3 de mai sus ne dă polinomul de grad cel mai mic pentru această aproximare.
Problema 2.4.7 Polinoamele lui Legendre
Arătat¸i că
Ln(x) = 1
2n d
n!
n
dxn[(x2 −1) n ] (formula lui Rodrigues)
Ln ∈ Pn s¸i 〈Ln,Lm〉 L 2 [−1,1] = 2
2n+1 δnm
(2.29)
nLn(x) = (2n−1)xLn−1(x)−(n−1)Ln−2(x) (2.30)
Ln(x) = 1(2n)!
2 n (n!) 2xn +... (2.31)
Ln(1) = 1, Ln(−1) = (−1) n , (2.32)
Ln este par pentrunimpar s¸i impar pentrunpar
L ′ n (x) = xL′ n−1 (x)+nLn−1(x) (2.33)
L ′ n (x)−L′ n−2 (x) = (2n−1)Ln−1(x)
(x 2 −1)L ′ n (x) = n(xLn(x)−Ln−1(x))
∞
t n Ln(x) =
n=0
1
√ 1−2xt+t 2
Solut¸ie. (2.29) Presupunem căn ≥ m,
pentru |t| < 1 (2.34)
〈Ln,Lm〉 L2 = 1
2n 1
Lm(x)
n! −1
d
dxn[(x2 −1) n ]dx

28 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
Integrând succesiv prin părt¸i de obt¸ine
〈Ln,Lm〉 = 1
2n 1
d
n! −1
n
dxn(Lm(x))(x 2 −1) n dx
care este nulă pentrun > m, iar pentrun = m
(−1)n
LnL2 =
2nn! 1
(x
−1
2 −1) n dx = 2
2n+1
(2.30), (2.31), (2.32) se verifică simplu. (2.33) se obt¸ine direct din
L ′ n(x) = 1
2n d
n!
n+1
dxn+1[(x2 −1) n ] = 1
2n d
n!
n
dxn(n·2x(x2 −1) n−1 )
= xL ′ n−1 (x)+nLn−1(x)
Din formula de recurent¸ă se obt¸ine
nL ′ n(x) = (2n−1)Ln−1(x)+(2n−1)xL ′ n−1(x)−(n−1)L ′ n−2(x),
de unde eliminândL ′ n :
s¸i prin urmare
EliminândL ′ n−2
xL ′ n−1 (x)−L′ n−2 (x) = (n−1)Ln−1(x)
se obt¸ine
L ′ n(x)−L ′ n−2(x) = (2n−1)Ln−1(x)
(x 2 −1)L ′ n−1(x) = (n−1)[xLn−1(x)−Ln−2(x)]
(6) Fie C un contur închis în C ce nu cont¸ine în interiorul său ±1, dar cont¸ine pe
z; după formulele lui Cauchy s¸i Rodrigues
Ln(z) = 1
2πi
C
(t 2 −1) n
2 n (t−z) n+1dt
punând 1
Z = t2 −1 1
adicăt = 1−
2(t−z) Z
√ 1−2zZ +Z 2
avem
Ln(z) =
C1
1 1
2πizn+1
1
√
1−2zZ +Z 2 dZ

2.4. Polinoame ortogonale 29
undeC1 este imaginea luiC prin schimbareat → Z de unde
s¸i pentru |t| < 1
Ln(z) = 1 d
n!
n
dZn
1
√
1−2zZ +Z 2
z=0
∞
t n Ln(z) =
n=0
1
√ 1−zt+t 2
Problema 2.4.8 Să se arate că polinoamele ortogonale în raport cu w(x) = √ x
(respectiv1/ √ x) pe(0,1) sunt
√ √
qn(x) = L2n+1 x / x
respectiv
√
qn(x) = L2n x
Solut¸ie. Rezultatul se obt¸ine prin schimbarea de variabilă t = 1
√ x (respectiv
t = √ x) utilizând proprietăt¸ile (1) s¸i (4) din exercit¸iul precedent.
Problema 2.4.9 Polinoamele lui Hermite
(1) Arătat¸i că
(2)
(3)
cu w(x) = e−x2 .
Hn(x) = (−1) n dn x2
e
dxn(e−x2 )
Hn ∈ Pn s¸i 〈Hn,Hm〉 L 2 n(R) = 2 n n! √ πδnm
Hn(x)−2xHn−1(x)+(2n−2)Hn−2(x) = 0
H0 = 1, H1(x) = 2x
Hn(x) = 2 n x n +...
Hn este o funct¸ie pară sau impară după cum n este par sau impar.
H2k(0) = (−1) k(2k)!
k!

30 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
H ′ n−1 (x) = 2xHn−1(x)−Hn(x), H ′ n (x) = 2nHn−1(x)
∞
n=0
Hn(x) =
2 n x n =
0≤k≤ n
2
0≤k≤ n
2
t n
n! Hn(x) = e 2tx−t2
2 n/2 Hn
x+y
√ =
2
(−1) kn! (2x)
k!
n−2k
(n−2k)!
n!
k!(n−2k)! Hn−2k(x)
|t| < 1 (funct¸ie generatoare)
n
k=0
n
Hk(x)Hn−k(y)
k
Solut¸ie. Proprietăt¸ile (1), (2), (3), (4), (5), (7) rezultă din definit¸ia lui Hn procedând
ca la problema 2.4.2. Proprietatea (6) se obt¸ine dezvoltând (2x) n în serie
Fourier.
(2x) n n
= ((2x) n , Hk) Hk(x)
k=0
unde Hk sunt polinoamele ortonormale Hermite, evaluând produsul scalar(x n , Hk).
Proprietatea (8) se obt¸ine cu ajutorul funct¸iei generatoare
e 2tx−t2
e 2tx−t2
adică pentru|t| < 1
Hn(x) tn
n!
∞
Hn(y)
n=0
tn
n!
= e 2
t √ 2 x+y
√ −(t
2
√ 2) 2
=
∞
n=0
Hn
s¸i identificând coeficient¸ii luit n din cei doi membri.
Problema 2.4.10 Polinoamele asociate ale lui Laguerre
l α n (x) = ex x −α
n!
x+y
√ t
2
√ n 1
2
n!
d n
dx n(xn+α e −x ) pentru α > −1.

2.4. Polinoame ortogonale 31
(1) Arătat¸i că
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
l α n ∈ Pn s¸i 〈l α n ,lα Γ(n+α+1)
m 〉 =
n!
(înL2 w(0,∞) cuw(x) = xαe−x ) undeΓ(s) este funct¸iaΓalui Euler definită
prin
Γ(s) =
∞
t
0
s−1 e −t dt (s > 0)
nl α n (x)−(2n−1+α−x)lα n−1 (x)+(n−1−α)lα n−2 (x) = 0
l α+1
n (x)−l α+1
n−1 (x) = lα n (x)
d
dx lα n(x) = −l α+1
n−1(x), x d
dx lα n(x) = nl α n(x)−(n+α)l α n−1(x)
∞
n=0
l α n (x) =
x n
n! =
t n l α n (x) =
n
(−1) k
n+α
x
n−k
k /k!
k=0
n
(−1) k
n+α
l
n−k
α k
k=0
1 xt
1−t |t| < 1 (f.gen.)
(1−t) α+1e−
H2n(x) = (−1) n 2 2n n!l −1/1
n (x 2 )
H2n+1(x) = (−1) n 2 2n+1 n!xl 1/2
n (x2 )
Solut¸ie. (1)-(7) se deduc utilizând tehnici analoage celor din exercit¸iile precedente.
(8) se obt¸ine dezvoltând în serieHn(x) s¸il α n(x).
Problema 2.4.11 (Ecuat¸ia diferent¸ială verificată de polinoamele ortogonale) Fie
w o funct¸ie pozitivă pe[a,b] astfel încât
w ′ (x)
w(x) =
A0 +A1x
B0 +B1x+B2x 2
s¸i lim
x→a+
w(x)(B0 +B1x+B2x
(sau x→b−)
2 ) = 0
(2.35)
(B0+B1x+B2x 2 )p ′′ n +(A0+A1x+B1+B2x)p ′ n −(A1n+B2n(n+1))pn = 0 (2.36)

32 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
Aplicat¸ie. Stabilit¸i ecuat¸iile diferent¸iale corespunzătoare ponderii
w(x) = (1−x) α (1+x)β, α > −1, β > −1, [a,b] = [−1,1] (polinoamele
Jacobi pn(α,β))
(1−x 2 )p ′′ n −((α−β)+(α+β +2)x)p ′ n −n(α+β +1+n)pn = 0
în particular pentru polinoamele Cebîs¸ev de spet¸a I
s¸i pentru polinoamele lui LegendreLn
(1−x 2 )T ′′
n −xT′ n (x)+n2 Tn(x) = 0
(1−x 2 )L ′′ n(x)−2xL ′ n(x)+Ln(x) = 0
w(x) = e−x2 peR, polinoamele lui HermiteHn
H ′′
n (x)−2xH′ n (x)+2nHn(x) = 0
w(x) = x α e −x pe(0,∞),α > 1, polinoamele lui Laguerrel α n
xp ′′ n (x)+(α−1−x)p′ n (x)+npn(x) = 0
undepn(x) = lα n(x).
Solut¸ie. Dacă v(x) = w(x)(B0 + B1x + B2x2 ) ecuat¸ia diferent¸ială (2.36)
înmult¸ită cu w(x), t¸inând cont de (2.35) se scrie sub forma Sturm-Liouville
de unde
d
dx
v(x) dpn(x)
dx
= (A1n +B2n(n+1))pn(x)w(x)
d
dx [r(x)(p′ n(x)pm(x)−p ′ m(x)pn(x))] =
= {A1(n−m)+B2[n(n+1)−m(m+1)]}pn(x)pm(x)w(x)}
Integrând pe[a,b] se obt¸ine
b
a
pn(x)pm(x)w(x)dx = 0 pentru n = m
s¸i se verifică existent¸a unei solut¸ii polinomiale a lui (2) de grad n; prin urmare
(pn)n≥0 constituie sistemul de polinoame ortogonale pe [a,b] relativ la ponderea
w. 2. Verificare prin calcul.
Problema 2.4.12 Fie w o funct¸ie pondere pozitivă pe [a,b], E = L 2 w[a,b] s¸i (pn)
polinoamele ortonormale asociate.

2.4. Polinoame ortogonale 33
(1) Arătat¸i că ∀f ∈ E
∞
n=0
(f,pn) 2 ≤ f 2 E
(2.37)
(inegalitatea lui Bessel) cu egalitate (a lui Parseval) dacă spat¸iul vectorial
P al polinoamelor este dens în E în care caz
este serie convergentă înE.
f =
∞
〈f,pn〉pn,
n=0
(2) P este dens înE dacă [a,b] este mărginit.
(3) Polinomul de cea mai bună aproximare de gradnaluif în E este
qn(x) =
n
(f,pk)pk(x) s¸i qn(x) = f(x)
k=0
în cel put¸inn+1 puncte din[a,b].
Solut¸ie.
(1) Rezultă imediat de la curs.
(2) P este dens înC 0 [a,b] pentru [a,b] mărginit s¸i
fE = f∞
b
a
w(x)dx
1/2
(3) qn este caracterizat prin(f−qn,pk) = 0 pentruk = 0,n în particular pentru
k = 0 b
(f(x)−qn(x))p0(x)w(x)dx = 0
a
deci f −sn se anulează în cel put¸in într-un punct din [a,b]. Dacă f −qn se
anulează în mai put¸in de n+1 puncte x1,...,xl din [a,b] cu l ≤ n atunci
dacă
l
s(x) = (x−xi),
i=1
s(x)(f(x)−qn(x)) păstrează semn constant s¸i deci〈f −qn,s〉 = 0 ceea ce
contrazice faptul că f −qn ⊥ Pn în L 2 w [a,b]

34 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
Teorema 2.4.13 (Cebîs¸ev) Pentru orice f ∈ C[a,b] există P ∗ d s¸i există d + 2
puncte
a ≤ x0 < ··· < xd+1 ≤ b
pentru care
(−1) i [p ∗ d(xi)−f(xi)] = σP ∗ d−f ∞ , i = 0,1,...,d+1
undeσ = sign(P ∗ d(x0)−f(x0)).
Problema 2.4.14 Să se determine p.c.b.a. unif. din P1 pentru f(x) = √ x pe
[a,b] ⊂ R+.
Solut¸ie.
Eroarea de aproximare este
P ∗ 1 = c0 +c1x
e1(x) = c0 +c1x− √ x
e ′ 1(x) = c1 − 1
2 √ x
xn = 1
4c 2 1
Conform teoremei lui Cebîs¸ev abaterea maximă se realizează în 3 puncte din[a,b]
s¸i obt¸inem sistemul neliniar
cu solut¸iile
⎧
⎨
⎩
c0 +c1a− √ a = E1
2 − = −E1 c1
c0 + 1
4c1
c0 +c1b− √ 3 = E1
c0 = 1
√ √
√a− a a+ b
√ √ +
2 a+ b 4
c1 =
1
√ a+ √ b
E1 = c0 +c1a− √ a
,

Capitolul 3
Teoria erorilor
Definit¸ia 3.0.15 Aplicat¸ia A : X → P(X) se numes¸te procedeu de aproximare,
iara ∈ A(α) aproximantă pentruα.
F = {mb n |m,n ∈ Z, b ∈ N, b > 1} numere practice (fract¸iib-adice limitate)
F densă.
Regula de rotunjire - rotunjire la cifră pară
Surse de erori
1) Erori ale problemei - erori de formulare; apar datorită simplificării s¸i idealizării
problemei. Erori ale metodei - apar datorită faptului că se lucrează cu
aproximări.
2) Erori reziduale - expresiile unor valori din analiza matematică rezultă din
procese infinite, iar noi lucrăm cu un număr finit de pas¸i.
sinx = x− x3
3!
+ x5
5! −...
3) Erori init¸iale - datorate parametrilor de intrare - erori fizice s¸i de măsurare
4) Erori de rotunjire - datorate sistemelor de numerat¸ie s¸i lucrului cu un număr
finit de zecimale
1
= 0.333 ∆ ≈ 3·10−4
3
5) Erori ale operat¸iilor - lucrând cu numere aproximative erorile se propagă -
erori inerente.
35

36 Teoria erorilor
3.1 Erori absolute s¸i relative. Cifre semnificative corecte
Exemplul 3.1.1 Să se determine o limită a erorii absolute dacă se lucrează cu
3.14 în loc deπ.
3.14 < π < 3.15 |a−π| < 0.01 ∆a = 0.01
Exemplul 3.1.2 Greutatea unui dm 3 de apă la 0 ◦ C este G = 999.847gf ±
0.001gf. Să se determine o limită a erorii relative.
∆a = 0.001 G ≥ 999.846
δa = 0.001
999.847 ≈ 10−4 %
Cifre semnificative
= 0
0 între cifre semnificative sau marcator de pozit¸ie
0 nesemnificativ - când fixează pozit¸ia mărcii zecimale
0 007010 2003 000 000
α = α0b k +a1b n−1 +···+αn−1b k−n+1 +αnb k−n
Definit¸ia 3.1.3 Spunem că a ≈ α cu n cifre semnificative corecte dacă
|∆a| ≤ 1
2 bk−n+1
Dacă b = 10 s¸i|∆a| ≤ 1
2 10−m spunem că a ≈ α cu m zecimale corecte.
Teorema 3.1.4 Dacă a este obt¸inut din α prin rotunjire la n cifre atunci a aproximează
peαcu n cifre semnificative corecte.
Exemplul 3.1.5 Rotunjind
π = 3.1415926535...
la 5, 4, 3 cifre semnificative corecte obt¸inem aproximat¸iile
3.1416, 3.142, 3.14
1
2 10−4 ,
1
2 10−3 ,
1
2 10−2

3.2. Propagarea erorilor 37
Teorema 3.1.6 Fiea,α ∈ R+. Dacăaaproximează peα cumcifre semnificative
corecte, undea0 este cifra cea mai semnificativă a luiaîn baza b, atunci
δa ≤ 1
a0b n−1
Exemplul 3.1.7 Care este o limită a erorii relative dacă lucrăm cu 3.14 în loc de
π?
a0 = 3, n = 3
1 1 1
δa = = =
3·10 3−1 300 3 %
Exemplul 3.1.8 Câte cifre trebuie considerate la calculul lui √ 20 astfel încât
eroarea să nu depăs¸ească 0.1%?
a0 = 4, δ = 0.001
1
4·10 n−1 ≤ 0.001, 10n−1 ≥ 250 ⇒ n = 4
Invers, numărul de cifre corecte
Teorema 3.1.9 α ∈ R+, a aproximează peαs¸i
δa ≤
1
2(α0 +1)b n−1,
unde α0 este cifra cea mai semnificativă a lui α atunci a aproximează pe α cu n
cifre semnificative corecte.
Exemplul 3.1.10 a ≈ α, a = 24253, eroarea relativă 1%. Câte cifre semnificative
corecte are∆ = 24253 : 0.0 ≈ 243 = 2.43·10 2 ⇒ 2 cifre
3.2 Propagarea erorilor
u = f(x1,...,xn)
∆u ≈
∂f
∂xi
∆xi
|∆u| ≈
∂f
∂xi
|∆xi|
δn ≈
∂
lnf
∂xi
∆xi ≈
∂
xi lnf
∂xi
δxi

38 Teoria erorilor
Exemplul 3.2.1 Găsit¸i o limită a erorii absolute s¸i relative pentru volumul sferei
cu diametrul egal cu 3.7cm±0.04cm s¸i π ≈ 3.14.
V = πd3
6
∂V
∂π
= 1
6 d3 = 8.44
∂V 1
=
∂d 2 πd2 = 21.5
∆V =
∂V
∂π
|∆π|+
∂V
∂d
|∆d| = 8.44+21.5·0.05 ≈ 1.088 ≈ 1.1
∆V = 1.0888
274
≈ 4%
Exemplul 3.2.2 (Se aplică principiul efectelor egale) Un cilindru are raza R ≈
2m, înălt¸inea H ≈ 3m. Cu ce erori absolute trebuie determinate R s¸i H astfel
încâtV să poată fi calculat cu o eroare< 0.1m 3 .
V = πR 2 H, ∆V = 0.1m 3
∂V
∂π = R2 H = 12,
∂V
∂R
= 2πRH = 37.7
∂V
∂H = πR2 = 12.6, n = 3
∆π ≈ ∆V
3 ∂V
∂π
= 0.1
< 0.003
3.12
∆R ≈ 0.1
< 0.001
3·37.7
∆H ≈ 0.1
< 0.003
3·12.6
3.3 Erorile pentru vectori s¸i operatori
Problema 3.3.1 Care este eroarea pentru d
f(u)du când funct¸ia f este aproxi-
c
mată prin f.
T = max
ε(x)∞=1
Tf =
d
c
d
c
ε(x)dx
f(u)du, T : L 2 [c,d] → R
= max
{ε(x)|max
[c,d] |ε(x)|=1}
d
c
ε(x)dx
= d−c

3.3. Erorile pentru vectori s¸i operatori 39
f(x)−f(x)∞ := ε(x) = max |ε(x)| ≤ bf
x∈[c,d]
∆T ≤ (d−c)bf
Sx(T) = Tx
Tx
= max
ε=0 ρx,ε
Problema 3.3.2 Să se studieze senzitivitatea operatorului aditiv
Solut¸ie. Fie
În general
Dacă u s¸i v au acelas¸i semn
U(u,v) = u+v, T : (R 2 ,·1) → (R,||)
(u,v) = (2,3)
S2,3(T) = |2|+|3|
|2+3|
Sx(T) = |u|+|v|
|u+v|
Sx(T) = 1
Dacă u s¸i v au semne opuse|u+v| < |u|+|v| s¸iSx(T) > 1.
Senzitivitatea poate fi făcută oricât de mare pentruus¸iv de semne contrare s¸i
apropiate în modul
u = 0.5, v = −0.499999
∆u,∆v < 10 −6
= 1
Sx(T) ≈ 0.000002
≈ 2·10−6
0.999999
Concluzie. ε rel.ies¸ire> 106 ·eroarea rel. de intrare
Morala: evitarea scăderii cantităt¸ilor apropiate
Problema 3.3.3 Indicat¸i o modalitate de a evita anularea pentru
1)e x −1 |x| ≪ 1
2) √ x+1− √ x x ≫ 0
Problema 3.3.4 Să se determine numărul de condit¸ionare pentru operatorul T :
R 2 → R 2
x
y
T
→
x+y
x+2y

40 Teoria erorilor
Solut¸ie.
Tx =
1 1
1 2
×
1 1
1 2
−1
=
A∞ = 3 A −1 ∞ = 3
cond∞(T) = 9
3.4 Aritmetică în virgulă flotantă
2 −1
−1 1
Problema 3.4.1 Să se compare următoarele două metode pentru calculul luix 2 −
y 2 :
x⊗x⊖y ⊗y,
(x⊕y)⊗(x⊖y).
Solut¸ie. Eroarea relativă pentru x⊖y este
Altfel scris
La fel
δx⊖y = δ1 = [(x⊖y)−(x−y)]/(x−y)]
|δ1| ≤ 2ε
x⊖y = (x−y)(1+δ1) |δ1| ≤ 2ε
x⊕y = (x+y)(1+δ2) |δ2| ≤ 2ε
Presupunând că înmult¸irea se realizează calculând produsul exact s¸i apoi efectuând
rotunjirea, eroarea relativă este cel mult1/2 ulp, deci
Se iau = x⊖y,v = x⊕y
u⊗v = uv(1+δ3) |δ3| ≤ ε ∀u,v ∈ NVF
(x⊖y)⊗(x⊕y) = (x−y)(1+δ1)(x+y)(1+δ2)(1+δ3)
Eroarea relativă este
(x⊖y)⊗(x⊕y)−(x 2 −y 2 )
(x 2 −y 2 )
= (1+δ1)(1+δ2)(1+δ3)−1 =
= δ1 +δ2 +δ3 +δ1δ2 +δ1δ3 +δ2δ3 +δ1δ2δ3 < 5ε+8ε 2 ≈ 5ε

3.4. Aritmetică în virgulă flotantă 41
Pentru cealaltă variantă
(x⊗x)⊖(y ⊗y) = [x 2 (1+δ1)−y 2 (1+δ2)](1+δ3) =
= [(x 2 −y 2 )(1+δ1)+(δ1 −δ2)y 2 ](1+δ3)
Dacă x ≈ y ⇒ (δ1 − δ2)y 2 ≈ x 2 − y 2 , atunci (x − y)(x+y) este mai precis
decât x 2 −y 2
δ = (x⊗x)⊖(y ⊗y)−(x2 −y 2 )
x 2 −y 2
= (1+δ1)(1+δ3)+ (δ1 −δ2)(1+δ3)y 2
x 2 −y 2
−1
= δ1 +δ3 +δ1δ3 + y2
x 2 −y 2(δ1 −δ2 +δ1δ3 −δ2δ3).
Problema 3.4.2 ( Conversia binar zecimal (scriere s¸i apoi citire))
Pentru precizie simplă avem p = 24 s¸i 2 24 < 10 8 deci 8 cifre par suficiente
pentru a recupera numărul original (totus¸i nu este as¸a!). Când un număr binar
IEEE simplă precizie este convertit la cel mai apropiat număr zecimal de 8 cifre,
nu este întotdeauna posibil să recuperăm unic numărul binar din cel zecimal.
Dacă se utilizează nouă cifre, totus¸i, conversia numărul zecimal în binar va recupera
numărul flotant originar.
Demonstrat¸ie. Numerele binare în simplă precizie din intervalul [10 3 ,2 10 ) =
[1000,1024) au zece bit¸i în stânga mărcii zecimale s¸i 14 la dreapta. Există deci
(2 10 − 10 3 ) = 393216 numere binare diferite în acest interval. Dacă numerele
zecimale sunt reprezentate cu 8 cifre avem(2 10 −10 3 )10 4 = 240000 numere zecimale
în acest interval. Deci nu există nici o modalitate de a reprezenta prin 240000
de numere zecimale 393216 numere binare diferite. 8 cifre sunt insuficiente!
Pentru a arăta că nouă cifre sunt suficiente trebuie să arătăm că spat¸iul dintre
numerele binare este întotdeauna mai mare decât cel dintre numerele zecimale.
Aceasta ne asigură că, pentru fiecare număr zecimal posibil, intervalul de forma
N − 1 1
ulp,N +
2 2 ulp
cont¸ine cel put¸in un număr binar. Astfel, fiecare număr
binar se rotunjes¸te la un număr zecimal unic, care ne conduce la un număr binar
unic.
Pentru a arăta că spat¸iul dintre numerele zecimale este întotdeauna mai mic
decât spat¸iul dintre numerele binare să considerăm intervalul [10 n ,10 n+1 ]. Pe
acest interval, spat¸iul dintre două numere zecimale consecutive este 10 (n+1)−9 .

42 Teoria erorilor
În intervalul [10 n ,2 m ] unde m este cel mai mic întreg astfel ca 10 n < 2 m , spat¸iul
dintre numerele binare este2 m−24 .
Inegalitatea
10 (n+1)−9 < 2 m−2n
rezultă astfel:
10 n < 2 m
10 (n+1)−9 = 10 n 10 −8 < 2 m 10 −8 < 2 m 2 −24
Observat¸ia 3.4.3 Spat¸iul dintre 2 numere zecimale este mai mic decât 10 −9 ·
10 n+1 = 10 n+1−9 = 10 n−8 , iar spat¸iul dintre 2 numere binare este mai mare
decât2 m ·2 −24 = 2 m−24 .
Problema 3.4.4 În multe probleme, cum ar fi integrarea numerică s¸i rezolvarea
numerică a ecuat¸iilor diferent¸iale, este nevoie să se însumeze mai mult¸i termeni.
Deoarece fiecare adunare poate introduce o eroare ≈ 1/2ulp, o sumă cu mii
de termeni poate introduce o eroare de rotunjire foarte mare. Să se arate că un
mod simplu de a mics¸ora eroarea este de a efectua sumarea în dublă precizie s¸i
celelalte calcule în simplă precizie.
Solut¸ie. Pentru a da o estimare grosieră a modului în care reprezentarea în
dublă precizie îmbunătăt¸es¸te acuratet¸ea fie s1 = x1, s2 = x1 ⊕ x2,..., si =
si−1 ⊕xi. Atunci
si = (1+δi)(si−1 +xi),
unde|δi| ≤ ε.
sn = (1 = δn)(sn−1 +xn) = (1+δn)sn−1 +(1+δn)xn
= (1+δn)(1+δn−1)(sn−2 +xn−1)+(1+δn)xn
= (1+δn)(1+δn−1)sn−2 +(1+δn)(1+δn−1xn−1 +(1+δn)xn = ...
= (1+δn)xn +(1+δn)(1+δn−1)xn−1 +···+(1+δn)...(1+δ1)x1
n
n
n n
n
≈ 1+ δk) = xj +
j=1
xj
k=j
j=1
j=1
xj
k=j
∆x1 ≈ nε ∆x2 ≈ (n−1)ε,...,∆xn ≈ ε
∆sn ≤ nε |xj|
Dublarea precizie are ca efect ridicarea la pătrat a lui ε. Pentru dublă precizie
1/ε ≈ 10 16 deci nε ≪ 1 pentru orice valoare rezonabilă a luin.
δk

3.4. Aritmetică în virgulă flotantă 43
Concluzie. Dublarea preciziei schimbă perturbat¸ia dinnε în nε 2 ≪ ε.
Există o metodă de însumare în simplă precizie a unui număr mare de numere,
introdusă de Kahan.
Ea utilizează aceeas¸i strategie ca însumarea directă, dar la fiecare operat¸ie de
adunare eroarea de rotunjire este estimată s¸i compensată cu un termen de corect¸ie.
Principiul de estimare este explicat în figura 3.1, unde semnificant¸ii termenilor a
s¸ibsunt reprezentat¸i prin dreptunghiuri. El poate fi reprezentat prin formula
e = ((a⊕b)⊖a)⊖b = (s⊖a)⊖b. (3.1)
Astfel, într-o aritmetică binară cu rotunjire, pentrua ≥ b are loc
e = s−(a+b);
deci, eroarea de rotunjire este dată exact de (3.1).
a a1 a2
b b1 b2
s := a⊕b a1 a2 +b1
t := s⊖a b1 0
e := t⊖b −b2
Figura 3.1: Estimarea erorii de rotunjires−s = −b2
Pentru însumare compensată la fiecare pas eroarea de însumare este estimată
în conformitate cu principiul lui Kahan s¸i utilizată pentru ajustare (algoritmul 1).
Algoritmul 1 Însumare Kahan
s := x1;
e := 0;
fori = 2 to n do
y := xi −e;
t := s+y;
e := (t−s)−y;
s := t
end for

44 Teoria erorilor
Problema 3.4.5 (Însumare Kahan) Eroarea de rotunjire pentru algoritmul 1 poate
fi estimată prin
|sn −sn| ≤ 2eps+O neps 2 n
|xi|. (3.2)
Solut¸ie. Să vedem întâi cum s-a obt¸inut estimat¸ia pentru formula xi. Introducen
s1 = x1,si = (1+δi)(si−1+xi). Atunci suma calculată estesn, care este o sumă
de termeni de formaxi înmult¸it cu o expresie înδj-uri. Coeficientul exact al luix1
este(1+δ2)(1+δ3)...(1+δn). Deci prin renumerotare, coeficientul luix2 este
(1 + δ3)(1 + δ4)...(1 + δn) s¸.a.m.d. Se procedează la fel ca la problema 3.4.4,
doar coeficientul lui x1 este mai complicat. Avems0 = e0 = 0 s¸i
yk = xk ⊖ck−1 = (xk −ck−1)(1+ηk)
sk = sk−1 ⊕yk = (sk−1 +yk)(1+σk)
ek = (sk ⊖sk−1)⊖yk = [(sk −sk−1)(1+γk)−yk](1+δk)
unde toate literele greces¸ti sunt mărginite de eps. Este mai us¸or să calculăm coeficientul
luix1 însk −ek s¸i ek decât însk. Când k = 1,
e1 = (s1(1+γ1)−γ1)(1+δ1) = y1((1+σ1)(1+γ1)−1)(1+δ1)
= x1(σ1 +γ1 +σ1γ −1)(1+δ1)(1+η1)
s1 −c1 = x1[(1+σ1)−(σ1 +γ1 +σ1γ1)(1+δ1)](1+η1)
i=1
= x1[1−γ1 −σ1δ1 −σ1γ1 −δ1γ1 −σ1γ1δ1](1+η1).
Notând coeficient¸ii luix1 în aceste expresii cu Ek s¸i respectivSk, atunci
E1 = 2eps+O(eps 2 )
S1 = 1+η1 −γ1 +4eps 2 +O(eps 3 ).
Pentru a obt¸ine formula generală pentru Sk s¸i Ek, dezvoltăm definit¸iile lui sk s¸i
ek, ignorând tot¸i termenii în xi cu i > 1. Aceasta ne dă
sk = (sk−1 +yk)(1+σk) = [sk−1 +(xk −ek−1)(1+ηk)](1+σk)
= [(sk−1 −ek−1)−ηkek−1](1+σk)
ek = [(sk −sk−1)(1+γk)−yk](1+δk)
= {[((sk−1 −ek−1)−ηkek−1)(1+σk)−sk−1](1+γk)+ek−1(1+ηk)}
(1+δk)

3.4. Aritmetică în virgulă flotantă 45
= {[(sk−1 −ek−1)σk −ηkek−1(1+σk)−ek−1](1+γk)+ek−1(1+ηk)}
(1+δk)
= [(sk−1−ek−1)σk(1+γk)−ek−1(γk +ηk(σk +γk +σkγk))](1+δk)
sk −ek = ((sk−1 −ek−1)−ηkek−1)(1+σk)−
[(sk−1 −ek−1)σk(1+γk)−ek−1(γk +ηk(σk +γk +σkγk))](1+δk)
= (sk−1−ek−1)((1+σk)−σk(1+γk)(1+δk))+
ck−1(−ηk(1+σk)+(γk +ηk(σk +γk +σkγk))(1+δk))
= (sk−1−ek−1)(1−σk(σk +γk +σkγk))+
ek−1[−ηk +γk +ηk(γk +σkγk)+(γk +ηk(σk +γk +σkγk))δk]
Deoarece Sk s¸i Ek trebuie calculate cu precizia eps 2 , ignorând termenii de grad
mai mare avem
Ek = σk +O(eps 2 ) Sk−1 + −γk +O(eps 2 ) Ek−1,
Sk = 1+2eps 2 +O(eps 2 ) Sk−1 + 2eps+O(eps 2 ) Ek−1.
Utilizând aceste formule se obt¸ine
C2 = σ2 +O(eps 2 )
S2 = 1+η1 −γ1 +10eps 2 +O(eps 3 )
s¸i, în general, se verifică us¸or prin indict¸ie că
Ck = σk +O(eps 2 )
Sk = 1+η1 −γ1 +(4k +2)eps 2 +O(eps 3 ).
În final vom calcula coeficientul lui x1 dinsk. Pentru a obt¸ine această valoare, fie
xn+1 = 0 s¸i toate literele greces¸ti cu indiciin+1 egale cu zero s¸i calculăm sn+1.
Atunci sn+1 = sn −cn s¸i coeficientul lui x1 în sn este mai mic decât coeficientul
luisn+1, care este
Sn = 1+η1 −γ1 +(4n+2)eps 2 +O(neps 2 ).
Marginea (3.2) este o îmbunătăt¸ire semnificativă fat¸ă de însumarea obis¸nuită,
cu condit¸ia cansă nu fie suficient de mare, dar nu este la fel de bună ca însumarea
în dublă precizie.
Un exemplu de expresie care poate fi rescrisă utilizând anularea benignă este
(1+x) n , undex ≪ 1.

46 Teoria erorilor
Problema 3.4.6 Depunând 100$ pe zi într-un cont cu o rată a dobânzii de 6%
calculată zilnic la sfârs¸itul anului avem 100[(1+i/n)−1]/(i/n)$.
Dacă p = 2 s¸i p = 24 (ca în IEEE) obt¸inem 37615.45$ care comparat cu
răspunsul exact, 37614.05$ dă o discrepant¸ă de 1.40$. Explicat¸i fenomenul.
Solut¸ie. Expresia1+i/n implică adăugarea unui 1 la 0.0001643836, deci bit¸ii
de ordin mic ai lui i/n se pierd. Această eroare de rotunjire este amplificată când
(1+i/n) este ridicat la puterea an−a. Expresia(1+i/n) n se rescrie sub forma
exp[nln(1 + i/n)]. Problema este acum calculul lui ln(1 + x) pentru x mic. O
posibilitate ar fi să utilizăm aproximarealn(1+x) ≃ x s¸i se obt¸ine 37617.26$ cu
o eroare de 3.21$ deci mai mare decât în situat¸ia anterioară. Rezultatul de mai jos
ne permite să calculăm precis ln(1+x)(37614.67$, eroarea 2c). Se presupune că
LN(x) aproximează lnx cu o precizie ≤ 1/2ulp. Problema care o rezolvă este
aceea că atunci cândxeste micLN(1⊕x) nu este apropiat deln(1+x) deoarece
1⊕xnu este precis. Adică valoarea calculată pentru ln(1+x) nu este apropiată
de valoarea actuală când x ≤ 1.
I. Dacă ln(1+x) se calculează utilizând formula
⎧
⎪⎨
ln(1+x) =
⎪⎩
x dacă 1⊕x = 1
xln(1+x)
(1+x)−1
dacă 1⊕x = 1
eroarea relativă este cel mult 5ε când 0 ≤ x < 3/4 cu condit¸ia ca scăderea să se
realizeze cu o cifră de gardă,ε < 0.1 s¸i ln este calculat cu o precizie de1/2ulp.
Această formulă este operat¸ională pentru orice valoare a luix, dar este interesantă
dacăx ≪ 1, când apare anulare catastrofală în formula naivă pentru calculul
luiln(1+x). Des¸i formula pare misterioasă ea are o explicat¸ie simplă.
ln(1+x) = xln(1+x)
x
= xµ(x)
µ(x) = ln(1+x)
x
va suferi o eroare mare când se adaugă 1 la x. Totus¸i µ este aproape constantă
deoarece ln(1+x) ≃ x. Deci dacăxse schimbă put¸in eroarea va fi mică. Cu alte
cuvinte, dacă x ≃ x, xµ(x) va fi o aproximare bună pentru xµ(x) = ln(1 + x).
Există o valoare pentru x astfel încât x +1 să poată fi calculat precis? Deci x =
(1⊕x)⊖1, deoarece în acest caz 1+ x = 1⊕x.
Lema 3.4.7 Dacă µ(x) = ln(1+x)
, atunci pentru0 ≤ x ≤
x
3
4
1/2 ≤ µ(x) ≤ 1 s¸i |µ ′ (x)| ≤ 1/2.

3.4. Aritmetică în virgulă flotantă 47
Demonstrat¸ie.µ(x) = 1−x/2+x 2 /3−... este o serie alternată cu termeni
descrescători, deci pentrux ≤ 1,
µ(x) ≥ 1− x
2
≥ 1/2 s¸i µ(x) ≤ 1.
Seria Taylor a lui µ ′ (x) este de asemenea alternată s¸i dacă x ≤ 3
, termenii
4
sunt descrescători deci
−1/2 ≤ µ ′ (x) ≤ − 1 2x
+
2 3
Demonstrat¸ia teoremei.
ln(1+x) = x− x2
2
+ x3
3
sau − 1
2 ≤ µ′ (x) ≤ 0.
−... (Taylor)
alternată s¸i0 < x−ln(1+x) < x2
x
,δ pentruln(1+x) ≈ x < . Dacă1⊕x = 1,
2 2
atunci|x| < ε, deci δ < ε
2 .
Dacă 1⊕x = 1, fie x definit prin1⊕x = 1+x
0 ≤ x < 1 ⇒ (1⊕x)⊖1 = x. Dacă împărt¸irea s¸i logaritmul se calculează
cu o precizie de1/2ulp
adică
ln(1⊕x)
(1⊕x)⊖1 (1+δ1)(1+δ2) =
ln(1+ x)
(1+δ1)(1+δ2) =
x
= µ(x)(1+δ1)(1+δ2); |δ1| ≤ ε, |δ2| ≤ ε
µ(x)−µ(x) = (x−x)µ(ξ) ξ ∈ (x,x)
Din definit¸ia lui x, |x−x| ≤ ε. Aplicăm
|µ(x)−µ(x)| ≤ ε
2
sau
µ(x)
µ(x)
−1
≤
µ(x) = µ(x)(1+δ3), |δ3| ≤ ε
ε
≤ ε
2|µ(x)|
xln(1+x)
(1+x)−1 (1+δ1)(1+δ2)(1+δ3)(1+δ4), |δi| ≤ ε
Dacă ε > 0.1 atunci
cu |δ| < 5ε.
(1+δ1)(1+δ2)(1+δ3)(1+δ4) = 1+δ

48 Teoria erorilor
Problema 3.4.8 Dacă b2 ≈ 4ac, eroarea de rotunjire poate contamina jumătate
din cifrele rădăcinii calculate cu formula −b±√b 2 −4ac
(β = 2).
2c
Solut¸ie. Dacă eroarea relativă estenε atunci numărul de cifre contaminat este
log βn.
((b⊗b)⊖(3a⊗c) = (b 2 (1+δ1)−4ac(1+δ2))(1+δ3) =
= (d(1+δ1)−4ac(δ1 −δ2)(1+δ3)).
Pentru a estima eroarea vom ignora termenii de ordinul doi înδi, eroarea fiind
d(δ1 +δ3)−4acδn, |δ4| = |δ1 −δ2| ≤ 2ε
Deoarece δ ≪ 4ac, primul termend(δ1 +δ3) poate fi ignorat. Pentru a estima
al treilea termen scriem
deci ax1x2 = c
unde
ax 2 +bx+c = a(x−x1)(x−x2),
b 2 ≈ 4ac ⇒ x1 ≈ x2 ⇒ 4acδ4 ≈ 4a 2 x 2 1 δ4
Valoarea calculată pentru √ d este d+4a 2 x 2 1δ4.
Aplicăm inegalitatea
p−q ≤ p 2 −q 2 ≤ p 2 +q 2 ≤ p+q, p ≥ q.
Obt¸inem d+4a 2 x1δ4 = √ d+E
|E| ≤
4a 2 x 2 1 |δn|
√ δn.
deci eroarea absolută pentru √ d este aproximativx1
2a
Deoarece δ4 ≈ β−p , √ δ4 ≈ β−p/2 s¸i deci această eroare absolută contaminează
jumătate din bit¸ii rădăciniix1 = x2.
3.5 Condit¸ionarea unei probleme
Exemplul 3.5.1 (Recurent¸e) Calculăm
1
In =
0
tn dt pentrun ∈ N
t+5

3.5. Condit¸ionarea unei probleme 49
1
I0 =
0
dt
t+5
t
t+5
= ln(t+5)
= 1− 5
t+5
1
0
= ln 6
5
(3.3)
Ik = −5Ik−1 + 1
, k = 1,2,...,n (3.4)
k
y0 = I0, yn = In
yn = fn(I0)
y0 → fn → yn
fn : R → R
Ne interesează condit¸ionarea lui fn în y0 = I0. Rezultatul final va fi o aproxi-
) s¸i vom avea
I
∗ n −In
= (condfn)(I0)
I
∗ 0 −I0
mareI ∗ n = fn(I ∗ 0
Aplicând (3.4) obt¸inem
In
I0
yn = fn(y0) = (−5) n y0 +pn,
cu pn independent dey0.
(condfn)(y0) =
y0f
′
(y0)
=
y0(−5)
n
.
Deoarece In este descrescător
yn
n I05
(condfn)(I0) =
In
> I0 ·5 n
I0
yn
= 5 n
Spunem că avem de-a face cu o problemă prost condit¸ionată. Cum putem evita
fenomenul?
În loc să înmult¸im cu un număr mare, mai bine împărt¸im cu un număr mare.
Scriem (3.4) astfel
yk−1 = 1
5
1
k −yk
, k = ν,ν −1,...,n+1
Problema este, desigur, cum să calculăm valoarea de pornireyν.
Înainte de a începe cu aceasta să observăm că avem o nouă cutie neagră

50 Teoria erorilor
yν → gn → yn
1
yν
−5 (condgn)(yν) =
yn
Pentru yν = Iν, avem folosind monotonia
I ∗ n −In
In
(condgn)(Iν) <
= (condgn)(Iν)
−ν−n
,
ν > n.
ν−n 1
, ν > n
5
I ∗ ν −Iν
Iν
<
ν−n 1
5
I ∗ ν −Iν
Dacă luămI ∗ ν = 0, comit¸ând o eroare de 100% în valoarea de pornire obt¸inem
eroarea relativă
I ∗ n −In
In
<
ν−n 1
, ν > n
5
Dacă alegemν suficient de mare, de exemplu
ν > n+
ln 1
ε
ln5
Iν
(3.5)
eroarea relativă este < ε. Avem deci următorul algoritm pentru calculul lui In: se
dă preciziaε, se alegen, cel mai mic întreg care satisface (3.5) s¸i se calculează
Inν ∗ = 0
I ∗ k−1
= 1
5
1
k −I∗
k , k = ν,ν −1,...,n+1
(3.6)
Aceasta va produce o aproximat¸ie suficient de precisă I ∗ n ≈ In chiar în prezent¸a
erorilor de rotunjire din (3.6).
Idei similare se pot aplica s¸i la problema mai importantă a calculării solut¸iilor
unor recurent¸e liniare de ordinul II, cum ar fi cele satisfăcute de funct¸iile Bessel
s¸i de multe alte funct¸ii ale fizicii matematice. Procedura recurent¸elor regresive
(retrograde) este strâns legată de teoria fract¸iilor continue.
Problema 3.5.2 (Condit¸ionarea ecuat¸iilor algebrice) Fie ecuat¸ia:
p(x) = x n +an−1x n−1 +···+a1x+a0 = 0, a0 = 0 (3.7)
s¸i ξ o rădăcină simplă a ei:
p(ξ) = 0, p ′ (ξ) = 0.

3.5. Condit¸ionarea unei probleme 51
Problema este de a se determinaξ, dându-sep. Vectorul de date
a = [a0,a1,...,an−1] T ∈ R n
constă din coeficient¸ii polinomuluip, iar rezultatul esteξ, un număr real sau complex.
Astfel avem:
Care este condit¸ionarea luiξ?
Solut¸ie. Definim
γν = (condνξ)(a) =
ξ : R n → C, ξ = ξ(a0,a1,...,an−1)
aν ∂ξ
∂aν
ξ
Vom alege o normă convenabilă, de exemplu norma
n−1
γ1 := |γν|
,
ν = 0,1,...,n−1 (3.8)
ν=0
a vectoruluiγ = [γ0,...,γn−1] T , pentru a defini
n−1
(condξ)(a) = (condνξ)(a) (3.9)
ν=0
Pentru a determina derivatele part¸iale ale lui ξ în raport cu aν, observăm că
avem identitatea:
[ξ(a0,a1,...,an−1)] n +an−1[ξ(a0,a1,...,an−1)] n−1 +···+
+aν[ξ(a0,a1,...,an−1)] ν +···+a0 = 0.
Derivând în raport cu aν obt¸inem
n−1 ∂ξ
n[ξ(a0,a1,...,an−1)]
∂aν
n−2 ∂ξ
+an−1(n−1)[ξ(a0,a1,...,an−1)]
∂aν
+···+
ν−1 ∂ξ ∂ξ
+aνν[ξ(a0,a1,...,an−1)] +···+a1 +[ξ(a0,a1,...,an−1)]
∂aν ∂aν
ν ≡ 0
unde ultimul termen provine din derivarea produsuluiaνξ ν .
Ultima identitate se poate scrie
p ′ (ξ) ∂ξ
∂aν
+ξ ν = 0

52 Teoria erorilor
obt¸ine
Deoarece p ′ (ξ) = 0, putem obt¸ine ∂ξ
∂aν
(condξ)(a) =
s¸i să înlocuim în (3.8) s¸i (3.9) pentru a
1
|ξp ′ n−1
(ξ)|
ν=0
|aν||ξ| ν
(3.10)
Vom ilustra (3.10) considerând un polinompde gradncu rădăcinile1,2,...,n
n
p(x) =
(3.11)
ν=1
(x−ν) = x n +an−1x n−1 +···+a0
Acesta este un exemplu faimos, datorat lui Wilkinson, care a descoperit proasta
condit¸ionare a anumitor zerouri aproape printr-un accident. Dacă luăm ξµ = µ,
µ = 1,2,...,n se poate arăta că
minµcondξµ = condξ1 ∼ n 2 când n → ∞
maxµcondξµ ∼ 1
(2− √ 2)πn
√ 2+1
√ 2−1
n
când n → ∞.
Cea mai prost condit¸ionată rădăcină este ξµ0 cu µ0 întregul cel mai apropiat
de n/ √ 2 când n este mare. Numărul său de condit¸ionare cres¸te ca (5.828...) n ,
deci exponent¸ial. De exemplu pentrun = 20condξµ0 = 0,540×10 14 .
Exemplul ne învat¸ă că rădăcinile unei ecuat¸ii algebrice scrise în forma (3.7) pot
fi extrem de sensibile la schimbări mici ale coeficient¸ilor. De aceea este contraindicat
să se exprime orice polinom cu ajutorul puterilor ca în (3.7) s¸i (3.11). Aceasta
este în particular adevărat pentru polinoamele caracteristice ale matricelor. Este
mult mai bine să lucrăm cu matricele însele s¸i să le reducem (prin transformări
de similaritate) la o formă care să permită obt¸inerea rapidă a valorilor proprii -
rădăcini ale ecuat¸iei caracteristice.
Problema 3.5.3 Presupunem că o rutină de bibliotecă pentru funct¸ia logaritmică
ne furnizeazăy = lnx pentru orice număr în virgulă flotantă,x, producând unyA
ce satisfaceyA = (1+ε)lnx, |ε| ≤ 5eps. Ce putem spune despre condit¸ionarea
algoritmuluiA?
Solut¸ie. Avem evident
yA = lnxA undexA = x 1+ε
(unic)
În consecint¸ă
xA
−x
x =
x
1+ε
−x
x = |xε −1| ≈ |εlnx| ≤ 5|lnx|eps
s¸i deci (condA)(x) ≤ 5|lnx|. Algoritmul A este bine condit¸ionat exceptând vecinătatea
dreaptă a lui x = 0 s¸i pentru x foarte mare. În ultimul caz, totus¸i, este
posibil caxsă dea depăs¸ire înainte caAsă devină prost condit¸ionat.

3.5. Condit¸ionarea unei probleme 53
Problema 3.5.4 Considerăm problema
f : R n → R, y = x1x2...xn
Rezolvăm problema prin algoritmul evident
Care este condit¸ionarea algoritmului?
p1 = x1
pk = fl(xkpk−1), k = 2,3,...,n
yA = pn
Solut¸ie. Am presupus că x ∈ R n (t,s). Utilizând legile de bază ale aritmeticii
mas¸inii obt¸inem
de unde
p1 = x1
pk = xkpk−1(1+εk), k = 2,3,...,n, |εk| ≤ eps
pn = x1...xn(1+ε2)(1+εq)...(1+εn)
Aici, putem lua de exemplu (nu se asigură unicitatea)
Aceasta ne dă, utilizând norma·∞
xA = [x1,x2(1+ε2),...,xn(1+εn)] T .
xA −x∞
x∞eps = [0,x2ε2,...,xnεn] T∞ x∞eps
≤ x∞eps
= 1
x∞eps
deci(condA)(x) ≤ 1 pentru oricex ∈ R n (t,s) s¸i algoritmul este bine condit¸ionat.

Capitolul 4
Rezolvarea numerică a sistemelor
algebrice liniare
4.1 Descompunere LU
A =
a11 w T
v A ′
A = LU
1 0
=
v/a11 In−1
a11 wT 0 A ′ −vwT /a11
MatriceaA ′ −vw T /a11 se numes¸te complement Schur al lui a11.
1 0
=
1 0
A =
v/a11 In−1
v/a11 In−1
a11 w T
0 L ′ U ′
a11 wT
=
0 a ′ −vwT /a11
a11 wT
=
1 0
v/a11 L ′
Problema 4.1.1 Calculat¸i descompunerea LU a matricei
⎡ ⎤
2 3 1 5
⎢
A = ⎢ 6 13 5 19 ⎥
⎣ 2 19 10 23 ⎦
4 10 11 31
Solut¸ie.
2 3 1 5
3 4 2 4
1 16 9 18
2 4 9 21
54
0 U ′

4.1. Descompunere LU 55
⎛
⎝
13 5 15
15 10 23
10 11 31
A ′ −vw T /a11 =
⎛
⎜
⎝
⎞
⎛
⎠−⎝
3
1
2
9 18
9 21
2 3 1 5
6 13 5 19
2 19 10 23
4 10 11 31
⎞
⎠
⎛
3 1 5 = ⎝
⎛
= ⎝
4
−
1
13 5 15
15 20 23
⎞
⎛
⎠−⎝
10 11 31
⎞
4 2 4
16 9 18 ⎠
4 9 21
2 3 1 5
3 4 1 4
1 4 1 2
2 1 7 17
(2,4) =
2 3 1 5
3 4 2 4
1 4 1 2
2 1 7 3
9 18
9 21
A ′ −vw T /a11 = 17−7·2 = 3
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
1 0 0 0
3 1 0 0
1 4 1 0
2 1 7 1
⎞⎛
⎟⎜
⎟⎜
⎠⎝
8 16
−
2 4
2 3 1 5
0 4 2 4
0 0 1 2
0 0 0 3
9 3 15
3 1 5
6 2 10
=
⎞
⎟
⎠
⎞
⎠ =
1 2
7 17
Problema 4.1.2 (Sisteme tridiagonale) Dat¸i algoritmul de descompunere LU pentru
o matrice tridiagonală.
Timp liniar
El. Gaussiană
Factorizare Crout vii = 1
Factorizare Doolittlelii = 1
Exemplu. Crout
⎛
⎜
L = ⎜
⎝
l11 0 ... 0
l21 l22 ... 0
.
. . .. .
0 0 ... lnn
a11 = l11
⎞
⎟
⎠
⎛
1 u2 ...
⎜ 0 1
U = ⎜
⎝ .
. . ..
⎞
0
⎟
. ⎟
un−1,n
⎠
0 0 ... 1
(4.1)

56 Rezolvarea numerică a sistemelor algebrice liniare
ai,i−1 = li,i−1, i = 2,n (4.2)
aii = li,i−1ui−1,i +lii, i = 2,n (4.3)
ai,i+1 = liiui,i+1
Ordinea de obt¸inere este (4.2), (4.4), (4.3) alternativ
Algoritmul:
P1 l11 := a11
u12 := a12/l11
P2 fori = 2 ton−1
li,i−1 := ai,i−1
P3 ln,n−1 = an,n−1
lii = aii −li,i−1ui−1,i
ui,i+1 = ai,i+1/lii
ln,n = ann −ln,n−1un−1,n
4.2 Descompunere LUP
Aici rolul luia11 va fi jucat deak1.
Efectul QA, Q matrice de permutare
ak1 w
QA =
T
v A ′
1 0
=
v/ak1 In−1
ak1 wT 0 A ′ −vwT /ak1
(4.4)
Matricea A ′ − vw T /ak1 se numes¸te complementul Schur al lui ak1 s¸i este
nesingulară.
Determinăm mai departe descompunerea LUP a complementului Schur
Definim
P ′ (A ′ −vw T /ak1) = L ′ U ′ .
P =
1 0
0 P ′
Q
care este tot o matrice de permutare.
Avem acum
1 0
PA =
0 P ′
1 0
QA =
0 P ′
1 0
=
1 0
P ′ v/ak1 P ′
ak1w T
v/ak1 In−1
0 A ′ −vw T /ak1
ak1 wT 0 A ′ −vwT /ak1
=
=

4.2. Descompunere LUP 57
=
1 0
=
P ′
ak1 w
v/ak1 In−1
T
0 P ′ (A ′ −vwT /ak1)
=
1 0
P ′
ak−1
v/ak1 In−1
wT 0 L ′ U ′
1 0
=
P ′ v/ak1 L ′
ak1 wT 0 U ′
= LU
De notat că în acest rat¸ionament atât vectorul coloană cât s¸i complementul
Schur se înmult¸esc cu matricea de permutareP ′ .
Problema 4.2.1 Să se calculeze descompunerea LUP a matricei
⎡ ⎤
2 0 2 0.6
⎢ 3 3 4 −2 ⎥
⎣ 5 5 4 2 ⎦
−1 −2 3.4 −1
Solut¸ie.
1 2 0 2 0.6
2 3 3 4 −2
3 5 5 4 2
4 −1 −2 3.4 −1
3 5 5 4 2
2 0.6 0 1.6 −3.2
1 0.4 −2 0.4 −0.2
4 −0.2 −1 4.2 −0.6
3 5 5 4 2
1 0.4 −2 0.4 −0.2
2 0.6 0 1.6 −3.2
4 −0.2 −1 4.2 −6
3 5 5 4 2
1 0.4 −2 0.4 −0.2
2 0.6 0 1.6 −3.2
4 −0.2 0.5 4 −0.5
3 5 5 4 2
1 0.4 −2 0.4 −0.2
4 −0.2 0.5 4 −0.5
2 0.6 0 1.6 −3.2
3 5 5 4 2
2 3 3 4 −2
1 2 0 2 0.6
4 −1 −2 3.4 −1
3 5 5 4 2
2 0.6 0 1.6 −3.2
1 0.4 −2 0.4 −0.2
4 −0.2 −1 4.2 −0.6
3 5 5 4 2
1 0.4 −2 0.4 −0.2
2 0.6 0 1.6 −3.2
4 −0.2 −0.5 4 −0.5

58 Rezolvarea numerică a sistemelor algebrice liniare
Verificare.
⎛
0 0 1 0
⎜ 1 0 0 0
⎝ 0 0 0 1
0 1 0 0
⎞⎛
⎟⎜
⎟⎜
⎠⎝
3 5 5 4 2
1 0.4 −2 0.4 −0.2
4 −0.2 0.5 4 −0.5
2 0.6 0 0.4 −3
2 0 2 0.6
3 3 4 −2
5 5 4 2
−1 02 3.4 −1
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠ =
5 5 4 2
−2 0.4 −0.2
0 4 −0.5
−3
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
1
0.4 1 0
−0.2 0.5 1
0.6 0 0.4 1
Definit¸ia 4.2.2 Spunem că matricea A n × n este diagonal dominantă pe linii
dacă
n
|aii| > |aij|, i = 1,n
j=1
j=i
Problema 4.2.3 Să se rezolve sistemul
folosind descompunerea Cholesky.
x1 +2x2 +x3 = 4
2x1 +5x2 +3x3 = 10
x1 +3x2 +3x3 = 7
Solut¸ie. Calculând radicalii pivot¸ilor s¸i complementele Schur se obt¸ine:
⎡ ⎤
1 2 1
⎡ ⎤
1 2 1
⎡ ⎤
1 2 1
B = ⎣ 5 3 ⎦ ∼ ⎣ 1 1 ⎦ ∼ ⎣ 1 1 ⎦.
3 2 1
Sistemele echivalente sunt
⎧
⎨
⎩
y1
2y1+y2
y1 +y2 +y3
=
=
=
4
10
7
⎞
⎟
⎠

4.2. Descompunere LUP 59
cu solut¸iay = [4,2,1] T s¸i respectiv
⎧
⎨ x1 +2x2 +x3
cu solut¸iax = [1,1,1] T .
⎩
x2 +x3
Problema 4.2.4 Calculat¸i descompunerea QR a matricei
x2
A =
x3
3 1
4 1
Solut¸ie. Reflexia pentru prima coloană este P = I − 2uuT . Vectorul u se
determină astfel:
x1 +sign(x1)x
ũ =
2 3+5 8
= = ;
4 4
ũ 2 = √ 8 2 +4 2
u = ũ
ũ 2
=
8
4
Matricea de reflexie este
1 0
P = −2
0 1
4 1 0
= −2
0 1
Se obt¸ine
3
−
Q = 5 −4
5
−4
3
5 5
3
−
R = P ·A =
− 4
5
/4 √ 5 =
√ 5
2
5√
5
5
2
5 5
2 1
5 5
5 −4
5
3
5
·
·
=
=
=
.
√ 5
2
5√
5
5
√ 5
2
5√
5
5
4
2
1
3 −
=
3 1
4 1
Problema 4.2.5 Rezolvat¸i sistemul
⎡ ⎤ ⎡
1 1 1
⎣ 1 1 2 ⎦x = ⎣
2 4 2
prin descompunere LUP.
− 4
5
.
T
=
5 −4
5
=
3
4
8
⎤
⎦
3
5
= Q T ,
−5 − 7
5
0 − 1
5
.

60 Rezolvarea numerică a sistemelor algebrice liniare
Deci
Solut¸ie. Avem
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡
1 1 1 1 3 2 4 2 3 2 4 2
⎣ 2 1 1 2 ⎦ ∼ ⎣ 2 1 1 2 ⎦ ∼ ⎣ 2
3 2 4 2 1 1 1 1
1 1 2 2
1 1
⎤
⎦
1 1 2
⎡
3 2 4 2
⎣ 2 1
⎤ ⎡
3 2 4 2
−1 1 ⎦
2 ∼ ⎣ 2
−1 0
1
⎤ ⎡
3 2 4 2
−1 1 ⎦
2 ∼ ⎣ 2 1
−1 1 2
1 1
2
1 1
2 1 0
⎡ ⎤
1 0 0
L = ⎣ 1
1 0 ⎦
2
1 1 1 2
⎡ ⎤
2 4 2
U = ⎣ 0 −1 1 ⎦
0 0 −1
⎡ ⎤
0 0 1
P = ⎣ 0 1 0 ⎦.
1 0 0
Sistemele triunghiulare corespunzătoare sunt
⎡ ⎤ ⎡
1 0 0
⎣ 1 1 0 ⎦y 2 = Pb = ⎣
1 1
cu solut¸iay = [8,0,−1] T s¸i
⎡
2 4
⎤
2
⎡
⎣ 0 −1 1 ⎦x = ⎣
0 0 −1
cu solut¸iax = [1,1,1] T .
1
2
8
4
3
1 1
2 1 −1
Problema 4.2.6 Arătat¸i că orice matrice diagonal dominantă este nesingulară.
Solut¸ie. Fie sistemul Ax = 0. Presupunem că are solut¸ie nebanală. Există k
astfel încât 0 < |xk| = max
1≤j≤n |xj| = x1
Deoarece
n
aijxj = 0, pentru i = k
j=1
8
0
−1
⎤
⎦,
⎤
⎦,
⎤
⎦.

4.3. Sisteme de ecuat¸ii 61
obt¸inem
akkxk = −
n
akjxj ⇒ |akk||xk| ≤
j=1
j=i
|akk| ≤
n
j=1
j=k
|akj| |xj|
|xk| ≤
n
j=1
j=k
n
|akj||xj|
j=1
j=k
|akj|
Observat¸ia 4.2.7 În acest caz EG se face pără permutări.
Dacă lii = 1 avem factorizare Doolittle, iar dacă vii = 1 avem factorizare
Crout.
4.3 Sisteme de ecuat¸ii
Problema 4.3.1 Arătat¸i că m-norma
este naturală.
Solut¸ie. Vom arăta că
Fie x ∈ R n astfel încât
Am = max
i
n
j=1
|aij|
Am = max Ax∞
x∞=1
x∞ = max
1≤i≤n |xi| = 1
Ax∞ = max
1≤i≤n |(Ax)i|
n
= max
1≤i≤n
≤ max
1≤i≤n
n
j=1
|aij| max
1≤j≤n |xj| = max
1≤i≤n
= max
1≤i≤n
n
j=1
|aij|
j=1
aijxj
≤
n
|aij|x∞ =
j=1

62 Rezolvarea numerică a sistemelor algebrice liniare
adică
Ax∞ ≤ max
1≤i≤n
n
|aij|, ∀ x ∈ R n , x∞
j=1
Am = max ≤ max
x∞=1 1≤i≤n
Fiep ∈ N, 1 ≤ p ≤ n astfel încât
Alegemxastfel încât
n
j=1
xj =
|apj| = max
1≤i≤n
n
j=1
n
|aij| (4.5)
j=1
|aij|
1 dacă apj ≥ 0
−1 dacă apj < 0
x∞ = 1, apjxj = |apj|, ∀j = 1,n
n
Ax∞ = max aijxj
1≤i≤n
≥
n
apjxj
=
n
|apj| = max
(4.5),(4.6) ⇒ ” = ”.
j=1
j=1
j=1
Am = max Ax∞ ≥ max
x∞=1 1≤i≤n
Problema 4.3.2 Să se arate că l-norma
este naturală.
Solut¸ie.
Al = max
1≤j≤n
Al := max Ax1
x1=1
Fiex ∈ Rn astfel încât x1 = 1
n n
n
Ax1 = |(Ax)i| =
i=1
i=1
j=1
aijxj
≤
n
i=1
|aij|
?
= max
1≤j≤n
n
i=1
n
|aij|,
j=1
n
|aij| (4.6)
j=1
n
i=1
|aij|
n
|aij||xj| =
j=1
n
j=1
n
|aij||xj| =
i=1

4.3. Sisteme de ecuat¸ii 63
adică
=
n
|xj|
j=1
n
i=1
|aij| ≤
n
j=1
|xj| max
1≤j≤n
Al ≤ max
1≤j≤n
Fie p ∈ N, 1 ≤ p ≤ n astfel încât
max
1≤j≤n
n
|aij| =
i=1
n
i=1
|aij| = x1 max
1≤j≤n
n
|aij|.
i=1
n
i=1
s¸ix ∈ Rn astfel încât xi = δip. Avemx1 = 1.
n n n
Al ≥ Ax1 = |(Ax)i| = aijxj
=
i=1
i=1
j=1
|aip|
n
i=1
n
|aij|,
i=1
|aipxp| = max
1≤j≤n
n
i=1
|aij|
Problema 4.3.3 Arătat¸i că norma euclidiană, l-norma s¸i m-norma sunt norme
matriciale.
Problema 4.3.4 Rezolvat¸i sistemul
⎧
⎨
⎩
5x1 +x2 +x3 = 7
x1 +5x2 +x3 = 7
x1 +x2 +5x3 = 7
utilizând metoda lui Jacobi s¸i metoda Gauss-Seidel.
De câte iterat¸ii este nevoie pentru a se putea atinge o precizie dorităε?
Solut¸ie.
x (k)
i
x (k)
i
= 1
aii
1
= bi −
aii
⎛
⎜
⎝ bi −
i−1
j=1
n
j=1
j=i
aijx (k)
j −
x (0) = (0,0,0) T
x (1) =
aijx (k−1)
j
7 7 7
, ,
5 5 5
n
j=i+1
⎞
⎟
⎠
aijx (k−1)
j
(4.7)
(4.8)

64 Rezolvarea numerică a sistemelor algebrice liniare
x (2)
1
x (k)
1 = 1
5 (7−x(k−1) 2 −x (k−1)
3 )
x (k)
2 = 1
5 (7−x(k−1) 1 −x (k−1)
3
x (k)
3
= 1
x (2)
1 = 1
5
x (2)
2
= 1
5
5 (7−x(k−1) 1 −x (k−1)
2
7− 7
7
− =
5 5
21
25
7− 7
7
− =
5 5
21
25
x (2)
3
= 21
25
x (k)
1 = 1
5 (7−x(k−1) 2 −x (k−1)
3 )
x (k)
2 = 1
5 (7−x(k) 1 −x (k−1)
3 )
x (k)
3
x (1)
1 = 7
5
x (1)
3
1
=
5 (7−x(k) 1 −x(k) 2
, x(1) 2 = 7 7
−
5 5
7 7 21
= − =
5 25 25
= 0
7 21 175−21 154
= − = =
5 125 125 125
x (2)
2 = 7 154 21
− − , x(3) 3 =
5 625 125 7 154
−
5 125 −x(2) 2
Pentru a rezolva a doua parte a problemei vom scrie sistemul sub forma
x = Tx+c ⇒ x−x (k) ≤ Tk
1−T x(1) −x (0)
Pentru Jacobi ⎧ ⎨
x1 = 1
5 (7−x2 −x3)
x2 = 1
5 (7−x1 −x3)
x3 = 1
⎩
5 (7−x1 −x2)
⎡
0 −
x = ⎣
1
5 −1
5
− 1
⎤ ⎡
⎦x+ ⎣
0 − 5 1
5
−1 5 −1 0 5
7
5
7
5
7
5
⎤
⎦

4.3. Sisteme de ecuat¸ii 65
TJm = 2
= TJl
5
TJk 1−TJ x(1) −x (0) < ε
T 7 7 7
, , , x1 =
5 5 5
7
5
k 2
x (0) = 0, x (1) =
5
3
5
· 7
5
2k 7
= ·3·
5k−1 5
< ε
k 2
·21 < ε, k(ln2−ln5)+ln21 > lnε
5
Pentru Gauss-Seidel x (0) = 0
x (1)
2
x (1)
3 = 1
5
1 (1)
= (7−a21x 1
5
x (1)
1
1 7
= (7) =
5 5
(0) 7 1 7
−a23x 2 ) = − ·
5 5 5
(7−a31x (1)
1 −a32x (1)
2 ) = 7
⎧
⎪⎨
⎪⎩
U = ⎝
x (1) −x (0) ∞ =
1 1
= 7 − =
5 25
28
25
1 7 28 35−7−28
− · − =
5 5 5 25 25
7 28
,
5 25 ,0
7
=
5
x (k) = (D −L) −1 Ux (k−1) +(D −L) −1 b
a11x (k)
1 = −a12x (k−1)
2 −···−a1nx (k−1)
n +b1
a21x (k)
1 +a22x (k)
2 = −a23x (k)
3 −···+b2
...
an1x (k)
1 +an2x (k)
2 +···+annx (k)
n = bn
⎛
D = ⎝
⎛
5 0 0
0 5 0
0 0 5
⎞
⎛
⎠, L = ⎝
⎞
0 0 0
−1 0 0
−1 −1 0
0 −1 −1
5 0 0
0 0 −1 ⎠, E = D −L = ⎝ 1 5 0
0 0 0
1 1 5
detE = 125, E T ⎛ ⎞
5 1 1
= ⎝ 0 5 1 ⎠
0 0 5
⎛
⎞
⎠
⎞
⎠
= 0

66 Rezolvarea numerică a sistemelor algebrice liniare
Γ11 = (−1) 1+1
Γ13 = (−1) 1+3
Γ22 = (−1) 1+2
Γ31 = (−1) 3+1
TGS = (D−L) −1 U =
5 1
0 5 = 25, Γ12 = (−1) 1+2
0 1
0 5 = 0
0 5
0 0 = 0, Γ21 = (−1) 2+1
1 1
0 5 = −5
5 1
0 5 = 25, Γ23 = (−1) 2+3
5 1
0 0 = 0
1 1
5 1 = −5, Γ32 = (−1) 3+2
5 1
0 1 = −5
Γ33 = (−1) 3+3
5 1
0 5 = 25
E −1 ⎛
1 0 0 5
= ⎝ − 1 1 0 25 5
− 1
⎞
⎠
1 1 − 25 25 5
⎛
1 0 0 5
⎝ − 1
⎞⎛
⎞ ⎛
0 −1 −1 0 −
1 0 ⎠⎝
0 0 −1 ⎠
25 5 = ⎝
0 0 0
1
1 0 25
− 1
25
− 1
25
1
5
TGSn = 2
5
2 k
5
3
5
· 7
5
< ε
Problema 4.3.5 Arătat¸i că pentruA ∈ Mn,n(R)
A2 = [ρ(A t A)] 1/2
0 1
25
5 −1
5
− 4
25
2
25
⎞
⎠

Capitolul 5
Calculul cu diferent¸e
Să considerăm mult¸imea
M = {ak|ak = a+kh, k = 0,m, a,h ∈ R}
Definit¸ia 5.0.6 Pentruf : M → R, cantitatea
∆hf(ai) = f(ai +h)−f(ai), i < m
se numes¸te diferent¸a finită de ordinul I cu pasulhafunct¸iei f în punctulai.
Diferent¸a finită de ordinulk se defines¸te recursiv prin
Au loc relat¸iile
∆ m h
∆ m h
f(a) =
∆ k hf(ai) = ∆n(∆ k−1
h f(ai))
f(a) =
∆ m h (fg)a =
m
(−1) i
m
f[a+(m−i)h]
i
i=0
m
(−1) m−i
n
f(a+ih)
i
i=0
f(ak) =
m
k
i=0
m
i
k
∆
i
i hf(a)
∆ i hf(a)∆ m−i
h g(a+ih)
i=0
Valorile[∆m 1 xr ]x=0 = ∆m0r se numesc diferent¸ele lui 0.
∆ m 0 r =
m
(−1) m−i
m
i
i
r
i=0
67

68 Calculul cu diferent¸e
Problema 5.0.7 Aplicat¸ie. Vom stabili o formulă explicită pentru calculul sumei
Sm,r = 1 r +2 r +3 r +···+m r
cu ajutorul diferent¸elor lui 0.
r
m+1
Sm,r = ∆
i+1
i=1
i 0 r
p
p
f(ap) = ∆
k
j=0
k hf(a) ∆m m
h f(a) = (−1)
i=0
m−i
m
f(a+ih)
i
f(x) = xr pr p
p
= f(p) = ∆
k
k=0
k 0 r , p = 1,2,...,m
1r
1
= ∆
0
0 0 r
1
+ ∆
1
1 0 r
2r
2
= ∆
0
0 0 r
2
+ ∆
1
1 0 r
2
+ ∆
2
2 0 r
...
mr
m
= ∆
0
0 0 r
m
+ ∆
1
1 0 r
m
+···+ ∆
m
m 0 r
m
j j +1 m
Sm,r = + +···+ ∆
j j j
j 0 r =
j=1
j=1
Deoarece dacă m > r, ∆o0r = 0 pentru j = r +1,m iar pentru m < r,
r
m+1
∆
j +1
j 0 r
m+1
= 0, pentru j = m+1,m+2,...,r.
j +1
Cazuri particulare
m+1 m+1
Sm,1 = ∆0 = =
2 2
m(m+1)
, ∆0 = 1
2
2 m+1 ∆0
Sm,2 =
2 1 +
2 2 m+1 ∆ 0 m(m+1)(2m+1)
=
3 2 6
3 m+1 ∆0
Sm,3 =
2 1 +
2 3 m+1 ∆ 0
3 6 +
3 3 m+1 ∆ 0
4 6 =
m(m+1)
2
Problema 5.0.8 Să se demonstreze formula
(prin induct¸ie).
∆ m h
1
x =
(−1) m m!h m
x(x+h)...(x+mh)
2

Definit¸ia 5.0.9 Prederivata de ordinulmcu pasulhafunct¸iei f în a este
D m h f(a) = ∆m h f(a)
h m
D 0 nf(a) = f(a)
Problema 5.0.10 Dacăf are derivată de ordinulmcontinuă pe(a,a+mh) are
loc
D m h f(a) = f (m) (a+θmh), θ ∈ (0,1)
Demonstrat¸ie. Prin induct¸ie.
Dhf(a) = f(a+h)−f(a)
h
= f ′ (ξ1), ξ1 ∈ (a,a+h)
D m−1
h f(a) = f (m−1) (ξm−1)|Dh, ξm−1 ∈ (a,a−(m−1)h)
D m h
f(a) = 1
h [f(m−1) (ξm−1 +h)−f (m−1) (ξm−1)] = f (m) (ξm)
ξm ∈ (a,a+mh) ⇒ ξm = a+θmh, θ ∈ (0,1)
Corolar 5.0.11 f (m) continuă în a ⇒ lim
h→0 D m h (a) = f(m) (a).
Problema 5.0.12 Să se demonstreze formulele
∆ m
h cos(ax+b) = 2sin ah
m
cos ax+b+m
2
ah+π
2
∆ m
h sin(ax+b) = 2sin ah
m
sin ax+b+m
2
ah+π
2
Să se deducă de aici expresiile prederivatelor de ordinulmale funct¸iilorcosx,
sinx s¸i să se calculeze limitele lor când h → 0.
Solut¸ie.
∆hcos(ax+b) = cos[a(x+h)+b]−cos(ax+h) =
= 02sin ah
2 sin
ax+b+ ah
=
2
= 2sin ah
2 cos
∆h π +ah
ax+b+ den−1ori
2
69

70 Calculul cu diferent¸e
=
∆ m h sin(ax+b) = ∆mh cos
2sin ah
=
ax+b− π
=
2
m
cos ax+b+m
2
ah+π
π
− =
2 2
2sin ah
m
sin ax+b+m
2
ah+π
2
Făcând a = 1, b = 0 s¸i împărt¸ind cu h m se obt¸ine
D m h cosx =
D m h sinx =
sin h
2
h
2
m
Problema 5.0.13 Să se calculeze∆ m h 1
x 2 .
Solut¸ie.
∆ m h
∆ m h
cos x+m h+π
2
m h
sin 2 sin x+m h
2
h+π
2
1 1 1
= +
x2 x x+h +···+
(fg)(a) =
= (−1) m m! U′ m (x)
U 2 m(x) hm
um(x) =
k=0
m
i=0
m
(x+kh)
k=0
1
x+mh
∆ 21 h
x =
m
∆
i
i hf(a)∆m−i h g(a+ih)
Problema 5.0.14 Să se demonstreze formula
δ m m
h f(x) = (−1) k
m
m
f x+
k 2 −k
h
Solut¸ie.
δ m = (E 1
2 −E −1 2) =
m
(−1) k
k=0
m
E
k
n
2−k

Problema 5.0.15 Să se stabilească generalizarea formulei lui Leibniz prin calcul
simbolic.
Solut¸ie. Eh operator de translat¸ie ce are efect numai asupra luiu
Eh operator de translat¸ie ce are efect numai asupra luiv
∆hu(x)v(x) = u(x+h)v(x+h)−u(x)v(x) =
= (EhEh −I)u(x)v(x)
∆h = EE −I
∆h operator de diferent¸ă ce are efect asupra lui u
∆h operator de diferent¸ă ce are efect asupra lui v
En = I +∆h ∆h = Eh −I
∆h = ∆hEh +∆h
m
∆ m h = (∆hEh +∆h) m =
∆ m h u(x)v(x) =
∆ m h
m
j=0
(a+b) [m,j] =
j=0
∆ j
h ∆m−j
h Ej
h
m
∆
j
j
hu(x)∆m−j h v(x+jh)
m
j=0
m
a
j
[m−j,h] b [j,h]
[a,a+h,...,a+nh;f] = 1
(fg)(a) =
m
i=0
n!h n∆m h f(a)
m
∆
i
i hf(a)∆m−i h g(a+ih)
Problema 5.0.16 Să se demonstreze formula de sumare prin părt¸i.
a+mh
x=a(h)
u(x)∆hv(x) = u(x)v(x)
Să se calculeze
m
xb x
x=0
(b > 0, b = 1),
a+(m+1)h
a
−
a+mh
x=a
v(x+h)∆hu(x)
m
v(x+h)∆hh(x)
x=0
71

72 Calculul cu diferent¸e
Solut¸ie. Dacă F este o solut¸ie a ecuat¸iei cu diferent¸e
are loc formula de sumare
∆hF(x) = f(x)
m
f(a+jh) = F[a+(m+1)h]−F(a)
j=0
∆hF(x) = F(x+h)−F(x) = x, x = a,a+h,...,a+mh
a+mh
x=a(h)
∆hF(x) = f(x), F(x) = u(x)v(x)
∆hu(x)v(x) = u(x)∆hv(x)+∆hu(x)v(x+h)
u(x)∆hv(x)+
a+mh
x=a(h)
v(x+h)∆hu(x) = u(x)v(x)
u(x) = x, ∆v(x) = b x ⇒ v(x) = bx
m
x=0
b−1
xb x = x bx
m+1
0
−
m
x=0
b−1
b x
b−1 =
a+(m+1)h
a
= (m+1) bm+1 1
−
b−1 b−1 (b+b2 +···+b m+1 ) = (m+1) bm+1
b−1 − bm+2 −b
(b−1) 2
−cos x−
u(x) = x, ∆v(x) = sinx ⇒ v(x) =
h
2
2sin h
2
a+mh cos x−
xsinx = −x
x=a
h
2
2sin h
a+(m+1)h
a+mh
cos x+
+
a x=a
2
h
2
2sin h
2
Deoarece ∆hF(x) = cos x+ h
este satisfăcută pentru F(x) =
2
sinx
2sin h
2
rezultă că avem
a+mh
cos x+
x=a
h
=
2
sinx
2sin h
a+(m+1)h
a
2

Problema 5.0.17 Să se calculeze∆ m h 1
x 2 .
unde
Solut¸ie.
∆ m h
1 1 1
= +
x2 x x+h +···+
= (−1) m m! u′ m (x)
u 2 m (x)hm
um(x) =
m
(x+kh).
k=0
1
∆
x+mh
m h
Problema 5.0.18 Să se demonstreze
a0,a1,...,am; 1
=
t
(−1)m
a0a1...am
Solut¸ie. (prin induct¸ie sau ca s¸i cât de doi determinant¸i).
1
x =
Problema 5.0.19 Se consideră p + 1 puncte distincte a0,a1,...,ap. Să se demonstreze
formula
[a0,a1,...,ap;t p ] =
r0+r1+···+rp=n−p
Problema 5.0.20 Să se demonstreze formula
a r0
0 ar1
1 ...arp
p .
[a0,a1,...,ak−1,ak+1,...,am;f] = ak −a0
[a0,a1,...,am−1;f]+ am −an
[a1,a2,...,am;f]
Solut¸ie.
am −a0
ak,a0,...,ak−1,ak+1,...,am−1,am
am −a0
[a0,a1,...,am;f] = [a0,...,ak−1,ak+1,...,am;f]−[a0,...,an−1;f]
, (5.1)
am −ak
[a0,a1,...,am;f] = [a0,...,ak−1,ak+1,...,am;f]−[a1,...,am;f]
a0 −ak
Egalând cele două relat¸ii rezultă relat¸ia dorită.
73
(5.2)

74 Calculul cu diferent¸e
Problema 5.0.21 Dacăf,g : X → R, atunci
=
[x0,...,xm;fg] =
m
[x0,...,xk][xk,...,xm;g]
k=0
Demonstrat¸ie. Prin induct¸ie dupăm
m = 1
[x0,x1;fg] = f(x0)[x0,x1;g]+[x0,x1;f]g(x1) =
= f(x0) g(x1)−g(x0)
x1 −x0
+ f(x1)−f(x0)
g(x1) =
x1 −x0
= f(x1)g(x1)−f(x0)g(x0)
x1 −x0
Presupunem relat¸ia adevărată pentru m−1, adică
m−1
[x0,...,xm−1;fg] = [x0,...,xk;f][xk,...,xm−1;g]
[x0,...,xn;fg] def
=
1
xm −x0
1
xm −x0
k=0
([x1,...,xm;fg]−[x0,...,xm−1;fg]) =
m−1
([x1,...,xk+1;f][xk+1,...,xn;g]−[x0,...,xk;f][xk,...,xn−1;g])
k=0
Adunând s¸i scăzând sub simbolul de însumare[x0,...,xk;f][xk+1,...,xm;g]
s¸i grupând convenabil se obt¸ine
[x0,...,xm;fg] =
k=0
1
xm −x0
m−1
[x0,...,xk;f]([xk+1,...,xm;g]−[xk,...,xm−1;g])+
k=0
m−1
+ [xk+1,...,xn;g]([x1,...,xk+1;f]−[x0,...,xkf]) =
=
1
xn −x0
+
=
m−1
(xm −xk)[x0,...,xk;f][xk,...,xm;g]+
k=0
m
(xk −x0)[x0,...,xn;f][xk,...,xn;g] =
k=1
1
xn −x0
(xm −x0)[x0;f][x0,...,xn;g]+

m−1
+ (xm −x0)[x0,...,xk;f][xk,...,xm;g]+
k=1
+(xm −x0)[x0,...,xm;f][xm;g]
=
m
[x0,...,k;f][xk,...,xm;g]
k=0
Observat¸ia 5.0.22 Diferent¸a divizată se poate introduce ca s¸i coeficient dominant
în PIL.
Problema 5.0.23 (Aplicat¸ie) O modalitate rapidă de a calcula valorile unui polinom
de grad 3 în puncte echidistante folosind diferent¸e divizate.
∆ 3 P(0)
P(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d
∆P(x) = P(x+h)−P(x) ⇒ P(x+h) = P(x)+∆P(x)
∆ 2 P(x) = ∆P(x+h)−∆P(x)
∆P(x+h) = ∆P(x)+∆ 2 P(x)
∆ 3 P(x) = ∆ 2 P(x+h)−∆ 2 P(x)
∆ 2 P(x+h) = ∆ 2 P(x)+∆ 3 P(x)
∆ 3 P(x) = 6ah 3
∆P(0) = ah 3 +bh 2 +ch = h(h(ah+b)+c)
∆ 2 P(0) = P(2h)−2P(h)+P(0) =
= 8ah 3 +4bh 2 +2ch+d−2ah 3 −2bh 2 −2ch−2d+d =
= 6ah 3 +2bh 2 = 2h 2 (3ah+b)
∆k,i+1 = ∆k−1,i +∆k−1,i+1
Problema 5.0.24 Dacă f,g : M → R are loc
(∆ m h
fg)(a) =
m
i=0
=
m
(∆
i
i hf)(a)(∆m−i h g)(a+ih)
75

76 Calculul cu diferent¸e
căci
Demonstrat¸ie. Induct¸ie dupăm
m = 1
(∆hfg)(a) = f(a)(∆hg)(a)+g(a+h)(∆hf)a (5.3)
(∆hfg)(a) = f(a+h)g(a+h)−f(a)g(a)|±f(a)g(c+h)
(∆hfg)(a) = f(a)[g(a+h)−g(a)]+g(a+h)[f(a+h)−f(a)]
Presupunem relat¸ia adevărată pentru m−1
(∆ m−1
m−1
h fg)(a) =
(5.3) ⇒ (∆ m h
(∆ m h
fg)(a) =
+
i=0
fg)(a) =
m−1
i=0
i
(∆ o hf)(a)(∆ m−i−1
h g)(a+ih)
m
m−1
[(∆
i
i hf)(a)(∆m−i h g(a+ih)+
+(∆ i+1
h f)(a)(∆m−i−1
h g(a+(i+1)h)]
m
k=1
m−1
i=0
m−1
= f(a)(∆ m h g)(a)+ m−1
i
i
(∆ i h f)(a)(∆m−i
h g)(a+ih)+
m−1
(∆
k −1
k hf)(a)(∆m−k h g)(a+kh) =
+
+(∆ m h f)(a)g(a+mh).
Problema 5.0.25 (Formula lui Vandermonde)
(a+b) [m,h] =
m
j=0
m−1
(∆
i−1
m−i
h g)(a+ih)+
m
a
j
[m−j,h] b [j,h] .
Demonstrat¸ie. Induct¸ie dupăm
m = 1
(a+b) [1,h] = a+b
1
a
0
[1,h] b [0,h]
1
+
1
a [0,h] b [1,h] = a+b

Presupunem că
(a+b) [m−1,h] =
m−1
j
a [m−1−j,h] b [j,h] /(a+b−(m−1)h)
a [m−1−j,h] b [j,h] [a+b−(m−1)h] = a [m−1−j,h] [a−(m−1−h]b [j,h] +a [m−1−j,h] b [j,h] (b−jh)
= a [m−j,h] b [j,h] +a [m−1−j] b [j+1,h] .
(a+b) [mh] m−1
m−1
= a
j
j=0
[m−j,h] b [j,h] m−1
m−1
+ a
j
j=0
[m−1−j,h] b [j+1,h]
m−1
= a
0
[m,h] b [0,h] n
m−1 m−1
+ + a
j j −1
j=1
[m−j,h] b [j,h]
m−1
+ a
m−1
[0,h] b [m,h]
m
m
= a
j
[m−j,h] b [j,h] .
j=0
77

Capitolul 6
Interpolare
6.1 Interpolare polinomială
Fie nodurilexi ∈ [a,b], i = 0,m, i = j ⇒ xi = xj.
Are loc formula de interpolare Lagrange
unde
s¸i
f = Lmf +Rmf
(Lmf)(x) =
m
lk(x)f(xk)
k=0
lk(x) = (x−x0)...(x−xk−1)(x−xk+1)...(x−xm)
(xk −x0)...(xk −xk−1)(xk −xk+1)...(xk −xm) =
=
m
(x−xj)
j=0
j=k
m
=
(xk −xj)
j=0
j=k
u(x)
(x−xk)u ′ (xk)
undeu(x) = (x−x0)...(x−xm).
Dacăα = min{x,x0,...,xm},β = max{x,x0,...,xm},f ∈ C m [α,β],f (m)
derivabilă pe(α,β)∃ξ ∈ (α,β) astfel încât
(Rmf)(x) = u(x)
(m+1)! f(m+1) (ξ)
78

6.1. Interpolare polinomială 79
cu
Dacă f ∈ C m+1 [a,b] atunci
(Rmf)(x) =
b
ϕm(x;s) = 1
(x−s)
m!
m + −
a
ϕm(x,s)f (m+1) (s)ds
m
k=0
lk(x)(xk −s) m +
Dacă lm(x,·) păstrează semn constant pe[a,b] atunci
(Rmf)(x) =
(Nmf)(x) = f(x0)+
Pentru noduri echidistante
1
x
(m+1)!
m+1 −
m
k=0
lk(x)x m+1
k
f (m+1) (ξ)
ξ ∈ [a,b]
m
(x−x0)...(x−xi−1)[x0,...,xi;f]
i=0
f = Nmf +Rmf formula de int.Newton
(Rmf)(x) = u(x)[x,x0,...,xm;f] x ∈ [a,b]
(Lmf)(x0 +th) = t[m+1]
m!
xi = x0 +ih, i = 0,m
m
(−1) m−i
m 1
i t−i f(xi)
i=0
(Rmf)(x0 +th) = hm+1 t [m+1]
(m+1)! f(m+1) (ξ)
(Nmf)(x0 +th) = (Nmf)(t) =
m
k=0
t
∆
k
k hf(x0) (Formula Gregory-Newton, formula lui Newton cu diferent¸e progresive)
(Nmf)(x) = (Nmf)(x0 +th) = f(xn)+
=
k=0
m
t+k −1
∇
k
k hf(xm) =
k=1
m
(−1) k
−t
∇
k
k h(xm)

80 Interpolare
(Formula lui Newton cu diferent¸e regresive)
n
2k−1 t+k −1 ∆ f1−k +∆
S2n+1(x0 +th) = f(x0)+
2k −1
2k−1f−k +
2
+
n
k=1
k=1
t
2k
t+k −1
2k −1
S2n+2(x0 +th) = S2n+1(x0 +th)+
(Formula lui Stirling)
unde
∆ 2k f−k
t+n
2n+1
xk ∈ [a,b], k = 0,m, xi = xj (i = j)
∆ 2n+1 f−n +∆ 2n+1
f : [a,b] → R ∃f (j) (xk), k = 0,m, j = 0,rk
n+1 = m+r0 +···+rm = (r0 +1)+···+(rm +1)
m rk
(Hnf)(x) = hkjf (j) (xk)
j (x−xk)
hkj(x) =
j!
k=0 j=0
rk−j
uk(x)
ν=0
(x−xk) ν
ν!
2
(ν)
1
nk(x) x=xk
f = Hnf +Rnf (formula de interpolare a lui Hermite)
m
u(x) = (x−xk) rk+1
uk(x) =
k=0
u(x)
(x−xk) rk+1
Dacă f ∈ C n [α,β]∃f (n+1) pe[α,β] atunci
Dacă f ∈ C n+1 [α,β] atunci
(Rnf)(x) = u(x)
(n+1)! f(n+1) (ξ) ξ ∈ [a,b]
(Rmf)(x) =
b
ϕn(x;s) = 1
(x−s)
n!
n + −
a
ϕn(x;s)f (n+1) (s)ds
m
k=0 j=0
rk
hkj(x)[(xk −s) n +] (j)

6.1. Interpolare polinomială 81
Cazuri particulare
1)rk = 0, k = 0,n Lagrange
2)n = 0, r0 = n Taylor
3)r0 = ··· = rn = 1 formula lui Hermite cu noduri duble
(H2m+1f)(x) =
f = H2m+1f +R2m+1f
m
hk0(x)f(xk)+
k=0
hx0(x) = uk(x)
uk(xk)
4) Dacă m = 1, x0 = a, x1 = b
m
hk1(x)f ′ (xk)
k=0
1−(x−xk) u′ k (xk)
uk(xk)
hk1(x) = (x−xk) uk(x)
uk(xk)
r0 = m, r1 = n
n+1 m
x−b (x−a)
(Hm+n+1f)(x) =
a−b
i=0
i
m−i
ν
n+ν x−a
f
i! ν b−a
ν=0
(i) (a)+
m+1 n
x−a (x−b)
+
b−a
j=0
j
n−j
µ
m+µ x−b
f
j! µ a−b
µ=0
(j) (b)
unde
xk ∈ [a,b], k = 0,m, xi = xk (i = j)
rk ∈ N, Ik ⊆ {0,1,...,rk}, k = 0,m
f : [a,b] → R ∃f (j) (xk) k = 0,m, j ∈ In
n = |I0|+···+|Im|−1
(Bnf)(x) =
m
bkj(x)f (j) (xk)
k=0 j∈Ik
f = Bnf +Rnf (formula de interpolare a lui Birkhoff)
Dacă f ∈ C n+1 [a,b] atunci
(Rnf) =
b
ϕn(x;s) = 1
(x−s)
n!
n + −
a
ϕn(x,s)f (n+1) (s)ds
m
k=0 j∈Ik
bkj(x)[(xk −s) n + ](j)

82 Interpolare
Dacă f ∈ C n+1 [a,b] s¸i ϕn are semn constant pe[a,b]
(Rnf)(x) = E(x)f (n+1) (ξ) ξ ∈ [a,b]
E(x) = xn+1
(n+1)! −
m
6.2 Interpolare Lagrange
1
(n−j +1)!
k=0 j∈Ik
xn−j+1
k bkj(x)
Problema 6.2.1 Să se scrie formula de interpolare a lui Lagrange în cazurile
specialem = 1 s¸i m = 2. Interpretare geometrică.
Solut¸ie. Polinomul de interpolare Lagrange corespunzător unei funct¸ii f s¸i
nodurilorx0 s¸i x1 este
(L1f)(x) = x−x1
f(x0)+
x0 −x1
x−x0
f(x1),
x1 −x0
adică dreapta care trece prin punctele (x0,f(x0)) s¸i (x1,f(x1)). Analog, polinomul
de interpolare Lagrange corespunzător unei funct¸iif s¸i nodurilorx0,x1 s¸i x2
este
(L2f)(x) = (x−x1)(x−x2) (x−x0)(x−x2)
f(x0)+
(x0 −x1)(x0 −x2) (x1 −x0)(x1 −x2) f(x1)+
(x−x0)(x−x1)
(x2 −x0)(x2 −x1) f(x2),
adică parabola care trece prin punctele (x0,f(x0)), (x1,f(x1)) s¸i (x2,f(x2)). Interpretarea
lor geometrică apare în figura 6.1.
Problema 6.2.2 Construit¸i polinomul de interpolare Lagrange pentru funct¸iay =
sinπx alegândx0 = 0, x1 = 1
6 , x2 = 1
2 .
Solut¸ie.
(L2y)(x) = 7
2 x−3x2 ,
(R2y)(x) = xx− 1
1 x− 6 2 πcosπξ,ξ ∈
3!
0, 1
.
2

6.2. Interpolare Lagrange 83
(a) (L1f)
f
L 1 (x)
(b) (L2f)
Figura 6.1: Interpretarea geometrică a lui L1f (stânga) si ¸ L2f
Problema 6.2.3 Cu ce eroare se poate calcula √ 115 cu ajutorul formulei de
interpolare a lui Lagrange, considerând funct¸ia f(x) = √ x s¸i nodurile x0 =
100, x1 = 121, x2 = 144?
|(R1f)(115)| ≤ 3
8 ·
(R2f)(x) = (x−100)(x−121)(x−144)
f
6
′′′ (ξ)
1
√ 100 5
f ′′′ (x) = 3
8 x−52
1
· |(115−100)(115−121)(115−144)| =
6
= 1
16 ·10−5 ·15·6·29 ≈ 1·6·10 −3
Problema 6.2.4 În tabelele cu 5 zecimale corecte se dau logaritmii zecimali ai
numerelor de la x = 1000 la x = 10000 cu eroarea absolută maximă egală cu
1
2 ·10−5 . Este posibil ca interpolarea liniară să conducă la o aceeas¸i precizie?
Solut¸ie.
f(x) = lgx f ′ (x) = M
x
M = lge ≈ 0.4343
f ′′ (x) = − M
x 2
|(R1f)(x)| ≤ (x−a)(x−b)
M2f
2
M2(f) = max|f ′′ (x)| < 1
2 ·10−6
a < x < a+1
f
L 2 (x)

84 Interpolare
b = a+1
x−a = q
|(R1f)(x)| < 1
2 |q(q−1) |M2(f)
≤ 1
4
|R1f| ≤ 1
16 ·10−6 < 10 −7
deci precizia nu este alterată.
Problema 6.2.5 Relativ la funct¸ia sin se alcătuies¸te următoarea tabelă cu diferent¸e
x ∆ 0 = y ∆f ∆ 2 f ∆ 3 f ∆ 4 f
39 ◦ 0.6293204 267386 −7992 −318 13
41 ◦ 0.6560590 259354 −8310 −305 10
43 ◦ 0.6819984 251084 −8615 −295 10
45 ◦ 0.7071068 242469 −8910 −285
47 ◦ 0.7313597 233559 −9195
49 ◦ 0.7547096 224364
51 ◦ 0.7771460
Să se aproximeze sin40 ◦ , sin50 ◦ , sin44 ◦ cu formula Gregory-Newton pentru
m = 4.
(Nmf)(t) =
m
i=0
t
∆
k
k hf(x0) (Rmf)(x0 +th) = hm+1 t [m+1]
(m+1)! f(m+1) (ξ)
f(x) ≈ f0 +t∆f0 + t(t−1)
2 ∆2f0 + t(t−1)(t−2)
∆
6
3 f0+
+ t(t−1)(t−2)(t−3)
∆
24
4 f0 +R4
sin40 ◦ ≈ 0.6293204+ 1 1
·0.0267386−
2 8 (−0.0007992)+
+ 1 5
(−0.0000318)− ·0.0000013 = 0.6427876
16 64
|(R4f)(t)| ≤ h 5 t(t−1)(t−2)(t−3)(t−4)f (5) (ξ) < 0.0000000028
sin50 ◦ se poate aproxima cu formula lui Newton cu diferent¸e regresive.
sin44 ◦ se poate aproxima cu formula lui Stirling.

6.3. Interpolare Hermite 85
Problema 6.2.6 Să se determine un polinom de interpolare de grad 3 pe intervalul[−1,1]
astfel încât restul să fie minim.
Solut¸ie. Restul este minim dacă nodurile de interpolare sunt rădăcinile polinomului
Cebâs¸ev de spet¸a I.
Tm(t) = cos(arccost)
Rmf∞ ≤ (b−a)m+1
(m+1)!2 2m+1f(m+1) ∞
T4(t) = 8t 4 −8t 2 +1
Tn+1(t) = 2tTn(t)−Tn−1(t)
tk = cos
6.3 Interpolare Hermite
T0 = 1, T1 = t
2k −1
π k = 1,n
2n
Problema 6.3.1 Să se determine polinomul de interpolare Hermite cu nodurile
x0 = −1 multiplu de ordinul 3, x1 = 0 simplu s¸ix2 = 1 multiplu de ordinul 3.
Solut¸ie.
hkj(x) =
m = 2, r = 0 = 2, r1 = 0, r2 = 2
m rk
Hnf)(x) = hkj(x)f (j) (xk)
(x−xk) j
j!
uk(x) =
k=0 j=0
u(x)
(x−xk) rk+1
rk−j
uk(x)
ν=0
(x−xk) ν
ν!
(ν)
1
uk(x) x=xk
n+1 = 3+1+3 = 7 ⇒ n = 6
h00(x) = x(x−1) 3
1 5(x+1)
+ +
8 16
(x+1)2
2
h01(x) = x(x−1) 3
1 5(x+1)
(x+1) +
8 16

86 Interpolare
h02(x) = x(x−1)3 (x+1) 2
16
h10(x) = (1−x 2 ) 3
h20(x) = x(x+1) 3
1 5(x−1)
− +
8 16
(x+1)2
2
h21(x) = x(x+1) 3
1 3(x−1)
(x−1) −
8 16
h22(x) = x(x+1)3 (x−1) 2
16
Problema 6.3.2 Aceeas¸i problemă, pentru aceleas¸i noduri ca mai sus, dar duble.
Solut¸ie.
r0 = r1 = r2 = 1, m = 2, n = 5, x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1
(H2m+1f)(x) =
u0(−1) = 4 u ′ 0
m
hk0(x)f(xk)+
k=0
hk0(x) = uk(x)
uk(xk)
m
hk1(x)f ′ (xk)
k=0
1−(x−xk) u′ k (xk)
uk(xk)
hn1(x) = (x−xn) uk(x)
uk(xk) u0(x) = x 2 (x−1) 2
h00(x) = x2 (x−1) 2
(x) = 2x(x−1)(x−1+x) = 2x(x−1)(2x−1)
1−
4
12
4 (x+1)
= x2 (x−1) 2
(−3x−2)
4
h01(x) = (x+1)x2 (x−1) 2
4
u1(x) = (x+1) 2 (x−1) 2
u ′ 1(x) = 2(x+1)(x−1) 2 +2(x+1) 2 (x−1) =
= 2(x+1)(x−1)(x−1+x+1) = 4x(x−1)(x+1)
h10(x) = (x+1)2 (x−1) 2
[1−x·0] = (x+1)
1
2 (x−1) 2
h11(x) = (x+1) 2 (x−1) 2 x
u2(x) = (x+1) 2 x 2 u2(1) = 4

6.3. Interpolare Hermite 87
u ′ 2 (x) = 2(x+1)x2 +2(x+1) 2 x = 2(x+1)x(2x+1)
u ′ 2 (1) = 2·2·1·3 = 12
h20(x) = (x+1)2 x2
1−(x−1)
4
12
=
4
(x+1)2 x2 [−3x+4]
4
h21(x) = (x−1)(x+1)2 x 2
4
Problema 6.3.3 Să se arate că pentru PIH cu noduri duble avem
hk0(x) = [1−2(x−xk)l ′ k (xk)]l 2 k (x)
hk1(x) = (x−xk)l 2 k (x)
undelk sunt polinoamele fundamentale Lagrange.
Problema 6.3.4 Să se determine PIH pentrux0 = a, x1 = b, m = 1, r0 = r1 =
1.
Solut¸ie. Se poate aplica formula cu noduri duble sau generalizarea formulei
lui Taylor.
u0 = (x−b) 2 u1 = (x−a) 2
h00(x) = (x−b)2
(a−b) 2
1−(x−a) 2(a−b)
(a−b) 2
= (x−b)2
(a−b) 2
a−b−2x+2a
=
a−b
(x−b)2
(a−b) 3[3a−b−2x]
h01(x) = (x−a) (x−b)2
(a−b) 2
h10(x) = (x−a)2
(b−a) 3[3b−a−2x]
2 x−a
h11(x) = (x−b)
b−a
(H3f)(x) = h00(x)f(a)+h01(x)f ′ (a)+h10(x)f(b)+h11(x)f ′ (b)

88 Interpolare
Problema 6.3.5 Se consideră f : [−1,1] → R. Se notează cu F2n+1f polinomul
Hermite cu noduri duble determinat de condit¸iile
(F2m+1f)(xk) = f(xk), k = 0,m
(F2m+1f) ′ (xk) = 0.
Să se arate că dacăx0,x1,...,xm sunt rădăcinile polinomului lui Cebâs¸ev de
spet¸a I avem:
-
Solut¸ie.
(F2m+1f)(x) =
1−(x−xk) u′ k (xk)
uk(xk)
1
(m+1) 2
m
2 Tm+1(x)
(1−xkx) f(xk).
x−xk
k=0
hk0(x) = uk(x)
1−(x−xk)
uk(xk)
u′
(xk)
uk(xk)
w(x) = (x−x0)(x−x1)...(x−xm)
uk(x) = w2
(x) 1
=
(x−xk) 2 2m 2 Tm+1(x)
x−xk
1 1
= (x−xk) + +···+
x−xk x0 −xk
uk(xk) = w ′2 (xk)
u ′ k (xk) = w ′ (xk)w ′′ (xk)
(−1) k
2 1−x k
w ′′ (x) = m+1
2m
xsin[(m+1)arccosx]−
w ′ (xk) = m+1
2 m
(m+1) √ 1−x 2 √ 3 cos[(m+1)arccosx] / 1−x 2
w ′′ (xk) = m+1
2 m
hk0(x) =
1
2 m
Tm+1(x)
x−xk
(−1) kxk 3 1−x 2 k
2
1−(x−xk) w′ (xk)w ′′ (xk)
w ′2 (xk)
1
w ′2 (xk)
=
1
xn −xk

6.3. Interpolare Hermite 89
Tm+1(x)
=
x−xk
2
· 1
2m 22m (1−xk) 2
(m+1) 2
=
1
(m+1) 2
⎛
2 xk(m+1)
⎜
1−(x−xk)
⎜ 2
⎝
2m (1−xk) 2
(m+1) 2
⎞
1
−
22m x−xk
2 Tm+1(x)
(1−xkx)
x−xk
Problema 6.3.6 (Relat¸ia lui Cauchy) Arătat¸i că ∀x ∈ R
n
li(x)(xi −x) j =
i=0
1 dacă j = 0
0 dacă j = 1,...,n
⎟
⎠ =
Solut¸ie. Pentru t ∈ R s¸i j ∈ {0,1,...,n} fixat, funct¸ia x → (x − t) j ∈ Pn
s¸i coincide cu polinomul său de interpolare în x0,...,xn; formula cerută nu este
altceva decât polinomul de interpolare Lagrange pentru t = x.
Problema 6.3.7 (Nucleul lui Peano pentru operatorul de interpolare Lagrange)
a) Arătat¸i că pentruf ∈ C n+1
b [a,b] avem ∀ x ∈ [a,b]
cu
Deducet¸i că
(Rnf)(x) = f(x)−pn(x) =
Kn(x,t) = 1
n!
(Rnf)(x) =
n
i=0
n
i=0
b
a
Kn(x,t)f (n+1) (t)dt
[(x−t) n + −(xi −t) n + ]li(x)
x
1
(xi −t)
n! xi
n f (n+1)
(t)dt li(x)
b) Ce devineK1(x,t) dacăx ∈ (x0,x1)? Deducet¸i existent¸a unuiξx ∈ (x0,x1)
astfel încât
E1(x) = f ′′ (ξx)(x−x0)(x−x1)/2.
c) Arătat¸i că solut¸ia unică a problemei la limită: ”fiind datg ∈ C[x0,x1] găsit¸i
u ∈ C2 [x0,x1] astfel încâtu ′′ (x) = g(x) pentrux ∈]x0,x1[, u(x0) = u(x1) = 0”
este dată de
u(x) =
x1
x0
K1(x,t)g(t)dt.

90 Interpolare
unde
Solut¸ie. a)
Kn(x,t) = 1
n!
dar
Pe de altă parte
=
En = (R−nf)(x) =
(x−t) n + −
n
i=0
b
a
li(x)(xi −t) n +
Kn(x,t)f (n+1) (t)dt
= 1
n!
n
[(x−t) n +−(xi−t) n +li(x)
b
[(x−t)
a
n + −(xi −t) n + ]f(n+1) (t)dt =
x
[(x−t)
c
n −(xi −t) n ]f (n+1) x
(t)dt+ (xi −t)
xi
n f (n+1) (t)dt
n
i=0
i=0
[(x−t) n −(xi −t) n ]li(x) = 0
conform relat¸iei lui Cauchy.
b)
K1(x,t) = 0 dacă t ∈ (x0,x1)
căci
K1(t) = (x−t)+ −(x0 −t)+l0(x)+(x1 −t)+l1(x)
l0(x) = x−x1
x0 −x1
= x1 −x
x1 −x0
⎧
⎪⎨
(x−x1)(t−x0)
x1 −x0
K1(x,t) =
⎪⎩
(t−x1)(x−x0)
x1 −x0
l1(x) = x−x0
x1 −x0
t ∈ [x0,x]
t ∈ [x,x1]
K1(x,t) ≤ 0 t.medie
⇒ E1(x) = (x−x0)(x−x1)
f
2
′′ (x)
c) Scriind căp1 = 0 este polinomul de interpolare al luiucu nodurilex0 s¸ix1
obt¸inem
u(x)−p1(x) =
x1
x0
k1(x,t)u ′′ (t)dt =
x1
p1(x0) = u(x0) = 0 = p1(x1) = u(x1)
x0
k1(x,t)g(t)dt
Se verifică us¸or că problema la limită admite efectiv o solut¸ie. K1 se numes¸te
funct¸ia lui Green a problemei la limită.

6.4. Interpolare Birkhoff 91
6.4 Interpolare Birkhoff
Problema 6.4.1 Dându-se f ∈ C2 [0,h], h > 0 să se determine un polinom de
grad minimB astfel încât
B(0) = f(0)
(6.1)
Să se dea expresia restului.
B ′ (h) = f ′ (h).
Solut¸ie. m = 1, r0 = 0, r1 = 1, I0 = {0}, I1 = {1}, n = 1
Solut¸ia există s¸i este unică.
(6.1) ⇒ ∆ = 0 1
1 0 = 1 = 0
(B1f)(x) = b00(x)f(0)+b11(x)f ′ (h)
(B1f)(x) = f(0)+xf ′ (h)
b00(x) = Ax+b b11(x) = Cx+D
b00(x) = 1 b11(x) = x
Pentru rest se aplică teorema lui Peano.
(R1f)(x) =
h
ϕ1(x;s) = (x−s)+ −x =
0
ϕ1(x;s)f ′′ (s)ds
−x x ≤ s
−s x > s
ϕ1(x;s) ≤ 0, ∀x,s ∈ [0,h]
(R1f)(x) = E(x)f ′′ (ξ), ξ ∈ [0,h]
E(x) = x2
2 −hx R1f∞ ≤ h
2 f′′ ∞
Problema 6.4.2 Pentru f ∈ C 3 [0,h], h ∈ R+, m = 2, r0 = 1, r1 = 0, r2 =
1, I0 = I = {1}, I1 = {0} să se construiască formula de interpolare Birkhoff
corespunzătoare.
Solut¸ie.
⎧
⎨
⎩
P(x) = a0x 2 +a1x+a2
P ′ (0) = a1 = f ′ (0)
P
h h
= 2
2
4 a0 + h
2a1 +a2 = f
h
2
P ′ (h) = 2ha0 +a1 = f ′ (h)

92 Interpolare
Rezolvând sistemul se obt¸ine
(B2f)(x) = (2x−h)(3h−2x)
f
8h
′ (0)+f
(B2f)(x) = b01(x)f ′ (0)+b10(x)f
h
2
+ 4x2 −h2 f
8h
′ (h)
h
+b21(x)f
2
′ (h)
b01(x) = (2x−h)(3h−2x)
8h2 , b10(x) = 1, b21(x) = 4x2 −h2 8h
h
(R2f)(x) =
0
ϕ2(x;s)f ′′′ (s)ds
ϕ2(x;s) = 1
2 {(x−s)2 −b01(x)[(0−s) 2 + ]+b10(x)
h
2 −s
= 1
(x−s)
2
2
h
+ −
2 −s
2 − 4x2 −h2
(h−s) .
4h
+
ϕ2(x;s) ≥ 0 dacă x ∈ 0, h
, s ∈ [0,h]
2
h
ϕ2(x;s] ≤ 0 pentru x ∈
2 ,h
, s ∈ [0,h]
Pentru x ∈ [0,h], ϕ2(x,·) are semn constant pe[0,h]
(R2f)(x) = f ′′′ (ξ)
b
a
2 −S21[(h−s)
+
2 + ]′
(x;s)ds = (2x−h)(2x2 −2hx−h 2 )
f
24
′′′ (ξ), 0 ≤ ξ ≤ h
Problema 6.4.3 Să se determine un polinom de grad minim care verifică
P(0) = f(0), P ′ (h) = f ′ (h), P ′′ (2h) = f ′′ (2h),
unde f ∈ C 3 [0,2h] (Problema Abel-Goncearov cu două noduri). Dat¸i expresia
restului.
Solut¸ie. Din condit¸iile de interpolare se obt¸ine
P(x) = f′′ (2h)
x
2
2 +[f ′ (h)−hf ′′ (2h)]x+f(0)

6.5. Interpolare rat¸ională 93
Tratând problema ca pe o PIB cu m = 2, I0 = {0}, I1 = {1}, I2 = {2}
obt¸inem
b00(x) = 1 b11(x) = x b22(x) = x2
2 −hx
(R3f)(x) =
2h
0
ϕ2(x;s)f ′′′ (s)ds
ϕ2(x;s) = 1
2! {(x−s)2 −b00(x)(0−s) 2 + −b11(x)[(h−s) 2 + ]′ −b22(x)[(2h−s) 2 + ]′′ }
unde
= 1
= 1
2
2 [(x−s)2 + −2x(h−s)+ −(x 2 −2hx)(2h−s) 0 + ]
⎧
⎪⎨
⎪⎩
s 2 x ≥ s s < h
s 2 +2x(h−x) x ≥ s s > h
x(2s−x) x < s s < h
−x(x−2h) x < s s > h
ϕ2(x;s) ≥ 0
Putem aplica corolarul la teorema lui Peano
E(x) = x3
6
∃ξ ∈ [0,2h] a.î. (R3f)(x) = E(x)f ′′′ (ξ),
1
−
2 h2b11(x)−24b22(x) = x3
6 − h2x 2 −2h
2 x
2 −hx
= x3
6 − h2 x
2 −hx2 +2h 2 x = x3
6 −hx2 + 3h2
2 x
6.5 Interpolare rat¸ională
Problema 6.5.1 Să se determine o aproximare Padé de grad 5 cu n = 2, n = 3
pentruf(x) = e x .
Solut¸ie.
r(x) = pn(x)
qm(x) , p ∈ Pn, q ∈ Pm
f (k) (0)−r (k) (0) = 0, k = 0,N, N = n+m = 5
f(x)−r(x) = f(x)− p(x)
q(x)
= f(x)q(x)−p(x)
q(x)
=

94 Interpolare
=
∞
aix i
i=0
m
qix i −
i=0
q(x)
n
pix i
f−r are o rădăcină multiplă de ordinN. Pentru coeficientul luixk de la numărător
avem
k
aiqk−1 −pk = 0, k = 0,N
i=0
Luămq0 = 1 s¸i pn+1 = pn+2 = ··· = pN = 0 s¸i qm+1 = qm+2 = ··· = qN = 0
i=0
x 5 : 1
2 q3 + 1
6 q2 + 1
24 q1 = − 1
120
x 4 : q3 + 1
2 q2 + 1
6 q1 + 1
= 0
24
x 3 : q3 +q2 + 1
2 q1 + 1
= 0
6
x 2 : q2 +q1 −p2 + 1
= 0
2
x 1 : q1 −p1 +1 = 0
x 0 : p+0 = 1
p0 = 1, p1 = 3
5 , p2 = 2
20 , q1 = − 2
5 q2 = 3
20 , q3 = − 1
60
r(x) =
1− 2
5
1+ 3 1 x+ 5 20x2 x+ 3
20 x2 − 1
60 x3
Problema 6.5.2 Determinat¸i aproximarea Padé de grad 6 pentruf(x) = sinx s¸i
n = m = 3.
Solut¸ie.
k
akqk−i −pk = 0, k = 0,6
i=0
p4 = p5 = p6 = 0 q0 = 1
qn = q5 = q6 = 0 a0 = 0, a1 = 1, a2 = 0
sinx = x− x3
3!
+ x5
5!
− x7
7! +...

6.5. Interpolare rat¸ională 95
a3 = − 1
a4 = 0 a5 =
6
1
a6 = 0
120
Se obt¸in următorii coeficient¸i:
x7 : a0q6 +a1q5 +a2q4 +a3q3 +a4a2 +a5q1 +a6q0 −p6 = 0
x 6 : q5 − 1
6 q3 + 1
120 q1 = 0
x 5 : a1q4 +a3q2 +a5q0 −p5 = q4 − 1
6 q2 + 1
120
x 4 : a1q3 +a3q1 −p4 = q3 − 1
6 q1 = 0
x 3 : a1q2 +a3q0 −p3 = q2 − 1
6 −p3 = 0
x 2 : a1q1 −p2 = q1 −p2 = 0
x 1 : a0q1 +a1q0 −p1 = 1−p1 = 0
x 0 : a0q0 −p0 = 0
p0 = 0 p1 = 1 q1 = p2 = 0
q3 = 0 q2 = 1
p3 = q2 − 20 1
6
r(x) =
1 1 = − 20 6
= − 7
60
x− 7
60 x3
1+ 1
20 x2
Problema 6.5.3 Dându-sef(0) = 1, f
1 2 1
= , f(1) = , determinat¸i o funct¸ie
2 3 2
F de interpolare rat¸ională pentruf.
Solut¸ie.
F = Pr
Ps
m = r +s
f(xi) = f(xi) i = 0,m
fm(x) = f(x0)+
v1(x1)+
v2(x2)+
vi(xi) - diferent¸ele divizate inverse
M = {xi|xi ∈ R, i = 0,m}, xi = xj (i = j)
f : M → R
[x0,x1,...,xk−1,xk;f] − =
= 0
x−x0
x−x1
x−v2
v3(x3)+
. ..
+ x−xm−1
vm(xm)
xkxk−1
[x0,...,xk−2,xk;f] − −[x0,...,xk−1;f] −
[x0,x1;f] − = [x0,x1;f] −1

96 Interpolare
G0 = 1 G1(x) = f(x0)
H0 = 0 H1(x) = 1
Gk+1(x) = rk(xk)Gk(x)+(x−xk−1)Gk−1(x)
Pentru calculul diferent¸elor divizate inverse se construies¸te tabelul
x0 v00
x1 v10 v11
x2 v20 v21 v22
... ... ... ...
. ..
xi vi0 vi1 vi2 ... vii
... ... ... ... ... ...
. ..
xn vm0 vm1 vm2 ... vmi ... vmm
vi0 = f(xi) vik =
În cazul nostru
0 1
1
1 2 2
1 −2 −1
2
3 −3
1
2
F2(x) = f(x0)+
Restul are expresia
xi −xk−1
vi,k−1 −vk−1,k−1
v1,1 = x1 −x0
v1,0 −v0,0
v2,1 = x2 −x1
v2,1 −v1,1
(Rmf)(x) =
x−x0
v11 + x−x1
v22
6.6 Interpolare spline
=
1
2 −0
2
3 −1
= − 3
2
= −2, v2,2 = x2 −x1
v2,1 −v1,1
= 1+
− 3
2 +
x
k = 1,i i = 1,m
x− 1
2
−1
= −1
= 1
x+1
(−1) m u(x)
Hm+1(x)[vm+1(x)Hm+1(x)+(x−xm)Hm(x)] .
Problema 6.6.1 Arătat¸i că orice funct¸ie f ∈ C m [a,b] poate fi aproximată uniform,
împreună cu derivatele ei până la ordinul m printr-o funct¸ie spline de gradulm,
derivatele ei respectiv prin derivatele funct¸iei spline până la ordinulm.

6.6. Interpolare spline 97
Demonstrat¸ie. f ∈ C m [a,b] ⇒ f (m) ∈ [a,b] ⇒ f (m) poate fi aproximată
uniform pe [a,b] printr-o funct¸ie în scară, continuă la dreapta s¸i discontinuă în
x1,x2,...,xn ∈ [a,b], notată cu hm.
Fie problema diferent¸ială
s (m) (x) = hm(x), x ∈ [a,b]
s (r) (a) = f (r) (a), r = 0,m−1
Solut¸ia acestei probleme pe[a,b] este
s(x) = f(a)+(x−a)f ′ (a)+···+ (x−a)m−1
(m−1)! f(m−1) x
(x−t)
(a)+
a
m−1
(m−1)! hm(t)dt
(6.2)
s este o funct¸ie spline de grad m căci
s|(xi,xi+1) ∈ Pm−1, s ∈ C m−1 [a,b]
f ∈ C m [a,b] ⇒
f(x) = f(a)+(x−a)f ′ (a)+···+ (x−a)m−1
(m−1)! f(m−1) x
(a)+
a
(6.2), (6.3) ⇒ f (r) (x) − s (r) (x) = x
a
0,m−1
f (r) −s (r) ∞ ≤ (b−a)m−r
(x−t) m−1
(m−1)! f(m) (t)dt
(6.3)
(x−t) m−r−1
(m−r−1)! [f(m) (t) − hm(t)]dt, r =
(m−r)! f(m) −hm ∞, r = 0,m−1
Problema 6.6.2 Fiea,b ∈ R, a < 0, b > 1, f : [a,b] → R s¸tiind căf ∈ C 1 [a,b]
s¸i cunoscând f(0),f
1
2

98 Interpolare
3
i=1
bix r i = 0, r = 0,m−1, m = 2
s ′′
i(x) = 6b1x+ +6b2
s ′′
i
x− 1
+6b3(x−1)+
2 +
(0) = s′′ (1) = 0
s ′′′
i (x) = 6(b1 +b2 +b3) = 0 ⇒ b1 +b2 +b3 = 0 (x ≥ 1)
i
s ′′
i (0) = 0
s ′′
i (1) = 6b1 +3b2 = 0
b2 = −2b1
b1 +b2 +b3 = 0 ⇒ b3 = b1
si(x) = a0 +a1x+b x 3 + −2
x− 1
3 2
s1(0) = a0 = 1
1
s1 = 1+
2
a1 1
+b· = 0
2 8
s1(1) = 1+a1 +b 1− 1
= 0
4
s1(x) = 1− 5
2 x+2
x 3
+ −2 x− 1
3 2
s2(0) = a0 = 0
1
s2 =
2
a1 b
+ = 1
2 8
s2(1) = a1 +b 1− 1
= 0
4
s2(x) = 3x−4 x 3 + −2
x− 1
3 2
s3
s3(0) = a0 = 0
1
=
2
a1 b
+ = 0
2 8
s3(1) = a1 + 3b
4
= 1
+(x−1) 3 +
+(x−1)
+
3 +
+(x−1)
+
3 +

6.6. Interpolare spline 99
s3(x) = − 1
2 x+2
x 3
+ −2 x− 1
3 +(x−1)
2
3
+
Pentru rest folosim teorema lui Peano
ϕ(x,t) =
(Rf)(x) =
b
1
(x−t)
(m−1)!
m−1
+ −
= (x−t)+ −
a
ϕ(x;t)f (m) (t)dt
3
si(x)(xi −t)+ =
i=1
3
si(x)(xi −t)+ =
i=1
1
= (x−t)+ −s1(x)(−t)+ −s2(x)
2 −t
+
−s3(1−t)+
Problema 6.6.3 Fie funct¸ia f(x) = sinπx s¸i nodurile x0 = 0, x1 = 1
6 , x2 =
1
2 , x3 = 1.
Să se determine o funct¸ie spline naturală s¸i o funct¸ie spline limitată (racordată)
care aproximează pef.
Solut¸ie. Vom rezolva un sistem liniar de formaAx = b.
Pentru funct¸ia spline naturală avem:
⎡
⎢
A = ⎢
⎣
1 0 0 ... ... 0
h0 2(h0 +h1) h1 ... ... 0
0 h1 2(h1 +h2) h2 ... 0
... ... ... ... ... ...
... ... hn−2 2(hn−1 +hn+1) hn−1
0 ... ... 0 0 1
⎡
⎢
b = ⎢
⎣
3
hn−1
0
3
(an −a1)− 3
(a1 −a0)
h1
h0
.
(an −an−1)− 3
0
(an−1 −an−2)
hn−2
⎤
⎥
⎥.
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦

100 Interpolare
Pentru funct¸ia spline limitată:
⎡
⎤
2h0 h0 0 ... ... 0
⎢ h0 2(h0 ⎢ +h1) h1 ... ... ... ⎥
⎢
A = ⎢ 0 h1 2(h1 +h2) h2 ... 0 ⎥
⎢ ... ... ... ... ... 0 ⎥
⎣ ... ... ... hn−2 2(hn−2 +hn−1) hn−1 ⎦
0 ... ... 0 hn−1 2hn−1
⎡
⎢
b = ⎢
⎣
3
h0 (a1 −a0)−3f ′ (a)
3
h1 (a2 −a1)− 3
h0 (a1 −a0)
.
3
hn−1 (an −an−1)− 3
hn−2 (an−1 −an−2)
3f ′ (b)− 3
hn−1 (an −an−1)
bj = 1
hj
hj = xj+1 −xj
(aj+1 −aj)− hj
3 (2cj +cj+1)
dj = cj+1−cj
, n = 3
3hj
a0 = 0, a1 = 1
2 , a2 = 1, a3 = 0
h0 = 1
6 , h1 = 1 1 1
− =
2 6 3 , h2 = 1
2
⎡ ⎤
⎡
⎢
b = ⎢
⎣
1 0 0 0
⎢
A = ⎢ 1 1
⎣
1
3 0
0 1
⎥
5 1 ⎦
3 3 2
0 0 0 1
0
3
1 ·
3
1
2 − 3 1 ·
6
1
2
(−1)− 3 1 ·
3
1
⎤
⎥
2 ⎦
0
=
⎡
⎢
⎣
⎡ 1 1
0 0 3 6
⎢ 1 1
A = ⎢ 1 6 3
⎣
0
0 1
⎤
⎥
3 1 ⎦
3 5 2
0 0 0 1
3 1
2
0
−9 2
−15 2
0
⎤
⎥
⎦
f ′ (x) = πcosπx f ′ (0) = π f ′ (1) = −π
⎤
⎥
⎦

6.6. Interpolare spline 101
⎡ ⎤
3(3−3π)
b = ⎣ ⎦
− 9
2
3(2−π)
3
40 (a1 −a0)−3f ′ (0) = 3
1 ·
6
1
−3π = 3(3−3π)
2
−3π − 3 1(−1)
= 6−3π = 3(2−π)
2
Problema 6.6.4 Fie f : [a,b] → R, f ∈ C 1 [a,b], a < 0, b > 1. Să se
scrie o funct¸ie spline naturală de interpolare care verifică s(0) = f(0), s ′ (0) =
f ′ (0), s(1) = f(1), s ′ (1) = f ′ (1).
Solut¸ie. Funct¸ia căutată este de forma
s(x) = pm−1(x)+
n ri
i=1
j=0
cij(x−xi) 2m−1−j
+
s(x) = a0 +a1x+c10x 3 +c11x 2 +c20(x−1) 3 +c21(x−1) 2 +
Avem 6 necunoscute s¸i 4 condit¸ii
s ′ (x) = a1 +3c10x 2 + +2c11x+ +3c20(x−1) 2 + +2c21(x−1)+
s(0) = a0 = f(0)
s ′ (0) = a1 = f ′ (0)
s(1) = f(0)+f ′ (0)+c10 +c11 = f(1)
s ′ (1) = f ′ (0)+3c10 +2c11 = f ′ (1)
s ′′ (1) = 0
s ′′ (x) = 6c10x+ +2c11x 0 + +6c20(x−1)+ +2c21(x−1) 0 +
3c10 +c11 +c21 = 0
s ′′′ (x) = 6c10x 0 + +6c20(x−1) 0 +
s ′′′ (1) = c10 +c20 = 0 c20 = −c10
c10 +c11 = f(1)−f(0)−f ′ (0)
3c10 +2c11 = f ′ (1)−f ′ (0)
c10 = 2f(0)+f ′ (0)−2f(1)+f ′ (1)

102 Interpolare
c11 = f(1)−f(0)−f ′ (0)−2f(0)−2f ′ (0)+2f(1)−f ′ (1) =
= 3f(1)−3f(0)−3f ′ (0)−f ′ (1)
c21 = −3c10−c11 = −6f(0)−3f ′ (0)+6f(1)−3f ′ (1)−3f(1)+3f(0)+3f ′ (0)+f ′ (1) =
= −3f(0)+3f(1)−2f ′ (1)
Altfel. Pe [0,1], s(x) coincide cu polinomul de interpolare Hermite cu nodurile
duble 0 s¸i 1, H3f, iar pe [a,0) ∪ (1,b] este un polinom de grad 1 tangent la
H3f
⎧
⎨
s(x) =
⎩
f ′ (0)x+f(0) x ∈ [a,0)
(H3f)(x) x ∈ [0,1]
f ′ (1)x+f(1)−f ′ (1) x ∈ (1,b]

Capitolul 7
Aproximări în medie pătratică
Se pune problema să se aproximeze o mult¸ime de date (xi,yi), i = 1,m, yi =
f(xi) printr-o funct¸ie F care se exprimă ca o combinat¸ie liniară a unor funct¸ii
g1,...,gn liniar independente astfel încât
în cazul continuu sau
b
a
w(x)[f(x)−F(x)] 2 dx
m
w(x)[f(xi)−F(xi)] 2
i=0
1/2
1/2
→ min,
→ min
în cazul discret (principiul celor mai mici pătrate).
Dacă f(xi)−F(xi) = 0, i = 0,m ajungem la interpolarea clasică.
P.c.m.m.p. constă în determinarea unui e.c.m.b.a în L 2 w[a,b] adică g ∗ ∈ A ⊂
L 2 w[a,b] astfel încât
Dacă A este spat¸iu liniar
Punând g =
n
λigi, g ∗ =
i=1
f −g ∗ = minf
−g
g∈A
〈f −g ∗ ,g〉 = 0, ∀g ∈ A. (7.1)
n
i=1
λ ∗ igi
(7.1) ⇔ 〈f −g ∗ ,gk〉 = 0, k = 1,n ⇔
n
λi〈gi,gk〉 = 〈f,gk〉, k = 1,n. (7.2)
i=1
103

104 Aproximări în medie pătratică
Ecuat¸iile lui (7.2) se numesc ecuat¸ii normale. Determinantul lui (7.2) este determinantul
Gram al vectorilorg1,...,gn, G(g1,...,gn) = 0, căcig1,...,gn sunt
liniar independente.
Deci g∗ există s¸i este unic.
În cazul discret putem lucra analog cu
m
〈f,g〉 = w(xi)f(xi)g(xi).
i=0
Problema poate fi tratată s¸i astfel:
Fie
m
G(a1,...,an) = w(xi) f(xi)−
i=0
n
akgk(x)
k=1
Pentru a determina minimul luiGvom rezolva sistemul
∂G
(a1,...,an) = 0, i = 1,n.
∂aj
Observat¸ia 7.0.5 Dacă funct¸iile gk, k = 1,n formează un sistem ortogonal
coeficient¸ii λ∗ k sau a∗k se pot obt¸ine astfel
a ∗ k
Problema 7.0.6 Dându-se punctele
= 〈f,gk〉
〈gk,gk〉 .
(0,−4),(1,0),(2,4),(3,−2),
determinat¸i polinomul de gradul I corespunzător acestor date prin metoda celor
mai mici pătrate.
G(a1,a2,...,an) =
m
i=0
∂G
∂ak
= 2
m
i=0
gj(xi) = g i j
yi −
m
i=0
yi −
n
ajgj(xi)
j=1
2
n
ajgj(xi) gk(xi) = 0
j=1
n
ajgj(xi)gk(xi) =
j=1
m
yigk(xi), k = 1,n
i=0

matricial
Gjk =
dk =
n = 1, g1(x) = 1, g2(x) = x, m = 3
G12 =
G11 =
3
i=0
Ga = d
m
gj(xi)gk(xi)
i=0
m
yigk(xi)
i=0
g1(xi)g1(xi) = 1 2 +1 2 +1 2 +1 2 = 4
3
g1(xi)g2(xi) = 1·0+1·1+1·2+1·3 = 6
i=0
G22 = 0 2 +1 2 +2 2 +3 2 = 14
d1 = −4·1+0·1+4·1+(−2)·1 = −2
d2 = −4·0+0·1+4·2+(−2)·3 = 2
4 6 a1 −2
= ⇒ a1 = −2, a2 = 1
6 14 2
a2
F(x) = x−2
105
Problema 7.0.7 Să se găsească aproximarea continuă de gradul 2 prin metoda
celor mai mici pătrate pentruf(x) = sinπx pe intervalul[0,1].
∂G
∂aj
= ∂
∂aj
⎡
⎣
b
a
G(a0,a1,a2) =
G(a0,...,an) =
[f(x)] 2 dx−2
P2(x) = a0 +a1x+a1x 2
b
[f(x)−a0 −a1x−a2x
a
2 ] 2 dx
2 b
n
k=0
a
ak
b
b
= −2 x
a
j f(x)dx+2
a
f(x)−
n
akx k
k=0
x k f(x)dx+
n
k=0
ak
b
a
b
a
dx
n
akx k )
k=0
x j+k dx = 0
2
⎤
dx⎦
=

106 Aproximări în medie pătratică
a0
n
k=0
1
1
a0
0
1
a0
0
0
ak
b
a
dx+a1
xdx+a1
x 2 dx+a1
x j+k dx =
1
0
1
0
1
0
b
a
xdx+a2
x 2 dx+a2
x 3 dx+a2
x j f(x)dx, j = 0,n
1
0
1
0
1
0
x 2 dx =
x 3 dx =
x 4 dx =
Calculând integralele se obt¸ine
⎧
a0 +
⎪⎨
1
2 a1 + 1
3 a2 = 2
π
1
2 a0 + 1
3 a1 + 1
4 a2 = 1
π
⎪⎩
a0 = 12π2 −120
π 3
1
3 a0 + 1
4 a1 + 1
5 a2 = π2 −4
π3 1
0
1
0
1
a1 = −a2 = 720−60π2
π 3
0
sinπxdx
xsinπxdx
x 2 sinπxdx
Problema 7.0.8 Să se calculeze aproximarea Fourier discretă pentru m = 2 p =
2 direct s¸i aplicând algoritmul FFT.
{(xj,yj)} 2m−1
j=0 , m = 2p = 2, xj = −π + jπ
m
x0 = −π, x1 = −π + π
2
= −π
2
x2 = −π +π = 0 x3 = −π + 3π
2
ω = i = cos π π
+isin
2 2
⎡
⎢
⎣
c0
c1
c2
c3
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
1 1 1 1
1 ω ω 2 ω 3
1 ω 2 ω 4 ω 6
1 ω 3 ω 6 ω 9
⎤⎡
⎥⎢
⎥⎢
⎦⎣
y0
y1
y2
y3
j
= π
m −1
= π
2
⎤
⎥
⎦ =

=
⎡
⎢
⎣
1 1 1 1
1 i −1 −i
1 −1 1 −1
1 −i −1 i
⎤⎡
⎥⎢
⎥⎢
⎦⎣
y0
y1
y2
y3
⎤
⎡
⎥
⎦ =
⎢
⎣
y +0+y1 +y2 +y3
y0 +iy1 −y2 −iy3
y0 −y1 +y2 −y3
y0 −iy1 −y2 +iy3
F(x) = 1
2m−1
cke
m
ikx = 1
ck(coskx+isinkx) =
m
k=0
= 1
2 [c0 +c1(cosx+isinx)+c2(cos2x+isin2x)+c3(cos3x+isin3x)]
1
m cke −πik = ak +ibk
Algoritmul FFT simplificat
Intrare: a = [a0,a1,...,a T n−1 , n = 2k , k dat
Ies¸ire:F(a) = [b0,b1,...,bn−1] T
n−1
bi =
ajω ij , i = 0,n−1
j=0
Metoda
P1. Pentru i = 0,...,2 k −1 executăR[i] := ai
P2. Pentru l = 0,...,k −1 execută P3-P4
P3. Pentru i = 0,...,2 k−1 executăS[i] := R[i]
Fie [d0d1...dk−1] reprezentarea binară a luii
R[[d0,...dk−1]] ← S[[d0...dl−10dl+1...dn−1]]+
+ω [dldl1...d00...0] S[[d0...dl−11dl+1...dk−1]]
P5. Pentru i = 0,...,2 k −1 execută
b[[d0,...,dk−1]] ← R[[dk−1,...,d0]]
Avemn = 4, k = 2, ai = yi
Et.1.R[d0,d1] = S[0,d1]+ω [d00] S[1d1]
Et.2.R[d0,d1] = S[d0,0]+ω [d0d1] S[d01]
1. R = [y0,y1,y2,y3]
2. l = 0
3. S = [y0,y1,y2,y3]
i = 0
R[d0,d1] = S[0,d1]+ω [d0,0] S[1,d1]
i = [d0d1] = [0,0]
⎤
⎥
⎦
107

108 Aproximări în medie pătratică
R[0,0] = S[0,d1]+ω [d0,0] S[1,d1] = S[0,0]+ω [0,0] S[1,0] = y0 +y2
i = 1
i = 2
i = [d0,d1] = [0,1]
R[0,1] = S[0,1]+ω [0,0] S[1,1] = y1 +y3
i = [d0,d1] = [1,0]
R[1,0] = S[0,0]+ω [1,0] S[1,0] = S[0,0]+ω 2 S[1,0] = y0 +ω 2 y2 = y0 −y2
i = 3
i = [d0,d1] = [1,1]
R[1,1] = S[0,1]+ω [1,0] S[1,1] = S[0,1]+ω 2 S[1,1] = y1 +ω 2 y3 = y1 −y3
l = 1
i = 0
S = [y0 +y2,y1 +y3,y0+ω 2 y2,y1 +ω 2 y3]
R[d0d1] = S[d0,0]+ω [d0d1] S[d0,1]
i = [d0,d1] = [0,0]
R[0,0] = S[0,0]+ω [0,0] S[0,1] = S[0,0]+S[0,1] = y0 +y1 +y2 +y3
i = 1 = [d0,d1] = [0,1]
r[0,1] = S[0,0]+ω [0,1] S[0,1] = S[0,0]+ωS[0,1] = y0 +y2 +i(y1 +y3)
i = 2
i = 3
5.
[d0d1] = [1,0]
R[1,0] = S[1,0]+ω 2 S[1,1] = y0 +ω 2 y2 +ω 2 (y +1+ω 2 y3)
[d0d1] = [1,1]
R[1,1] = S[1,0]+ω [1,1] S[1,1] = y0 +ω 2 y2 +ω 3 (y +1+ω 2 y3)
c[0,0] = R[0,0] = y0 +y1 +y2 +y3
c[0,1] = R[1,0] = y0 −y2 +i(y1 −y3)
c[1,0] = R[0,1] = y0 +y2 −ω 2 (y1 +ω 2 y3) = y0 +y2 −y1 −y3
c[1,1] = R[1,1] = y0 −y2 −i(y1 −y3)
a0 = c0
m = y0 +y1 +y2 +y3
2

am = a2 = Re(e 2−πi c2/2) = y0 −y2 +y1 −y3
2
a1 = Re(e −πi c1/m) = 1
2 Re{(−1)(y0 −yi +i(y1 −y2)] = y2 −y0
b1 = Im(e −πi c1/m) = y3 −y1
2
109

Capitolul 8
Operatori liniari s¸i pozitivi
8.1 Operatorul lui Bernstein
Problema 8.1.1 Să se afle expresia polinomului Bernstein (Bmf)(x;a,b) corespunzător
unui interval compact[a,b] s¸i unei funct¸iif definite pe acest interval.
Solut¸ie. Se face schimbarea de variabilă
(Bmf)(y;a,b) =
1
(b−a) m
m
k=0
x =
y −a
b−a
m
(y −a)
k
k (b−y) m−k
f a+(b−a) k
m
Problema 8.1.2 Determinat¸i(Bmf)(x;a,b) în cazul când f(x) = e Ax .
Solut¸ie.
(Bmf)(x;a,b) =
k
A[a+(b−a)
e m] =
m
k=0
=
m
k
1
(b−a) m
x−a
b−a
m
k=0
m
(x−a)
k
k (b−x) m−k
k m−k b−x k
Ab
e me
b−a
Aa(m−k)
m =
b−x
b−a eAa m + x−a
b−a eAb
m m
110

8.1. Operatorul lui Bernstein 111
Problema 8.1.3 Să se arate că pentruf(t) = cost avem
(Bmf)
x,− π
2
Solut¸ie. Se foloses¸te identitatea
π
, =
2
1
cos
2
π
2m +i2x
m π
sin +
π 2m
+ 1
cos
2
π
2m −i2x
m π
sin
π 2m
cosx = 1
2 (eix +e −ix )sinx = 1
2i (eix −e −ix )
Problema 8.1.4 Să se arate că dacăf este convexă pe[0,1] atunci are loc inegalitatea
f(x) ≤ (Bmf)(x) pe [0,1]
Solut¸ie.
f convexă Jensen
⇒ f
m
αk ∈ [0,1],
k=0
m
f pmk(x)
k=0
k
≤
m
x
Problema 8.1.5 Dacă f ∈ C r [0,1] atunci
Solut¸ie. Se arată întâi că
lim
m→∞ (Bmf) (r) = f (r)
(Bmf) (r) (x) = m [r]
m−r
n=0
αkxk
≤
m
αk = 1
k=0
m
αkf(xk)
k=0
m
pm,k(x)f
k=0
k
m
uniform pe [0,1]
pm−r,k(x)∆ r
k
1 f , (8.1)
m m

112 Operatori liniari s¸i pozitivi
de exemplu prin induct¸ie.
(Bmf) (r) (x) = m[r]
m r
xk =
m−r
pm−r,k(x)f (r) (xk)
n=0
k +θkr
0 < θk < 1
m
k k +r
,
m m
xk ∈
(am aplicat formula de medie)
Notăm
C(m,r) = m[r]
= 1−
mr 1
1−
m
2
... 1−
m
r−1
m
f (r) (x)−(Bmf) (r) m−r
(x) = pm−r,k(x)(f (r) (x)−f (r) (xk))+
m−r
k=0
k=0
m−r
+[1−c(m,r)]
k=0
pm−r,k(x)f (r) (xk)
pm−r,k(x)|f (r) (xk)| ≤ Mr(f) = sup |f
x∈[0,1]
(r) (x)|
(1−a1)...(1−ar−1) ≥ 1−(a1 +···+ar−1)
dacăa1,...,ar−1 ≤ 1 de acelas¸i semn
Putem scrie
C(m,r) ≥ 1−
1+2+···+(r −1)
m
= 1−
|f (r) (x)−(Bmf) (r) m−r
(x)| ≤ pm−r,k(x)|f (r) (x)−f (r) (xk)|
Fie
k=0
S
Fm = {k||x−xk| ≤ δ}
Jm = {k||x−xk| > δ}
r(r −1)
m
+ r(r −1)
2m Mr(f)

8.1. Operatorul lui Bernstein 113
r fix, m → ∞
S ≤ ε
2
pm−r,k(x)
k∈Im
≤1
+2Mr(f)
pm−r,k(x)
n∈Jm
S2
≤ 1
δn m−r
(x−xk)
n=0
2 pm−r,k(x)
|x−xk| <
k
x−
r
m−r +
m
1+ 2r
1 r2
+
m 4(m−r) m2
1+ 2r
Mr(f)
m 2(m−r)δ 2+
S2 ≤
|f (r) (x)−(Bmf) (r) (x)| < ε
2 +
+ 2r2Mr(f) m2 r(r −1)
+
δ2 2m Mr(f)
|f (r) (x)−(Bmf) (r) (x)| < ε
m > Nε, ∀x ∈ [0,1]
Să demonstrăm acum (8.1)
p ′
m
m,k (x) = k x
k
k−1 (1−x) m−k
m
−(m−k) x
k
k (1−x) m−k−1 =
m−1
= m x
k −1
k−1 (1−x) m−k
m−1
−m x
k
k (1−x) m−k−1 =
= m[pm−1,k−1(x)−pm−1,k(x)]
Presupunem relat¸ia adevărată pentrur.
Pentru r +1 avem
(Bmf) (r+1) = m [r]
m−r
k=0
= m [r] (m−r)
= m [r+1]
m−r
k=0
p ′ m−k,k (x)∆r
k
1 f
m
m
m−r
pm−r−1,k(x)
k=0
pm−r−1,k(x)∆ r 1 f
m
∆ r 1 f
m
k
.
m
k +1
m
≤
−∆ r
k
1 f
m m

114 Operatori liniari s¸i pozitivi
8.2 B-spline
∆ : t0 ≤ t1 ≤ ··· ≤ tk ≤ a ≤ ··· ≤ b ≤ tn ≤ ··· ≤ tn+k
multiplicitateari +1 ≤ k +1
Foarte frecvent avem
t0 = t1 = ··· = tk = a < tk+1 ≤ ··· ≤ tn−1 < b = tm = ··· = tn+k
1 dacăx ∈ [ti,ti+1]
Bi,0(x) =
0 în caz contrar
⎧
⎨ x−ti
dacăti < ti+k
ωi,k(x) = ti+k −ti
⎩
0 în caz contrar
(8.2)
Bi,k(x) = ωi,k(x)Bi,k−1(x)+(1−ωi+1,k(x))Bi+1,k−1(x) (8.3)
Bi,k(x) = (ti+k+1 −ti)[ti,...,ti+k+1,(·−x) k + ]
Problema 8.2.1 Să se scrie expresia funct¸iilor B-spline de grad 3 cu nodurile
{ti = i|i ∈ Z}
Solut¸ie. Avem
Bi,k(x) = Bj+l,k(x+l),
s¸i deci este suficient să determinăm un singur spline.
Bj,k(x) = ωi,k(x)Bi,k−1(x)+(1−ωi+1,k(x))Bi+1,k−1(x) =
= x−i
i+k −i Bi,k−1(x)+
x−i−1
1−
i+1+k −i−1
= x−i k +i+1−x
Bi,k−1(x)+ Bi+1,k−1(x)
k k
Bj+l,k(x+l) =
Bi+1,k−1(x) =
x+l −j −l
i+l+k −i−l Bi+l,k−1(x+l)+
x+l−i−l −1
1−
Bi+l+1,k−1 =
i+l +1+k −i−l−1
= x−i
k
k −i−1−x
Bi+l,k−1(x+l)− Bi+l+1,k−1(x+l)
k
B0,3(x) = ω0,3(x)B0,2(x)+(1−ω1,3(x))B1,2(x)) = 1
3 [xB0,2(x)+(4−x)B1,2(x)]
B0,2(x) = ω0,2(x)B0,1(x)+(1−ω1,2(x))B1,1(x) = 1
2 [xB0,1(x)+(3−x)B1,1(x)]

8.2. B-spline 115
B1,2(x) = ω1,2(x)B1,1(x)+(1−ω2,2(x))B2,1(x) = 1
2 [(x−1)B1,1(x)+(4−x)B2,1(x)]
B0,1(x) = xB0,0(x)+(2−x)B0,1(x)
B1,1(x) = (x−1)B1,0(x)+(3−x)B2,0(x)
B2,1(x) = (x−2)B2,0(x)+(4−x)B3,0(x)
1 x ∈ [ti,ti+1)
Bi,0(x) =
0 în rest
1 x ∈ [t0,t1) = [0,1)
B0,0(x) =
0 în rest
1 x ∈ [1,2]
B0,1(x) =
0
B3,3(x) = B0,3(x−3)
⎧
t
⎪⎨
B0,3(x) =
⎪⎩
3
x ∈ [0,1)
6
Problema 8.2.2 Fie acum nodurile
1
6 (−3t3 +12t2 −12t+4) x ∈ [1,2)
1
6 (3t3 −24t2 +60t−44) 2 ≤ t < 3
1
6 (4−t)3 3 ≤ t < 4
Să se determine B-splinele Bi,k pentru k = 2 s¸i S∆f s¸i pentru f ∈ C 2 [0,3],
R∆f.
Solut¸ie. n+k = 7, n = 5
n−1
(S∆f)(x) = Bi,k(x)f(ξi)
i=0
ξi = ti+1
Bi,2
+···+ti+k
k
i = 0,n−1 i = 0,4
x−ti
ti+k−ti ωi,k(x) =
dacăti
0
< ti+k
în rest
.

116 Operatori liniari s¸i pozitivi
Bi,k(x) = ωi,k(x)Bi,k−1(x)+[1−ωi+1,k(x)]Bi+1,k−1(x)
ω0,2(x) = x−t0
= 0, ω0,1(x) = 0, ω1,2(x) = x, ω1,1(x) = 0
t2 −t0
ω2,2(x) = x
2 , ω2,1(x) = x, ω3,2(x) = x−1
, ω3,1(x) = x−1
2
ω4,2(x) = x−2, ω4,1(x) = x−2, ω5,2(x) = 0, ω5,1(x) = 0, ω6,1(x) = 0
B0,2(x) = (1−x)B1,1, B1,1(x) = (1−x)B2,0
B0,2(x) = (1−x) 2
2 (1−x) x ∈ [0,1)
B2,0(x) =
0 în rest
B1,2(x) = ω1,2B1,1 +(1−ω2,2)B2,1 = xB1,1 + 2−x
2 B2,1
B2,1(x) = ω2,1B0,2 +(1−ω3,1)B0,3 = xB2,0 +(2−x)B3,0
B1,2(x) = x(1−x)B2,0 + 2−x
2 xB2,0 + (2−x)2
B3,0
⎧
2
⎨ x
=
⎩
2− 3
2x x ∈ [0,1)
(x−2) 2
x ∈ [1,2) .
2
0 în rest
B2,2(x) = ω2,2B2,1 +(1−ω3,2)B3,1 = x
2 B2,1 + 3−x
2 B3,1
B3,1(x) = ω3,1B3,0 +(1−ω4,1)B4,0 = (x−1)B3,0 +(3−x)B4,0
B2,2 = x
2 xB2,0 + x(2−x)
B3,0 +
2
3−x
(x−1)B3,0 +
2
(3−x)2
⎧
2
⎪⎨
x
=
⎪⎩
2
x ∈ [0,1)
2
x(2−x) (3−x)(x−1)
+ x ∈ [1,2)
2 2
x ∈ [2,3)
(3−x) 2
2
B4,0 =
B3,2(x) = ω3,2B3,1 +(1−ω4,2);B4,1 = x−1
2 B3,1 +(3−x)B4,1
B4,1(x) = ω4,1B4,0 +(1−ω5,1);B5,0 = (x−2)B4,0
B3,2(x) = x−1
(x−1)B3,0 +
2
x−1
(3−x)B4,0 +(3−x)(x−2)B4,0 =
⎧
2
(x−1)
⎨
=
⎩
2
x ∈ [1,2)
2
(3−x)
x−1+2x−4 x ∈ [2,3)
2
0 în rest

8.2. B-spline 117
Problema 8.2.3 Pentru oricek ≥ 0 s¸i oricex ∈ R,Bi,k este derivabilă la dreapta
s¸i avem
B ′
Bi,k−1(x)
i,k(x) = k −
ti+k −ti
Bi+1,k−1(x)
ti+k−1 −ti+1
cu convent¸ia că o expresie cu numitorul nul se înlocuies¸te cu 0.
Demonstrat¸ie. Prin recurent¸ă dupăk, cazul k = 0
Bi,k(x) = x−ti
Bi,k−1(x)+
ti+k −ti
ti+k+1 −x
Bi+1,k−1(x)
ti+k+1 −ti+1
în care derivând s¸i aplicând ipoteza induct¸iei
x−ti
B ′ i,k = Bi,k−1
−
ti+k −ti
Bi+1,k−1
+(k−1)
ti+k+1 −ti
tik −ti
Bi,k−2
ti+k−1 −ti
+ ti+k+1
−x Bi+1,k−2
−
ti+k+1 −ti+1 ti+k −ti+1
Bi+2,k−1
ti+k+1 −ti+2
=
x−ti
− Bi+1,k−2
+
ti+k −ti+1
= Bi,k−1
−
ti+k −ti
Bi+1,k−1
+
ti+k+1 −ti+1
k −1
tik −x
Bi,k−2 + Bi+1,k−2
ti+k −ti ti+k−1 −ti ti+k −ti+1
k −1 x−ti+1
−
Bi+1,k−2 +
ti+k+1 −ti+1 ti+k −ti+1
ti+k+1
−x
Bi+2,k−2
ti+k+1 −ti+2
din care aplicând definit¸ia luiBi,k−1 s¸i Bi+1,k−1 se obt¸ine rezultatul dorit.
Problema 8.2.4
∞
−∞
Bi,k(x)dx = 1
k +1 (ti+k+1 −ti)
Demonstrat¸ie. Presupunem căsuppBi,k ∈ [a,b]
Bi,k > 0 pentrux ∈ [ti,ti+k+1)
Fie diviziunea ∆ ′ obt¸inută din diviziunea init¸ială adăugând nodurile t−1 = t0
s¸itn+k+1 = tn+k
Considerăm primitiva luiBi,k
B(x) =
x
−∞
Bi,k(t)dt
Pe port¸iuni este polinomială, deci ea va fi combinat¸ie liniară de B-spline.
x
−∞
Bi,k(t)dt =
n−1
j=−1
cjBj,k+1(x)
−

118 Operatori liniari s¸i pozitivi
pentrux ∈ [a,b]. Derivăm
Deci
Bi,k(x) =
n−1
j=−1
Bj,k(x)
cjk
tj+k+1−tj
− Bj+1,k(x)
tj+k+1 −tj+1
Deoarece Bi,k formează o bază avem sistemul
⎧
(k +1)(c2 −c1) = 0
⎪⎨
(k +1)(c3 −c2) = 0
...
c0 = ··· = ci−1 = 0
⇔
k(ci −ci−1) = 0
⎪⎩
...
= 1
k(ci+1 −ci) 1
ti+k+1−ti
x
−∞
Bi,k(x)dx = ti+k+1 −ti
k +1
pentrux ∈ [a,b] s¸i deci pentru ti+k+1 ≤ x ≤ b
x
−∞
ci = ··· = cn−1 = ti+k+1−ti
k+1
j≥i
Bi,k(x)dx = ti+k+1 −ti
.
k +1
Problema 8.2.5 Op spline cu variat¸ie diminuată????
Solut¸ie.
ξ2 = x0 +x1
2
ξ3 = x1 +x2
2
ξ4 = x2 +x3
2
= 1
2
= 1+2
2
= 2+3
2
3
=
2
5
=
2
Bj,k+1(x)
ξ5 = x3 +x4
= 3
2
1 3 5
(S∆f)(x) = B1,3(x)f(0)+B2,3(x)f +B3,3(x)f +B4,3(x)f +B5,3(x)f(3) =
2 2 2
⎧
⎨ B1,3(x)f(0)+B2,3(x)f
=
⎩
1 +B3,3(x)f 2
3 x ∈ [0,1) 2
B2,3(x)f
1
+B3,3(x)f 2
3
+B4,3(x)f 2
5
x ∈ [1,2) 2
B3,3(x)f
3 +B4,3(x)f 2
=
5 +B5,3(x)f(3) x ∈ [2,3]
2
⎧
⎪⎨
(1−x)
=
⎪⎩
2
f(0)+ 2 1+2x−x2f
2
1 x + 2
2
2 f
3 x ∈ [0,1)
2
1+2x−x2 f 2
1 x + 2
2
2 f
3 (x−1)
+ 2
2
f 2
5 x ∈ [1,2)
2
(3−x) 2
f 2
3 10x−2x
+ 2
2−11 f 2
5 (x−2)
+ 2
2
f(3) x ∈ [2,3]
2

8.3. Alt¸i operatori liniari s¸i pozitivi 119
8.3 Alt¸i operatori liniari s¸i pozitivi
Problema 8.3.1 (operatorul lui Fejer) Se obt¸ine din polinomul de interpolare
Hermite cu noduri duble rădăcini ale polinomului Cebâs¸ev de spet¸a I, Tm+1.
xk = cos
(H2m+1)(x) =
2k +1
π k = 0,m
2(m+1)
m
hk0(x)f(x)+
k=0
m
hk1(x)f ′ (x)
omit¸ând a doua sumă sau considerând echivalentf ′ (xk) = 0, k = 0,n
Solut¸ie.
(F2m+1)(x) =
k=0
m
hk(x)f(xk)
k=0
Tm+1(x)
hk(x) = hk0(x) = (1−xkx)
(m+1)(x−xk)
F2m+1((t−x) 2 ;x) =
=
F2m+1f ⇉ f pe [−1,1]
F2m+1(1;x) = 1 x ∈ [−1,1]
m
Tm+1(x)
(1−xkx)
(m+1)(x−xk)
n=0
1
(m+1) 2T2 m+1(x)
m
k=0
2
2
(xk −x) 2 =
(1−xkx) = 1
m+1 T2 m+1(x) ≤ 1
m+1
căci m
k=0 xk = 0.
Deci,
lim
m→∞ F2m+1((t−x) 2 ;x) = 0 uniform pe [−1,1]
Problema 8.3.2 (Operatorul lui Meyer-König s¸i Zeller) Fie B[0,1) spat¸iul liniar
al funct¸iilor reale definite s¸i mărginite pe[0,1).
Se defines¸te operatorul lui Meyer-König s¸i Zeller Mm : B[0,1) → C[0,1)
pentru oricex ∈ [0,1] prin egalitatea
(Mmf)(x) =
m
m+k
x
k
k (1−x) m+1
k
f
m+k
k=0

120 Operatori liniari s¸i pozitivi
cu (Mmf)(1) = f(1).
Să se arate că pentru oricef ∈ [0,1] avem
lim
m→∞ Mmf = f uniform pe orice interval de forma[0,a), 0 < a < 1.
Solut¸ie.Mm liniar s¸i pozitiv
(1−v) −α =
∞
α+k −1
v
k
k
k=0
Punând α = m+1 s¸iv = x găsim
Apoi
=
k=1
k=0
(|v| < 1)
∞
m+k
x
k
k (1−x) m+1 = Mm(1;x) = 1
Mm(t;x) =
∞
m+k
k=1
∞
m+k −1
x
k −1
k (1−x) m+1 = x
T.B.P.K. ⇒ conv. uniformă
k
k
m+k xk (1−x) m+1 =
∞
m+j
x j (1−x) m+1 = x
k=0
x 2 ≤ Mm(t 2 ;x) ≤ x 2 + x(1−x)
m+1
Problema 8.3.3 (Operatorul lui Baskakov) Fie f : R → R mărginită s¸i operatorul
∞
m+k −1 x
(Lmf)(x) =
k
k
(1+x) m+kf
k
m
k=0
Să se arate că dacă f ∈ C[0,1] avem limm→∞Lmf = f uniform pe [0,a],
0 < a < ∞.
Solut¸ie. Lucrând cu seria binomială în care se iaα = n, v = x se obt¸ine 1+x
Lm(1;x) = 1 Lm(t;x) = x
Lm(t 2 ;x) = x 2 + x(x+1)
m
T.B.P.K. ⇒ conv. uniformă.
j

8.3. Alt¸i operatori liniari s¸i pozitivi 121
Problema 8.3.4 (Operatorul Favard-Szasz) Fie f : [0,∞) → R astfel încât
lim f(x) = 0 s¸i a > 0 fixat. Să se arate că dacă f ∈ C[0,a] operatorii Favardx→∞
Szasz definit¸i prin
are proprietatea
uniform pe[0,a].
(Lmf)(x) =
∞ (mx) k
e
k!
−mx f
k=0
lim
m→∞ Lmf = f
Solut¸ie. Pentru funct¸iile de probă1,t,t 2 avem
T.B.P.K. ⇒ concluzia.
Lm(1;x) = 1
Lm(t;x) = x
Lm(t 2 ;x) = x 2 + x(x+1)
m
k
m

Capitolul 9
Aproximarea funct¸ionalelor liniare
X spat¸iu liniar,F1,...,Fm ∈ X # , F ∈ X #
F,F1,...,Fm liniar independent¸i
Formula
m
F(f) = AiFi(f)+R(f) f ∈ X (9.1)
i=1
se numes¸te formulă de aproximare a funct¸ionalei F în raport cu funct¸ionalele
F1,...,Fm.
R(f) - termen rest
DacăPr ⊂ X,max{r|KerR = Pr} se numes¸te grad de exactitate al formulei
(9.1).
9.1 Derivare numerică
Formula de forma
f (k) (α) =
m
AjFj(f)+R(f)
j=0
se numes¸te formulă de derivare numerică.
Problema 9.1.1 Stabilit¸i formule de derivare numerică de tip interpolator cu 3,4
s¸i 5 puncte în cazul nodurilor echidistante.
Solut¸ie.
x−x0
= q
h
m
(Lmf)(x) =
i=0
(−1) m−2 q
i!(m−i)!
[m+1]
q −i f(xi)
122

9.1. Derivare numerică 123
(Rmf)(x) = hm+1 q [m+1]
f ′ (x) ≈ (Lmf) ′ (x) = 1
h
(m+1)! f(m+1) (ξ) ξ ∈ (a,b)
m (−1) m−i [m+1] d q
f(xi)
i!(m−i)! dq q −i
i=0
(Rmf) ′ (x) = hm+1
(m+1)! f(m+1) (ξ) d
dq qm+1 + hm+1 d
q[m+1]
(m+1)! dq f(m+1) (ξ)
(Rmf) ′ (xi) = (−1) m−ihmi!(m−i)! (m+1)! f(m+1) (ξi)
m = 2 (3 puncte)
(L2f)(x) = 1
2 f(x0)(q −1)(q −2)−f(x1)q(q −2)+ 1
2 f(x2)q(q−1)
(L2f) ′ (x) = 1
1
h 2 f(x0)(2q −3)−(2q−1)f(x1)+ 1
2 f(x2)(2q−1)
f ′ (x0) = 1
1
[−3f(x0)+4f(x1)−f(x2)]+
2h 3 h2f ′′′ (ξ0)
f ′ (x1) = 1 1
[−f(x0)+f(x2)]−
2h 6 h2f ′′′ (ξ1)
f ′ (x2) = 1
1
[f(x0)−4f(x1)+3f(x2)]+
2h 3 h2f ′′′ (ξ2)
m = 3 4 puncte
(L3f) ′ (x) = 1
−
h
1
6 f(x0)[(q −1)(q −2)(q−3)] ′ +
+ 1
2 f(x1)[q(q −2)(q−3)] ′ − 1
2 f(x2)[q(q −1)(q−3)] ′ +
+ 1
6 f(x2)[q(q −1)(q−2) ′
]
f ′ (x0) = 1
h3
[−11f(x0)+18f(x1)−9f(x2)+2f(x3)]−
64 4 f(4) (ξ0)
f ′ (x1) = 1
h3
[−2f(x0)−3f(x1)+6f(x2)−f(x3)]+
6h 12 f(4) (ξ1)
f ′ (x2) = 1
h3
[f(x0)−6f(x1)+3f(x2)+2f(x3)]−
6h 12 f(4) (ξ2)
f ′ (x3) = 1
h3
[−2f(x0)+9f(x1)−18f(x2)+11f(x3)]+
6h 4 f(4) (ξ3)
m = 4 (5 puncte)
f ′ (x0) = 1
h4
[−25f(x0)+48f(x1)−36f(x2)+16f(x3)−3f(x4)]+
12h 5 f(5) (ξ0)
f ′ (x1) = 1
h4
[−3f(x0)−10f(x1)+18f(x2)−6f(x3)+f(x4)]−
12h 20 f(5) (ξ1)
f ′ (x2) = 1
h4
[f(x0)−8f(x1)+8f(x3)−f(x4)]+
12h 30 f(5) (ξ2)

124 Aproximarea funct¸ionalelor liniare
f(x3) = 1
h4
[−f(x0)+6f(x1)−18f(x2)+10f(x3)+3f(x4)]−
12h 20 f(5) (ξ3)
f(x4) = 1
h4
[3f(x0)−16f(x1)+36f(x2)−48f(x3)+25f(x4)]+
124 4 f(5) (ξ4)
Problema 9.1.2 Să se construiască o formulă de forma
cu gradul de exactitater = 2.
Solut¸ie. ⎧ ⎨
Restul cu Peano x0 < x1
f ′ (α) = A0f(x0)+A1f(x1)+(Rf)(α)
⎩
A0 +A1 = 0
A0x0 +A1x1 = 1
A0x2 0 +A1x2 1 = 2α
⇒ A1 = −A0 =
(Rf)(α) =
x1 = 2α−x0
x1
x0
1
2(α−x0)
K2(s)f ′′′ (s)ds
K1(s) = (α−s)+ − (x1 −s) 2
4(α−x0) =
1 (s−x0)
= −
4(α−x0)
2 s ≤ α
(x1 −s) 2 ≤ 0
s > α
K2(s) ≤ 0, s ∈ [x0,x1], α > x0, f ∈ C 3 (x0,x1)
(Rf)(α) = f ′′′ (ξ)
x1
x0
2 (α−x0)
K2(s)ds = −
6
f ′′′ (ξ ′ )
f ′ 1
(α−2)2
(α) = − [2f(2α−2)−f(2)]− f
2(α−2) 6
′′′ (ξ)
λ ∈ R, λ = α, α = x0 +x1
2
S-a obt¸inut o familie de formule de derivare numerică.
Problema 9.1.3 Arătat¸i că
f ′′ (x0) = 1
h 2[f(x0 −h)−2f(x0)+f(x0 +h)]− h2
12 f(4) (ξ)
undef ∈ C 4 [x0 −h,x0 +h], ξ ∈ (x0 −h,x0 +h)

9.1. Derivare numerică 125
Solut¸ie. Se aplică formula lui Taylor
f(x0 +h) = f(x0)+4f ′ (x0)+ 1
2 h2 f ′′ (x0)+ 1
6 f′′′ (x0)+ 1
24 h4 f (4) (ξ1)
f(x0 −h) = f(x0)−hf ′ (x0)+ 1
2 h2 f ′′ (x0)− 1
6 f′′′ (x0)+ 1
24 h4 f (4) (ξ2)
f(x0 +h)−f(x0 −h) = 2f(x0)+h 2 f ′′ (x0)+ 1
24 [f(4) (ξ1)+f (4) (ξ2)]
f ′′ (x0) = 1
h 2[f(x0 +h)−2f(x0)+f(x0 −h)]− h2
12 f(4) (ξ2)
Problema 9.1.4 Stabilit¸i formula
f ′ (x0) = 1
24 [f(x0 +h)−f(x0 −h)]− h2
6 f(3) (ξ), ξ ∈ (x0 −h,x0 +h)
Solut¸ie. Cu Taylor
Problema 9.1.5 (Aplicarea extrapolării Richardson) Pornind de la formula
f ′ (x0) = 1
24 [f(x0 +h)−f(x0 −2h)]− h2
6 f′′′ (x0)− h4
120 f(5) (ξ)
obt¸inet¸i o formulăO(h 4 ) folosind extrapolarea Richardson.
Solut¸ie. Să stabilim întâi formula de pornire
+ 1
f(x) = f(x0)−f ′ (x0)(x−x0)+ 1
2 f′′ (x0)(x−x0) 2 +
6 f′′′ (x0)(x−x0) 3 + 1
24 f(4) (x0)(x−x0) 4 + 1
120 f(5) (ξ)(x−x0) 5
Scăzând dezvoltările lui f(x0 +h) s¸i f(x0 −h) obt¸inem
f ′ (x0) = 1
2h [f(x0 +h)−f(x0 −h)]− h2
6 f′′′ (x0)− h4
120 f(5)( ξ1), (9.2)
Făcând în (9.2)h = 2h avem
ξ ∈ (x0 −h,x0 +h)
f ′ (x0) = 1
4h [f(x0 +2h)−f(x0 −2h)]− 4h2
6 f′′′ (x0)− 16h4
120 f(5) ( ξ) (9.3)

126 Aproximarea funct¸ionalelor liniare
4·(9.2)−(9.3) ⇒
ξ ∈ (x0 −2h,x0 +2h)
3f ′ (x0) = 2
h [f(x0 +h)−f(x0 −h)]−
− 1
4h [f(x0 +2h)−f(x0 −2h)]− h4
30 f(5) ( ξ)+ 2h4
15 f(5) ( ξ)
f ′ (x0) = 1
12h [f(x0 −2h)−8f(x) −h)+8f(x0+h)−f(x0+h)]+ h4
30 f(5) (ξ)
(am obt¸inut o formulă cu 5 puncte).
Problema 9.1.6 Pornind de la formula
f ′ (x0) = 1
h [f(x0 +h)−f(x0)]− h
2 f′′ (x0)− h2
6 f′′′ (x0)+O(h 3 )
deducet¸i o formulăO(h 3 ) folosind extrapolarea.
Solut¸ie.
f ′ (x0) = 1
12h [f(x0 +4h)−18f(x0 +2h)+32f(x0 +h)−21f(x0)]+O(h 3 )
Problema 9.1.7 Să presupunem că avem tabela de extrapolare
N1(h)
h
N1
N2(h) 2
h
N3(h)
N1
4
N2
h
2
construită pentru a aproximaM cu formula
M = N1(h)+K1h 2 +K2h 4 +K3h 6
a) Arătat¸i că polinomul liniar de interpolare P0,1(h) ce trece prin punctele
(h2 ,N1(h)) s¸i (h2 /4,N1(h/2))
satisfaceP0,1(0) = N2(h).
h
La fel P1,2(0) = N2 , 2
b) Arătat¸i că polinomul P0,2(h) ce trece prin (h4
h4 ,N2(h)) s¸i 16 ,N2
h
2
satisfaceP0,2(0)
= N3(h).
Generalizare.

9.2. Formule de integrare numerică de tip Newton-Cotes 127
9.2 Formule de integrare numerică de tip Newton-
Cotes
9.2.1 Formule Newton-Cotes închise
Sunt formule care se obt¸in integrând termen cu termen formula de interpolare a
lui Lagrange. Nodurile au forma
Coeficient¸ii au expresia
xk = a+kh, k = 0,m, h = b−a
m .
Ak = (−1) m−k
h
k!(m−k)!
m
0
t [m+1]
t−k dt
Problema 9.2.1 Arătat¸i că o formulă de cuadratură cu m+1 noduri este de tip
interpolator dacă s¸i numai dacă are gradul de exactitate cel put¸inm.
Demonstrat¸ie. (⇒)imediată din expresia restului
( ⇐ ) xj, j = 0,m, r ≥ m
⎧ m
Aj = b−a
⎪⎨
⎪⎩
j=0
m
j=0
...
m
j=0
Ajxj = 1
2 (b2 −a 2 )
Ajx m j = 1
m+1 (bm+1 −a m+1 )
(9.4)
∆ = 0 (Vandermonde) dacă xi = xj deci (9.4) are solut¸ie unică.
Dar (9.4) este satisfăcută pentruAj = b
a lj(x)dx s¸i exactă pentru1,x,...,x m .
Unicitatea ⇒ Aj = b
a lj(x)dx.
Problema 9.2.2 Să se aproximeze volumul butoiului cu diametrele D s¸i d s¸i înălt¸imea
h.
Solut¸ie. Vom aproxima conturul butoiului prin arce de parabolă.
D −d
y(x) = −2
h2
x− h
x+
2
h
2
+ d
, x ∈
2
− h h
,
2 2
.

128 Aproximarea funct¸ionalelor liniare
Volumul obt¸inut prin rotat¸ia arcului y în jurul axeiOx este
V = π
h/2
−h/2
Valoarea exactă a integralei de mai sus este
y 2 (x)dx.
V = πh
60 (8D2 +4Dd+3d 2 ).
În practicăV se aproximează cu formula lui Simpson s¸i se obt¸ine:
V ≈ πh 2 2
d +2D
12
.
Problema 9.2.3 Deducet¸i restul formulei lui Simpson
R2(f) = − (b−a)5
2880 fIV (ξ)
Solut¸ie. Gradul de exactitate fiind r = 3 avem
K2(t) = 1
6
⎪⎩
R2(f) =
b
a
K2(t)f IV (t)dt
unde
K2(t) = 1
(b−t)
3!
4
−
4
b−a
(a−t)
6
3 + +4
a+b
2 −t
3 +(b−t)
+
3
+
⎧
(b−t)
⎪⎨
4
−
4
b−a
a+b
4
6 2 −t
3 +(b−t) 3
t ∈ a, a+b
2
9b−t) 4
4
− b−a
6 (b−t)3
Se verifică că pentrut ∈ [a,b], K2(t) ≤ 0
R2(f) = 1
4! fIV (ξ)R(e4) = 1
= 1
24 fIV (ξ)(b−a)
24 fIV (ξ)
b 5 −a 5
b 4 +b 3 a+b 2 a 2 +ba 3 +b 4
= − 4a4 +a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 +4b 4
24
5
5
− b−a
6
−
= fIV (ξ)
(b−a)
24
−a4 +4a3b−6a 2b2 +4ab3 −b4 120
=
t ∈
a+b
2 ,b
a 4
a+b
+4
2
= − (b−a)5
2880 fIV (ξ)
4
+b 4
=

9.2. Formule de integrare numerică de tip Newton-Cotes 129
Problema 9.2.4 Deducet¸i formula lui Newton s¸i restul ei
b
f(x)dx = b−a
2a+b a+2b
f(a)+3f +3f
8 3 3
a
R3(f) = − (b−a)5
f
648
(4) (ξ)
Solut¸ie. Este o formulă Newton-Cotes închisă pentru m = 3.
Ak = (−1) m−k
m
h t
k!(m−k)! 0
[m+1]
t−k dt
A0 = A3 = (−1) 3b−a
3
1!
(t−1)(t−2)(t−3)dt =
3 0!3! 0
b−a
8
A1 = A2 = (−1) 2b−a
3
1!
t(t−2)(t−3)dt =
3 1!2!
3(b−a)
8
⎪⎩
b
0
+f(b) +R3(f)
R3(f) = K3(t)f
a
(4) (t)dt
K3(t) = 1
(b−t)
3!
4
−
4
b−a
(a−t)
8
3
+ 2a+b
+3
0 3 −t
3 +
+
a+2b
+3
3 −t
3 +(b−t)
+
3
+ =
= 1
⎧
(b−t)
⎪⎨
3!
4
b−a − 4 8 (b−t)3 t ∈ a, 2a+b
3
(b−t) 4
b−a
− (b−t) 4 8
3 +3 2a+b
3 −t 3
t ∈ 2a+b
, 3 a+2b
3
(b−t) 4
b−a
− (b−t) 4 8
3 +3 2a+b
3 −t 3
a+2b
+ +3 3 −t
3
+3 a+2b
3 −t 3
t ∈ a+b
3 ,b
K3(t) ≤ 0
R3(f) = 1
4! f(4) (ξ)R(e4) = 1
24 f(4) (ξ)R(e4)
b
R(e4) = x
a
4 dx− b−a
a
8
4 4
2a+b a+2b
+3 +3
3 3
= b5 −a5
b−a
− a
5 8
4 + (2a+b)4
+
27
(a+2b)4
+b
27
4
=
b
= (b−a)
4 +ab3 +a2b2 +ab3 +a4 −
5
1
8 a4 − 1
8 b4− − (2a+b)4
8·27
− (a+2b)4
8·27
= b−a
8·27·5 ·40(b−a)4
4
+b 4
=

130 Aproximarea funct¸ionalelor liniare
9.2.2 Formule Newton-Cotes deschise
La aceste formule nodurile sunt echidistante
xi = x0 +ih, i = 0,m, h = b−a
m+2
x0 = ah, xm = b−h
x−1 = a, xm+1 = b
Coeficient¸ii au expresia
b
Ai =
a
li(x)dx = (−1) m−i h
i!(m−i)!
m+1
−1
t [m+1]
t−i dt
Problema 9.2.5 Deducet¸i formula Newton-Cotes deschisă pentrum = 1.
căci
Solut¸ie.
b−a
2
b
a
f(x)dx = A0f(x0)+A1f(x1)+R1(f)
A0 = A1 = −h
2
R1(f) =
⎧
⎪⎨
K1(t) =
⎪⎩
t(t−1)
dt =
t
3h
2
−1
b
a
(a−t) 2
2
(a−t) 2
2
(b−t) 2
2
K1(t)f ′′ (t)dt
+ b−a
2
2a+b
3 −t
2a+b
3 −t
a+2b
+
3 −t
=
Se verifică că pentru oricet ∈ [a,b], K1(t) ≥ 0.
Aplicând corolarul la teorema lui Peano obt¸inem
= b−a
2
b
a
(x−t)dx
R1(f) = 1
2! f′′ (ξ)R(e2) =
= 1
2 f′′ b
(ξ) x
a
3 dx− b−a
2a+b 2
2
a+2b
+ =
2 3 3
= 1
2 f′′ (ξ) b−a
b
3
2 +ab+a 2 − 5a2 +8ab+5b 2
=
6
= (b−a)3
f
36
′′ (ξ) = 3h3
4 f′′ (ξ).

9.2. Formule de integrare numerică de tip Newton-Cotes 131
Problema 9.2.6 Aceeas¸i problemă pentrum = 2.
Solut¸ie.
b
a
−1
b
f(x)dx = A0f(x0)+A1f(x1)+A2f(x2)+R2(f)
3
A0 = A2 = h t(t−1)(t−2)
dt =
2 −1 t
8h 8 b−a
= ·
3 3 4
3
t(t−1)(t−2)
A1 = −h dt = −
t−1
4h
= −b−a
3 3
R2(f) = K2(t)f
a
(4) (t)dt
K2(t) = 1
(b−t)
3!
4
−
4
b−a
3a+b
2
3 4 −t
3
2a+2b a+3b
− −t +2
4 4 −t
3
K2(t) = 1
6
+
⎧
⎪⎨
⎪⎩
(a−t) 4
4
(a−t) 4
4
(b−t) 4
4
(b−t) 4
4
− 2(b−a)
3
− 2(b−a)
3
+
3
3a+b
4 −t 3
a+3b
4 −t 3
−
+
= 2(b−a)
3
t ∈ a, 3a+b
4
t ∈ 3a+b
t ∈ a+b
2
, 4 a+b
2
, a+3b
4
t ∈ a+3b
4 ,b
Se verifică că K2(t) ≥ 0, t ∈ [a,b] s¸i aplicând corolarul la teorema lui Peano
se obt¸ine
R2(f) = 1
4! f(4) (ξ)R(e4)
R(e4) =
b
a
x 4 dx− b−a
3
3a+b
2
4
4
2a+2b
−
4
4
4
a+3b
+2 =
4
4 3 2 2 3 4
b +ab +a b +a b+a
= (b−a)
−
5
148a4 +176a3b+120a 2b2 +176ab3 +148b4
=
768
= b−a
5·768 ·28(b−a)4 = 7·4
15·4·64 (b−a)5
R2(f) = 14h5
45 f(4) (ξ) = 14
45
b−a
4
5
f (4) (ξ)

132 Aproximarea funct¸ionalelor liniare
9.3 Alte formule de tip interpolator
Problema 9.3.1 Obt¸inet¸i o formulă de cuadratură de forma
b
f(x)dx = A00f(a)+A10f(b)+A01f
a
′ (a)+A11f ′ (b)+R(f)
b b
(x−b)
Solut¸ie.A00 = h00(x)dx =
a a
2
(a−b) 3[3a−b−2x]dx
b b
(x−a)
A10 = h10(x)dx =
a a
2
(b−a) 3[3b−a−2x]dx
A00 = A10 = b−a
2 b
A01 = −A10 = (x−a) (x−b)2 (b−a)2
(a−b) 2dx
=
12
b
a
R(f) = K3(t)f
a
(4) (t)dt
K3(t) = 1
(b−t)
3!
4
−
4
b−a
2 (a−t)3 b−a
+ −
2 (b−t)3 + −
− (b−a)2
·
12
3(a−t)2 +
+
0
(b−a)2
3(b−t)
122
2
+ =
= 1
4 (b−t)
−
3! 4
b−a
2 (b−t)3 + (b−a)2
(b−t)
4
2
=
= (b−t)2
[b
4!
2 −2bt+t 2 −2(b−a)(b−t)+(b−a) 2 ] =
= (b−t)2
4!
(b−t) 2 (a−t) 2
4!
R3(f) =
[b 2 − 2bt + t 2 − 2b 2 + 2bt + 2ab − 2at + b 2 − 2ab + a 2 ] =
5 2! (b−a)
f
4! 5
(4) (ξ), ξ ∈ [a,b]
Problema 9.3.2 Generalizare pentrum = 1 s¸i r0 = r1 = s−1.
Solut¸ie.
b
A0j =
a
b
a
s−1
f(x)dx =
h0j(x)dx =
b
a
j=0
[A0jf (j) (a)+A1jf (j) (b)]+R2s−1(f)
s j x−b (x−a)
a−b j!
n−j
n+ν x−a
dx =
ν b−a
ν=0

9.3. Alte formule de tip interpolator 133
b
A1j =
a
h1j(x)dx =
= s(s−1)...(s−j) (b−a)j+1
·
2s(2s−1)...(2s−j) (j +1)!
b
a
s j x−a (x−b)
b−a j!
f ∈ C 2s [a,b] ⇒ R2s−1(f) =
n−j
n+ν x−b
dx = (−1)
ν a−b
j A0j
ν=0
2 2s+1 s! (b−a)
f
(2s)! 2s+1
(2s) (ξ)
K2s−1 = (b−t)2s
(2s)! −
s−1
A1j
j=0
= 1
(2s)! (b−t)s (s−t) s
(b−t) 2s−j−1
(2s−j −1)! =
K2s−1(t) are semn constant pe [a,b], iar f (2s) este continuă s¸i se poate aplica
formula de medie sau corolarul la teorema lui Peano.
Problema 9.3.3 Stabilit¸i o formulă de cuadratură de forma
b
a
f(x)dx = Af ′ (a)+Bf(b)+R1(f)
Solut¸ie. Pornim de la formula de interpolare de tip Birkhoff
Integrând se obt¸ine
f(x) = (x−b)f ′ (a)+f(b)+(R1f)(x)
int b
a−b
af(x)dx = (b−a)
2 f′
(a)+f(b) +R1(f)
Pentru rest se aplică teorema lui Peano s¸i se ajunge în final la
R1(f) = − (b−a)3
f
3
′′ (ξ), ξ ∈ [a,b].
Problema 9.3.4 Deducet¸i o formulă de cuadratură integrând formula de aproximare
a lui Bernstein.

134 Aproximarea funct¸ionalelor liniare
Solut¸ie.
m
k
f(x) = pm,k(x)f +Rn(f)
m
k=0
1 m
1 1
k x(1−x)
f(x)dx = pm,k(x)dxf −
0
k=0
0 m 0 2m f′′ (ξ)dx
1 1
m
pm,k(x)dx = x
0 k 0
k (1−x) m−k dx =
m
= B(k +1,m−k +1) =
k
k!(m−k)! m! 1
· =
(m+1)! k!(m−k)! m+1
R(f) = − f′′ 1
(ξ)
x(1−x)dx = −
2m 0
f′′ 2 (ξ) x x3
−
2m 2 3
1
= −
0
1
12m f′′ (ξ)
1
f(x)dx = 1
m
k
f −
m+1 m
1
12m f′′ (ξ)
0
k=0
Observat¸ia 9.3.5 Se pot folosi funct¸iile lui EulerB s¸i Γ:
Observat¸ia 9.3.6 Formule repetate
Problema 9.3.7 Calculat¸i I =
1
Bρ,ν = x
0
ρ−1 (1−x) ν−1 dx
B(ρ,ν) = Γ(ρ)Γ(ν)
Γ(ρ+ν)
1
Solut¸ie. Folosim formula Simpson repetată
max
x∈[0,1] |f(4) (x)| = 24
|Rn(f)| ≤ 24 1
=
2880n4
120n
3
3 10
n = +1 = 2
120
0
dx
1+x cu preciziaε = 10−3 .
4 ≤ 10−3
I ≈ ln2 = 1
f(0)+f(1)+2f
12
1
+4 f
2
1
+f
4
3
=
4

9.3. Alte formule de tip interpolator 135
= 1
1+
12
1 4
+
2 3 +4
4 4
+ .
5 7
Problema 9.3.8 Deducet¸i formula repetată a lui Newton.
b
f(x)dx = b−a
n−1
f(a)+f(b)+2 f(xi)+
8n
a
n−1
2xi +xi+1
n−1
+3 f +3 f
3
i=0
i=0
xi +2xi+1
3
i=1
Problema 9.3.9 (Semnul nucleului lui Peano în FNC închise)
− (b−a)5
648n 4 f(4) (ξ)
Fie f ∈ Cn+2 [−1,1] s¸i τj = −1 + 2j
, j = 0,n n+1 puncte echidistante
n
pe[−1,1] cu pasulh = 2
n .
1 ◦ Arătat¸i că
a) pentruj = 0,n, lim
x→τj
x=τj
[τ0,...,τn,x;f] există
b) pentru orice x ∈ [−1,1], d
dx [τ0,...,τn,x;f] are sens s¸i că există ξx ∈
[−1,1] astfel încât
d
dx [τ0,...,τn,x;f] = f(n+2) (ξx)
(n+2)!
2 ◦ Arătat¸i că eroarea de integrare numerică a funct¸ieif prin FNCî în punctele
τ0,τ1,...,τn este dată de
Rn(f) =
3 ◦ Punem w(x) =
x
1
−1 j=0
−1 j=0
n
(x−τj)[τ0,τ1,...,τn,x;f]dx
n
(t − tj)dt s¸i Ik = w(τk+1) − w(τk) pentru k =
0,n−1
a) Presupunem n par (n = 2m); arătat¸i că Ik este un s¸ir alternant, descrescător
în valoare absolută; deducet¸i că w(x) păstrează un semn constant pe
[−1,1] cu w(1) = w(−1) = 0. Arătat¸i că existăη ∈ [−1,1] astfel încât
Rn(f) = hn+3
(n+2)! f(n+2) m
(η) s
−m
2 (s 2 −1)...(s 2 −m 2 )ds

136 Aproximarea funct¸ionalelor liniare
b) Presupunem n impar (n = 2m + 1). Reluând demonstrat¸ia precedentă s¸i
descompunând[−1,1] în două subintervale[−1,τn−1] s¸i [τn−1,τn] deducet¸i că
Rn(f) = hn+2
(n+1)! f(n+1) (η)
cu η ∈ [−1,1].
m+1
s(s
−m
2 −1 2 )(s 2 −2 2 )...(s 2 −m 2 )(s−m−1)ds
Solut¸ie. 1◦ este imediată din definit¸ia diferent¸ei divizate cu noduri multiple s¸i
formula de medie pentru diferent¸e divizate.
2◦ Rn(f) =
1
−1
[f(x)−Ln(x)]dx =
1
−1 i=0
3 ◦ a)n = 2m. Prin simetriew(−1) = w(1). Avem
τk+1
Ik =
τk
n
(x−τi)[τ0,...,τn,x;f]dx
un(t)dt
s¸i deci (−1) kIk > 0.
Cum |un(t + h)| = |un(t)|
t+1+h
t−1 < un(t) dacă t ∈ [τ0,τ0 − 1) avem
|Ik| > |Ik+1| pentru k ≤ m − 1 deci w(τk) = I0 + I1 + ··· + Ik−1 are semnul
lui I0 pentru k = 0,...,m s¸i prin simetrie s¸i pentru alte valori k ≤ 2m; dacă
x ∈ [τk,τk+1]
w(τk) < w(x) < w(τk+1)
căci w ′ (x) = un(x) păstrează semn constant, deci pentru orice x ∈ [−1,1],
w(x) ≥ 0 (semnul luiI0).
Integrând prin părt¸i
după formula de medie
Rn(f) =
cum 1
w(x)dx =
−1
1
−1
un[τ0,...,τn,x;f]dx =
1
= − w(x)[τ0,...,τn,x;f]dx
−1
Rn(f) = −[τ0,τ1,...,τn,η,η]
1
−1
1
−1
w(x)dx
1
(1−t)un(t)dt = − tun(t)dt =
−1

9.3. Alte formule de tip interpolator 137
= −h n+3
m
deci nucleul are semn constant.
b)n = 2m+1
t
−m
2 (t 2 −1)...(t 2 −m 2 ),
w(x) =
x
−1
u2m(t)dt
analog ca la a).
w(−1) = w(τ2m) = 0 s¸i w(x) ≥ 0 pe[−1,τ2m]
Avem
[τ0,τ1,...,τn,x;f] = [τ0,τ1,...,τn,x;f](x−1)u2m(x) =
= ([τ0,...,τn−1,x]−[τ0,...,τn−1,τn;f])u2m(x)
se deduce
τ2m
(f(x)−pn(x))dx =
−1
τ2m
τ2m
−1
[τ0,...,τn−1,x;f]dx =
τ2m
= −f[τ0,...,τn−1,η,η] w(x)dx
−1
La fel un fiind negativ pe[τ2m,1],
1
(f(x)−on(x)) = −[τ0,...,τn,η ′
1
;f]
w(x)dx
Utilizând teorema de medie pentru integrale s¸i formula de medie pentru diferent¸e
divizate se obt¸ine că
Rn(f) = cnf (n+1) (ξ)
Luând f = un se obt¸ine
1
−1
τ2m
un(x)dx = Rn(un) = cn(n+1)!
Problema 9.3.10 Arătat¸i că pentru f ∈ Cm+2 [a,b] restul în formula de cuadratură
Newton-Cotes închisă este dat de
pentrumpar s¸i
pentrumimpar.
Rm(f) = hm+3 f (m+2) (ξ)
(m+2)!
Rm(f) = hm+2 f (m+1) (ξ)
(m+1)!
m
0
m
0
tt [m+1] dt, ξ ∈ (a,b)
t [m+1] dt, ξ ∈ (a,b)

138 Aproximarea funct¸ionalelor liniare
Solut¸ie.a = x0, xi = x0 +ih, i = 0,m, xm = b
ϕm+1(x) = h m+1
ϕm+1(x) =
m
i=0
m
(x−xi)
i=0
x = x0 +th
(t−i) = h m+1 ψm+1(t) = h m+1 t [m+1]
Lema 9.3.11 a) ϕm+1(xm/2 +σ) = (−1) m+1 ϕm+1(xm/2 −σ) unde xm
2 = x0 +
m
2 h.
b) De asemenea pentrua < σ +h < xm
2
s¸i pentruxm
2
Demonstrat¸ie.
ψm+1
ψm+1
< σ < b, σ = xi,
ψm+1
ψm+1
s¸i σ = xi
|ϕm+1(σ +h)| < |ϕm+1(σ)|
|ϕm+1(σ)| < |ϕm+1(σ +h)|
ψm+1(t) = t [m+1]
m
2 −s
m
= ψm+1
2 +s
pentrumimpar
m
2 −s
m
= −ψm+1
2 +s
pentru m par
m
2 −s
m
=
2 −s
m
2 −s−1
m
...
2 −s−m
m
2 +s
m
=
2 +s
m
2 +s−1
m
...
2 +s−m
ϕm+1(xm
2 +σ) = hm+1
m
ψ
= (2s+m)(2s+m−2)...(2s−m)
2 m
(9.5) ⇒ (2s−m)(2s−m+2)...(2s+m)
2m (−1) m+1
2 +σ
= (−1) m+1 h m+1
m
ψ
2 −σ
b)0

9.3. Alte formule de tip interpolator 139
Definim
= |t+1|
|t−m| =
m
2
φm+1(x) =
t+1
(m+1)−(t+1) ≤
< t+1 < m ψm+1(t)
ψ(t)
x
a
ϕm+1(σ)dσ =
m
2
(m+1)− m
2
> 1
x
h
a
m+1 σ [m+1] dσ
Lema 9.3.12 Dacă m este par φm+1(a) = φm+1(b) = 0 s¸i φm+1(x) > 0 pentru
a < x < b.
Demonstrat¸ie. Pentru m par φm+1 este o funct¸ie impară în raport cu xm
2 conform
părt¸ii L1 ⇒ φm+1(b) = 0
ϕm+1(x) < 0 pentru x < a căci m+1 este par,
ϕm+1(x) > 0 pentru a < x < x1 ⇒ φm+1(x) > 0 pentru a < x ≤ x1.
În [x1,x2], |ϕm+1(x)| < |ϕm+1(x − h)| în [x0,x1]. Schimbând variabila de
integrare se observă că
x2
ϕm+1(x)dx
<
x1
ϕm+1(x)dx
x1
Astfelφm+1(x) > 0 pentrua < x < x2 s¸i prin acelas¸i rat¸ionamentφm+1(x) >
0 pentrua < x < xm
2 . Se utilizează apoi antisimetria luiϕn+1 în raport cu xm
2 .
Rm(f) =
b
Integrăm prin părt¸i
a
[f(x)−(Lmf)(x)] =
Rm(f) =
b
−
= −
b
a
x0
b
a
< 1
ϕm+1(x)[x0,...,xm,x;f]dx
d
dx φm+1(x)[x0,...,xm,x;f]dx =
= φm+1(x)[x0,...,xm,x;f]
c
b
a
b
a
φm+1(x) d
dx [x0,...,xm,x;f]dx =
φm+1(x) d
dx [x0,...,xm,x;f]dx =

140 Aproximarea funct¸ionalelor liniare
b
= −
a
= −f(m+2) (α)
(m+2)!
φm+1(x) f(m+2) (ξx)
dx =
(m+2)!
b
Integrând din nou prin părt¸i se obt¸ine
b
a
a
φm+1(x)dx = −
Luândx = x0 +sh s¸i utilizând lema 2
φm+1(x)dx a < α < b
b
Rm(f) = f(m+2) (ξ)
(m+2)! hm+3
a
xϕn+1(x)dx > 0
m
0
sψm+1(s)ds < 0
Deoarece f (m+2) (ξ) = 0 când f ∈ Pm+1 ⇒ r = m+1 pentrumpar.
Cazul m impar
Rm(f) =
b−h
a
ϕm+1(x)[x0,...,xm,x;f]dx+
b
+ ϕm+1(x)[x0,...,xm,x;f]dx
b−h
ϕm+1(x) = ϕm(x)(x−xm)
Deci b−h
ϕm+1(x)[x0,...,xm,x;f]dx =
=
b−h
a
a
dφm
dx ([x0,...,xm−1,x;f]−[x0,...,xm;f])dx
m impar ⇒ φm(b−h) = 0. Integrând prin părt¸i se obt¸ine
b−h
a
= − f(m+1) (ξ ′ )
(m+1)!
Aplicăm Teorema 1 de medie
− f(m+1) (ξ ′′ )
(m+1)!
φm+1(x)[x0,...,xm,x;f]dx =
b−h
φm(x)dx = Kf
a
(m+1) (ξ ′ )
a < ξ ′ < b−h
b
ϕm+1(x)dx = Lf
b−h
(m+1) (ξ ′′ )

9.4. Cuadraturi repetate. Metoda lui Romberg 141
Astfel
Rf = Kf (m+1) (ξ ′ )+Lf (m+1) (ξ ′′ )
Deoarece K < 0 s¸i L < 0, Rf = (K + L)f (n+1) (ξ) pentru ξ ∈ (ξ ′ ,ξ ′′ ).
Deoarece
ϕn+1(x) = d
dx φn(x)(x−b)
integrarea prin părt¸i ne dă
K +L = In.
9.4 Cuadraturi repetate. Metoda lui Romberg
Se vor utiliza formulele
Rk,1 = 1
⎡
2
⎣Rk−1,1 +hk−1
2k−2
i=1
f
a+ i− 1
hk−1
2
⎤
⎦, k = 2,n
Rk,j = 4j−1Rk,j−1−Rk−1,j−1 4j−1 , k = 2,n
−1
R1,1 = h1 b−a
[f(a)+f(b)] =
2 2 [f(a)+f(b)]
hk = hk−1
2
= b−a
2 k−1
Problema 9.4.1 Aproximat¸i π
0 sinxdx prin metoda lui Romberg, ε = 10−2 .
Solut¸ie.
I =
π
0
sinxdx = 2
R1,1 = π
(0+0) = 0
2
R2,1 = 1
R1,1 +πsin
2
π
= 1.571
2
R2,2 = 1.571+(1,571−0)/3 = 2.094
R3,1 = 1
R2,1 +
2
π
2
(R2,2 −R1,1) > 0.01
sin π 3π
+sin
4 4
= 1.895

142 Aproximarea funct¸ionalelor liniare
R3,2 = 1,895+ 1.895−1.571
= 2.004
3
R3,3 = 2.004+(2.004−2.094)/15 = 1.999
|R3,3 −R2,2| < 0.1
Pentru trapez cu acelas¸i număr de argumenteI ≈ 1,895
Pentru Simpson cu 4 noduriI ≈ 2.005
9.5 Formule de cuadratură de tip Gauss
Vom considera formule de cuadratură de forma
b
m
w(x)f(x)dx = Akf(xk)+Rm(f)
a
k=1
Coeficient¸iiAk s¸i nodurilexk se determină din sistemul neliniar
⎧
A1 +A2 +...+Am = µ0
undeµk =
⎪⎨
⎪⎩
b
a
A1x1 +A2x2 +···+Amxm
...
A1x m−1
1 +A2x m−1
2 +···+Amx m−1
m
...
A1x 2m−1
1 +A2x 2m−1
2 +···+Amx 2m−1
m
= µ1
w(x)x k dx sunt momentele funct¸iei ponderew.
= µm−1
= µ2m−1
Nodurile xk, k = 1,m vor fi rădăcinile polinomului u de grad m, ortogonal
pePm−1 relativ la pondereaw s¸i intervalul[a,b].
Pentru coeficient¸i avem expresia
Ak =
[v ′ k
1
(xk)] 2
b
undevk(x) = u(x)
, iar pentru rest
x−xk
Rm(f) = f(2m) (ξ)
(2m)!
a
b
a
w(x)v 2 k (x)dx, k = 1,m
w(x)u 2 (x)dx, ξ ∈ [a,b]
Dacă w(x) ≡ 1, atunciueste polinomul Legendre de grad m
u(x) = m! d
(2m)!
m
dxm[(x−a)m (x−b) m ]

9.5. Formule de cuadratură de tip Gauss 143
iar coeficient¸ii s¸i restul au expresiile
s¸i respectiv
(m!)
Ak =
4 (b−a) 2m+1
[(2m)!] 2 (xk −a)(b−xk)[v ′ k
Rm(f) = (m!)4
[(2m)!] 3
(xk)] 2, k = 1,m
(b−a) 2m+1
f
2m+1
(2m) (ξ), ξ ∈ [a,b]
Problema 9.5.1 Stabilit¸i o formulă de cuadratură de tip Gauss în cazulw(x) ≡ 1
s¸im = 3.
Solut¸ie. Polinomul Legendre de grad 3 corespunzând intervalului[−1,1] este
P3(t) = 1
2 (5t3 −3t)
cu rădăcinile
3
t1 = −
5 , t2 = 0, t3 =
Coeficient¸ii sunt solut¸iile sistemului
⎧
⎪⎨ A1 +A2 +A3
= 2
3 −
⎪⎩
5A1
3 + 5A3 = 0
Pentru rest se obt¸ine
3
5 A1 + 3
5 A2 = 2
3
A1 = A3 = 5
9 A2 = 8
9
R3(f) = (3!)4
(6!) 3
3
5
(b−a) 7
f
7
(6) (ξ)
Trecerea de la[−1,1] la[a,b] se poate face prin schimbarea de variabilă
b
a
x = b+a b−a
+
2 2 t
f(x)dx = b−a
1
b+a b−a
f +
2 −1 2 2 t
dt
b
f(x)dx ≈ b−a
m
Aif(xi)
2
a
unde xi = b+a b−a
+
2 2 t2, ti fiind rădăcinile polinomului Legendre corespunzător
intervalului[−1,1].
i=1

144 Aproximarea funct¸ionalelor liniare
Problema 9.5.2 Aproximat¸i ln2 cu două zecimale exacte folosind o formulă gaussiană
repetată.
n = 5
Solut¸ie.
ln2 =
2
1
dx
x
Vom folosi formula repetată a dreptunghiului
2
1
b
a
f(x)dx = b−a
n
n
i=1
M2f = 2 ξ ∈ (a,b)
f(xi)+ (b−a)3
f
3
′′ (ξ)
|Rn(f)| ≤ 1
24n2M2f = 1 1
<
12n2 2 ·10−2 ⇒ 6n 2 ≥ 100
dx
x
1
≈
5
1
1+ 1
10
= 1
10
5 11
= 2
+ 1
1+ 3
10
+ 1
1+ 5
10
+ 1
1+ 7
10
10 10 10 10
+ + + +
13 15 17 19
1 1 1 1 1
+ + + +
11 13 15 17 19
=
+ 1
1+ 9
=
10
Problema 9.5.3 Determinat¸i o formulă cu grad de exactitate cel put¸in doi pentru
a aproxima ∞
e −x f(x)dx
în ipoteza că integrala improprie există.
0
Solut¸ie. Polinoamele ortogonale pe[0,∞) relativ la pondereaw(t) = e −t sunt
polinoamele lui Laguerre
gn(t) = et d
n!
n
dtn(tn e −t )
g2(t) = t 2 −4t+2
cu rădăcinilet1 = 2− √ 2,t2 = 2+ √ 2.

9.5. Formule de cuadratură de tip Gauss 145
=
Momentele funct¸iei pondere sunt
∞
µ0 = e
0
−x dx = 1 µ1 = 1 µ2 = 2
A1 +A2 = 1
A1x1 +A2x2 = 1 ⇒ A1 = 2+√2 , A2 =
4
2−√2 4
R2(f) = f(4) (ξ)
4!
b
w(x)u 2 (x)dx
b
a
w(x)u
a
2 ∞
(x) = (x
0
2 −4x+2) 2 e −x dx =
∞
(x
0
4 +16x 2 +4−8x 3 +4x 2 −16x)e −x dx = 4+32+4−24+8−16 = 8
Problema 9.5.4 Aceeas¸i problemă pentru gradul de exactitater = 3 s¸i
∞
−∞
e −x2
f(x)dx
Solut¸ie. Nodurile formulei gaussiene căutate vor fi rădăcinile polinoamelor
Hermite ortogonale pe(−∞,∞) relativ la pondereaw(t) = e−t2. hn(t) = (−1) n dn
t2 e
dtn(e−t2 ) t ∈ R
h0(t) = 1, h1(t) = 2t
hn+1(t) = 2thn(t)−2nhn−1(t)
h2(t) = 2(2t 2 −1) = 2th1(t)−2 = 4t 2 −2
h3(t) = 2th2(t)−2h1(t) = 2t(4t 2 −2)−8t = 4t(2t 2 −3)
3
t1 = −
2 , t2 = 0, t3 =
∞
µ0 =
−∞ ∞
µ1 =
−∞ ∞
µ2 =
−∞
e −t2
dt = √ π
te −t2
dt = 0
t 2 e −t2
dt = 1
⎧
⎪⎨
⎪⎩
4
∞
−∞
3
2
(2t)(2t)e −t2
dt = 1
4 22 ·2! √ π = 2 √ π
A1 +A2 +A3 = √ π
−A1 +A3 = 0
A1 +A3 = 2
3 ·2√π = 4√
π
3

146 Aproximarea funct¸ionalelor liniare
R3(f) = f(6) (ξ)
6!
A1 = A3 = 2√
π
3
A2 = 1√
π
3
∞
−∞
= 8·3! √ π · 1
8 2 · f(6) (ξ)
6! =
Problema 9.5.5 Fie formula de cuadratură de forma
1
−1
f(x)
√ dx =
1−x 2
e −x2h23(t) dt =
82 √
π
4·5·6·8 f(6) (ξ)
n
Aif(xi)+Rn(f), f ∈ C 2n [−1,1].
i=1
1 ◦ Arătat¸i că coeficient¸iiAi s¸i nodurilexi sunt date de
1
Tn(x)
Ai = √
−1 1−x 2 (x−xi)T ′ n
xi = cosθi, θi = (2i−1)
2n
dx,
(xi)
π
, i = 1,n,
2
undeTn este polinomul Cebîs¸ev de spet¸a I de gradn.
2 ◦ Punând pentru1 ≤ i ≤ n,
π
δj =
0
cosjθ−cosjθi
dθ, j = 1,2,...
cosθ−cosθi
arătat¸i căδj+1−2cosθiδj +δj−1 = 0, pentruj = 2,3,...s¸i calculat¸iδk+1.
Deducet¸i că Ai = π,
i = 1,n. n
3 ◦ Arătat¸i că
Solut¸ie.
Rn(f) = π
2 2n−1
f (2n) (ξ)
, ξ ∈ (−1,1).
(2n)!
1 ◦ T¸ inând cont că nodurile formulei vor fi rădăcinile polinomului lui Cebâs¸ev
de spet¸a I, iar coeficient¸ii se obt¸in integrând polinoamele fundamentale, formulele
de la punctul 1 ◦ sunt imediate.

9.5. Formule de cuadratură de tip Gauss 147
2 ◦ Punând x = cosθ avem
π
Ai =
0
cosnθ
cosθ −cosθi
căci cosnθi = 0, i = 1,n. Din relat¸ia
rezultă pentruj ≥ 2 că
T ′ n
1 δn
= ,
(xi) (xi)
T ′ n
cos(j +1)θ+cos(j −1)θ = 2cosθcosjθ
δj+1 +δj−1 = 2
= 2
π
0 π
0
cosθcosjθ−cosθicosjθi
dθ
cosθ−cosθi
cosjθdθ+2cosθiδj
s¸i δ0 = 0 s¸i δ1 = π. Relat¸ia de recurent¸ă δj+1 −2cosθiδj + δj−1 = 0 are
solut¸ia generalăδj = Acosjθi +Bsinjθi; se obt¸ine
s¸i cum
se deduce căAi = π
,i = 1,n. n
3 ◦ Din expresia restului se obt¸ine
Rn(f) = f(2n) (ξ)
(2n)!
δn = πsinnθi
sinθi
T ′ n (xi) = nsinnθi
sinθi
1
−1
T2 n(x)
22n−2√ π
=
1−x 2dx 22n−1 Problema 9.5.6 Deducet¸i o formulă de cuadratură de forma
1
−1
f (2n) (ξ)
.
(2n)!
√ 1−x 2 f(x)dx = A1f(x1)+A2f(x2)+A3f(x3)+R3(f)
Solut¸ie. Formula va fi de tip Gauss; polinoamele ortogonale care dau nodurile
vor fi polinoamele Cebâs¸ev de spet¸a a II-a.
Qn(t) = sin[(n+1)arccost]
√ , t ∈ [−1,1]
1−t 2

148 Aproximarea funct¸ionalelor liniare
Ele au rădăciniletk = cos kπ
, k = 1,n
n+1
În cazul nostru avem
Q3(t) = 8t 3 −4t Q3(t) = 1
8 (8t3 −4t)
Rădăcinile vor fi
t1 = −
√ 2
2 , t0 = 0, t2 =
Pentru coeficient¸i, t¸inând cont că formula are gradul de exactitate2m−1 = 5
obt¸inem sistemul ⎧
⎨ A1 +A2 +A)3 = µ0
unde
1
µ2 =
−1
⎩
Se observă că µ2k+1 =
este impară.
Sistemul are solut¸iile
Restul va fi
A1t1 +A2t2 +A3t3 = µ1
A1t2 1 +A2t2 2 +A3t2 3 = µ2
1
µk =
−1
1
µ0 = π
2 , µ1 =
t 2√ 1−t 2dt = 1
4
t k√ 1−t 2 dt
−1
1
√ 2
2
t √ 1−t 2 dt = 0
(2t)(2t) √ 1−t 2dt = π
8
−1
1
t
−1
2k+1√ 1−t 2dt = 0, deoarece funct¸ia de integrat
A1 = A3 = π
8 , A2 = π
4
Rm(f) = f(2m) (ξ)
(2m)!
= f(2m) (ξ)
(2m)!
1
· 1 π
·
2m 2 =
−1
w(x)u 2 (x)dx =
π
2 m+1 (2m)! f(2m) (ξ)
Am obt¸inut formula
1
f(x)dx = π
√ √
2 2
f − +2f(0)+f
8 2 2
−1
+ π
2 4 6! f(6) (ξ)

9.5. Formule de cuadratură de tip Gauss 149
Problema 9.5.7 Deducet¸i o formulă de tip Cebâs¸ev pe [−1,1] cu w(x) = 1 s¸i cu
3 noduri.
Solut¸ie.
⎧
⎨
⎩
A = 2
3
t1 +t2 +t3 = 0
t2 1 +t2 2 +t2 3 = 1
t3 1 +t32 +t33 = 0
C1 = t1 +t2 +t3
C2 = t1t2 +t1t3 +t2t3
C3 = t1t2t3
C1 = 0
C2 = 1
2 [(t1 +t2 +t3) 2 −(t 2 1 +t22 +t23 )] = −1
2
C3 = 1
6 [(t1+t2+t3) 3 −3(t1+t2+t3)(t 2 1 +t2 2 +t2 3 )+2(t3 1 +t3 2 +t3 3
1
Deoarece
−1
2
3
t 3 −C1t 2 +C2t−C3 = 0
t 3 − 1
2 t = 0, t1
√
2
= −
2 , t2
√
2
= 0, t3 =
2
f(t)dt = 2
√ √
2 2
f − +f(0)+f +R3(f)
3 2 2
R3(f) =
1
−1
K3(t) = 1
(1−t)
6
4
−
4
2
3
3
(ti −t) 3 =
i=1
1
−1
K3(f)f (4) (t)dt
K3(t) = 1
6
3
i=1
(ti −t) 3 +
(x−t) 3 dx = (1−t)4
4
1
)] = (0−0+0) = 0
6
− (1+t)4
4

150 Aproximarea funct¸ionalelor liniare
obt¸inem
K3(t) = 1
6
⎧
⎪⎨
⎪⎩
(1+t) 4
4
(1+t) 4
4
(1−t) 4
4
(1−t) 4
4
√
2 2 − 3
− 2
3
K3 pară, K3 ≥ 0. Pentru rest avem
sau cu corolarul teoremei lui Peano
√2
2 +t
2 −t
3
3
t ∈
t ∈
t ∈
t ∈
−1,− √ 2
2
− √ 2
2 ,0
0, √ 2
2
√
2
2 ,1
R3(f) = f (4) 1
(ξ) K3(t)dt =
−1
1
360 f(4) (ξ),
R3(f) = 1
4! f(4) (ξ)R(e4) = 1
24 f(4) (ξ)
⎧
⎨
⎩
1
−1
x 4 dx− 2
⎡
√
⎣
2
−
3 2
= 1
2 2 1
− · f
24 5 3 2
(4) (ξ) = 1
360 f(4) (ξ).
4
√ ⎤⎫
4
2
⎬
+ ⎦
2 ⎭ =

Capitolul 10
Ecuat¸ii neliniare
10.1 Ecuat¸ii înR
Metoda coardei (a falsei pozit¸ii sau a părt¸ilor proport¸ionale)
Fie ecuat¸iaf(x) = 0 s¸i intervalul[a,b] astfel încâtf(a)f(b) < 0. Presupunem
căf(a) < 0 s¸if(b) > 0.
În loc să înjumătăt¸im intervalul ca la metoda intervalului îl împărt¸im în raportul−
f(a)
. Se obt¸ine pentru rădăcină aproximanta
f(b)
unde
h1 =
x1 = a+h1
(10.1)
−f(a) f(a)
(b−a) = − (b−a). (10.2)
−f(a)+f(b) f(b)−f(a)
Procedând analog pentru intervalul[a,x1] sau [x1,b], la capătul căruia funct¸ia
f are semne opuse, obt¸inem o a doua aproximarex2, s¸.a.m.d.
Interpretare geometrică. Metoda părt¸ilor proport¸ionale este echivalentă cu
înlocuirea lui y = f(x) cu coarda ce trece prin punctele A[a,f(a)] s¸i B[b,f(b)]
(vezi figura 10.1).
Făcând y = 0 se obt¸ine
y −f(a)
f(b)−f(a)
x1 = a−
(10.3) ⇔ (10.1)∧(10.2)
= x−a
b−a
f(a)
(b−a). (10.3)
f(b)−f(a)
151

152 Ecuat¸ii neliniare
f(a)
a
h 1
x 1
ξ
Figura 10.1: Metoda falsei pozit¸ii
Convergent¸a metodei. Presupunem că rădăcina este izolată s¸i căf ′′ are semn
constant pe[a,b].
Presupunem că f ′′ (x) > 0 pe [a,b] (cazul f ′′ (x) < 0 se reduce la precedentul
scriind −f(x) = 0. Curba y = f(x) este convexă s¸i putem avea două situat¸ii:
f(a) > 0 s¸i f(b) > 0 (figura 10.2).
În primul caz capătul este fix iar aproximat¸iile succesive se obt¸in astfel
xn+1 = xn −
x0 = b
s¸irul obt¸inut fiind monoton descrescător s¸i mărginit.
f(xn)
f(xn)−f(a) (xn −a), n = 0,1,2,... (10.4)
a < ξ < ··· < xn+1 < xn < ··· < x1 < x0
Pentru celălalt cazbeste fix s¸i x0 = a
xn+1 = xn −
S¸irul obt¸inut este crescător s¸i mărginit
f(x1)
f(b)−f(x1) (b−xn)
b
f(b)
x0 < x1 < x2 < ··· < xn < xn+1 < ··· < ξ < b

10.1. Ecuat¸ii în R 153
f(a)
a
ξ
x 2
x 1
b=x 0
f(b)
f(a)
a=x 0
Figura 10.2: Convergent¸a metodei falsei pozit¸ii
Pentru a arăta că limita este rădăcină a ecuat¸iei init¸iale se trece la limită în
relat¸ia de recurent¸ă. Pentru delimitarea erorii folosim formula
unde|f ′ (x)| ≤ m1 pentrux ∈ [a,b]
|xn −ξ| ≤ |f(xn)|
m1
f(xn)−f(ξ) = (xn −ξ)f ′ (c), c ∈ (xn,ξ)
|f(xn)−f(ξ)| = |f(xn)| ≥ m1|xn −ξ|
Vom da o delimitare mai bună dacăf este continuă pe[a,b],[a,b] cont¸ine toate
aproximantele s¸if ′ îs¸i păstrează semnul.
Pentru primul caz avem
x 1
0 < m1 ≤ |f ′ (x)| ≤ M1 < ∞
xn = xn−1 −
f(xn−1)
f(xn−1)−f(a) (xn−1 −a)
f(ξ)−f(xn−1) = f(xn−1)−f(a)
(xn −xn−1)
xn−1 −a
Utilizând teorema lui Lagrange avem
(ξ −xn−1)f ′ (ξn−1) = (x−xn−1)f ′ (xn−1)
ξ
x 2
b
f(b)

154 Ecuat¸ii neliniare
xn−1 ∈ (xn−1,ξ),xn−1 ∈ (a,xn−1). Deci
sau
|ξ −xn| = |f′ (xn−1)−f ′ (ξn−1)|
f ′ |xn −xn−1|
(ξn−1)|
Deoarece f ′ are semn constant pe[a,b] s¸ixn−1,ξn−1 ∈ [a,b] obt¸inem
|f ′ (xn−1)−f ′ (ξn−1)| ≤ M1 −m1
Deci
|ξ −xn| ≤ M1 −m1
|xn −xn−1|
m1
Dacă M1 ≤ 2m1 (lucru care se poate întâmpla dacă [a,b] este mic)
|ξ −xn| ≤ |xn −xn−1|
Deci dacă programăm această metodă, putem folosi drept criteriu de oprire
M1 −m1
m1
|xn −xn−1| < ε
|xn −xn−1| < ε
Problema 10.1.1 Determinat¸i o rădăcină pozitivă a ecuat¸iei
cu precizia 0.002.
Solut¸ie.
f(x) = x 3 −0.2x 2 −0.2x−1.2
f(1) = −0.6 < 0, f(2) = 5.6 > 0
ξ ∈ (1,2), f(1.5) = 1.425, ξ ∈ (1,1.5)
x1 = 1+
x2 = 1.15+
0.6
(1.5−1) = 1+0.15 = 1.15
1.425+0.6
f(x1) = −0.173
0.173
(1.5−1.15) = 1.15+0.040 = 1.150
1.425+0.173
f(x2) = −0.036
x3 = 1.150+
0.036
1.425+0.036 (1.5−1.15) = 1.190
f(x3) = −0.0072

10.1. Ecuat¸ii în R 155
f ′ (x) = 2x 2 −0.4x−0.2, x3 < x < 1.5
f ′ (x) ≥ 3.1198 2 −0.4·1.5−0.2 = 3·1.43−0.8 = 3.49
0 < ξ −x3 < 0.0072
≈ 0.002
3.49
ξ = 1.198+0.002θ, θ ∈ (0,1]
Problema 10.1.2 Utilizând metoda lui Newton, calculat¸i o rădăcină negativă a
ecuat¸iei
f(x) ≡ x 4 −3x 2 +75x−10000 = 0
cu 5 zecimale exacte.
Solut¸ie.
Luăm x0 = −11
f(0) = −10000, f(−10) = −1050
f(−100) = 1−8
f(−11) = 3453, f ′ (x) < 0, f ′′ (x) > 0
f(−11) > 0, f ′′ (−11) > 0
xn+1 = xn − f(xn)
f ′ (xn)
x1 = −11− 3453
= −10.3
−5183
x2 = −10.3− 134.3
= −10.3+0.03 = −10.27
−4234
x3 = −10.27− 37.8
= −10.27+0.009 = −10.261
−4196
|x2 −x3| = |0.09|, s¸.a.m.d.
Problema 10.1.3 Fie ecuat¸ia
s¸if ′′ este continuă s¸i îs¸i păstrează semnul pe(−∞,∞).
Arătat¸i că:
a) Ecuat¸ia are cel mult două rădăcini.
b) Să presupunem că
f(x) = 0 (10.5)
f(x0)f ′ (x0) < 0, f(x0)f ′′ (x) < 0

156 Ecuat¸ii neliniare
atunci (1) are o rădăcină unică în (x0,x1). Cum poate fi calculată cu Newton
pornind cu x0.
c) Dacă f ′ (x0) = 0, f(x0)f ′′ (x) < 0, ecuat¸ia are două rădăcini care pot fi
calculate cu Newton s¸i cu aproximantele init¸iale
x1 = x0 − − 2f(x0)
f ′′ (x0)
x ′ 1 = x0 +
− 2f(x0)
f ′′ (x0)
a) Rezultă din teorema lui Rolle.
b)ξ are o solut¸ie unică în(x0,x1) (vezi figura 10.3)
x 0
ξ
y=f(x)
x1 = x0 − f(x0)
f ′ (x0)
Figura 10.3: Cazul b) al problemei 10.1.3
c)f ′ (x0) = 0, f(x0)f ′′ (x) < 0
Ecuat¸ia (10.5) are două rădăcini ξ s¸i ξ ′ în(−∞,∞) (figura 10.4, stânga).
Aproximămf cu Taylor
f(x0)+f ′ (x0)(x−x0)+ 1
2 f′′ (x0)(x−x0) 2 = 0.
x 1

10.1. Ecuat¸ii în R 157
Ecuat¸ia
are două rădăcini
x 0
ξ ξ′
f(x 0 )
ξ x x ′
1
1 ξ′
Figura 10.4: Cazul c) al problemei 10.1.3
f(x0) = 1
2 f′′ (x0)(x−x0) 2
x1 = x0 − − 2f(x0)
f ′′ (x0)
x ′ 1 = x0
+ − 2f(x0)
f ′′ (x0)
care sunt abscisele punctelor de intersect¸ie cu axa Ox ale parabolei (figura 10.4,
dreapta)
Y = f(x0)+ 1
2 f′′ (x0)(x−x0) 2 .
Observat¸ia 10.1.4 Avem de fapt două cazuri de interes date de I s¸i II.
Problema 10.1.5 Determinat¸i o rădăcină a ecuat¸iei
x 3 −x−1 = 0
folosind metoda aproximat¸iilor succesive.

158 Ecuat¸ii neliniare
Solut¸ie.
f(1) = −1 < 0, f(2) = 5 > 0
x−x 3 −1
f(x) = x 3 −1, ϕ ′ (x) = 3x 2
ϕ ′′ (x) ≥ 3 pentrux ∈ [1,2]
dar nu se poate aplica m.a.s.
x = 3√ x+1
ϕ(x) = 3√ x+1, ϕ ′ 1
(x) =
3 3 (x+1) 2
0 < ϕ ′ (x) < 1
3 3√ 1
< = 2 pentru a ≤ x ≤ 2
4 4
metoda aproximat¸iilor succesive are o convergent¸ă rapidă
|xn −x ∗ | ≤ qn
1−q |x1 −x0|
x0 = 1, x1 = 3√ 2
1+ 3
1+ 3√ 2
x2 = 3
1+ 3√ 2, x3 = 3
Problema 10.1.6 Concepet¸i o metodă cu un pas s¸i una cu doi pas¸i pentru a aproxima
√ a,a > 0.
Solut¸ie. Folosim metoda lui Newton
(Metoda lui Heron)
xn+1 = xn − x2 n −a
2xn
f(x) = x 2 −a
= 1
xn +
2
a
xn
f ′ (x) = 2x > 0 pentrux > 0
f ′′ (x) = 2 > 0
f ′ (x) = 0 pe[a,b] ⊂ (0,∞)
f ′′ (x) > 0 pe[a,b]
Orice valoare pozitivă poate fi utilizată ca valoare de pornire.

10.1. Ecuat¸ii în R 159
Observat¸ia 10.1.7 Numărul de zecimale corecte se dublează la fiecare pas, comparativ
cu numărul original de zecimale corecte.
x0 = √ a(1+δ)
x1 = 1
x0 +
2
a
=
x0
1 √ √ −1
a(1+δ)+ a(1+δ)
2
=
= 1
√ √ 2
a(1+δ +1−δ +δ ) = x 1+
2
δ2
2
b) Folosim metoda secantei
xn+1 = xn − (xn −xn−1)f(xn)
f(xn)−f(xn−1) =
= xn − (xn −xn−1)(x 2 n −a)
x 2 n −x2 n−1
= xn − x2 n −a
xn +xn−1
=
= x2 n +xnxn−1 −x 2 n +a
xn +xn−1
x0 > 0
Problema 10.1.8 La fel pentru rădăcina cubică 3√ x.
yn+1 = 1
2yn +
3
x
y2
n
y0 > 0
Problema 10.1.9 Strict aplicabilitatea metodei lui Newton pentru rădăcini multiple.
Solut¸ie. Fiex ∗ o rădăcină multiplă de ordinulm.
Dorim convergent¸ă de ordinul 2.
g(x) = x−m(f ′ (x)) −1 f(x)
g(x ∗ ) = x ∗
Presupunem căf(x ∗ ) = f ′ (x ∗ ) = ··· = f (m−1) (x ∗ ) = 0
f (m) (x ∗ ) = 0

160 Ecuat¸ii neliniare
f(x ∗ +h) = f(n) (x ∗ )h m
m!
(1+O(h))
f ′ (x ∗ +h) = fm (x∗ )hm−1 (1+O(h))
(m−1)!
f(x ∗ +h)
f ′ (x ∗ +h)
s¸i pentru f ′ (x ∗ +h) = 0,
h h
= (1+O(h)) =
m m +O(h2 )
g(x ∗ +h) = x ∗ +h−m
h
m +O(h2
)
g ′ (x ∗ g(x
) = lim
h→0
∗ +h)−g(x ∗ )
h
h−h+mO(h
= lim
h→0
2 )
h
Problema 10.1.10 Deducet¸i formula
=
< 1 convergentă
xi+1 = xi − f(xi)
f ′
1 f(xi)
−
(xi) 2 f ′ 2 ′′ f (xi)
(xi) f(xi)
Solut¸ie. Folosim interpolarea Taylor inversă:
F T m(xi) = xi +
m−1
k=1
(−1) l
k!
[f(xi)] k g (k) (f(xi))
Problema 10.1.11 Stabilit¸i următoarea metodă de aproximare a unei rădăcini
reale a ecuat¸iei f(x) = 0
xk+1 = xk −
f(xk)
[xk−1,xk;f] −
[xk−2,xk−1,xk;f]f(xk−1)f(xk)
[xk−2,xk−1;f][xk−2,xk;f][xk−1,xk;f]
k = 3,4,...
Solut¸ie. Folosim polinomul de interpolare inversă a lui Newton.
g(y) ≈ g(y0)+(y −y0)[y0,y1;g]+(y −y0)(y −y1)[y0,y1,yi;f]
g(0) ≈ g(y0)−y0[y0,y1;g]+y0y1[y0,y1,y2;g] =

10.2. Sisteme neliniare 161
x1 −x0 [y1,y2;g]−[y0,y1;g]
= x0 −f(x0) +f(x0)f(x1) =
f(x1)−f(x0)
x2 −x1
y2 −y0
= x0 − f(x0)
[x0,x1;f] +f(x0)f(x1)
f(x2)−f(x1) −
x1 −x0
f(x1)−f(x0)
=
f(x2)−f(x0)
= x0 − f(x0)
[x0,x1;f] −f(x0)f(x1)
f(x2)−f(x1)
x2 −x1
− f(x1)−f(x0)
x1 −x0
x2 −x0
x2 −x0
·
f(x2)−f(x0) ·
x1 −x0
f(x1)−f(x0) ·
x2 −x1
f(x2)−f(x1) =
= x0 − f(x0) [x0,x1,x2;f]f(x1)f(x2)
−
[x0,x1;f] [x1,x2;f][x0,x2;f][x0,x1;f]
10.2 Sisteme neliniare
Problema 10.2.1 Utilizat¸i metoda aproximat¸iilor succesive pentru a aproxima
solut¸ia sistemului
2 x1 +x2 2 = 1
(10.6)
x 3 1 −x2 = 0
Solut¸ie. Interpretarea geometrică apare în figura 10.5.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1 −0.5 0 0.5 1
Figura 10.5: Interpretarea geometrică a sistemului (10.6)
·

162 Ecuat¸ii neliniare
x (0)
2 0.9 x1 +x
= f(x) =
0.5
2 2 −1
x3
1 −x2
f ′
2x1 2x2
(x) =
3x2
f
1 −1
′ (x 0
1.8 1
) =
2.43 −1
detf ′ (x 0 ) = 0 = −4.23
[f ′ (x 0 )] −1 = − 1
−1 −1
4.23 −2.43 1.8
Λ = −[f ′ (x 0 )] −1 = 1
4.23
−1 −1
−2.43 1.8
x1
ϕ(x) = x+Λf(x) = −
x2
1
2 1 1 x1 +x
4.23 2.43 −1.8
2 2 −1
x3 1 −x2
x (1)
x
=
(0)
1
x (0)
−
2
1
2 2 1 1 0.9 +0.5 −1
4.23 2.43 −1.8 0.93
0.8317
=
−0.5 0.5630
x (2)
0.8317
= −
0.5630
1
2 2 1 1 0.8317 +0.5630 −1
4.23 2.43 −1.8 0.83172
0.8265
=
−0.5630 0.5633
x (3)
0.8261
= , x
0.5361
(4)
0.8261
=
0.5636
x (4) −x (3) < 10 −4 .
Observat¸ia 10.2.2 În locul procesului Picard-Banach pentru sisteme neliniare
este uneori convenabil să se utilizeze un proces Seidel.
xn+1 = ϕ1(xn,yn)
xn+2 = ϕ2(xn+1,yn) .
Problema 10.2.3 Aproximat¸i solut¸ia sistemului
F(x,y) = 2x 3 −y 2 −1 = 0
G(x,y) = xy 3 −y −4 = 0
folosind metoda lui Newton.

10.2. Sisteme neliniare 163
Solut¸ie. F(x,y) = 0
G(x,y) = 0
x = xn +hn
F,g ∈ C 1
y = yn +kn
F(xn +hn,yn +kn) = 0
G(xn +hn,yn +kn) = 0
Utilizând formula lui Taylor se obt¸ine
F(xn,yn)+hnF ′ x (xn,yn)+knF ′ (xn,yn) = 0
G(xn,yn)+hnG ′ x (xn,yn)+knG ′ (xn,yn) = 0
Dacă jacobianul
J(xn,yn) =
obt¸inem
F′ x (xn,yn) F ′ y (xn,yn)
G ′ x(xn,yn) G ′ y(xn,yn)
= 0
1
hn = −
J(xn,yn) F(xn,yn) F ′ y (xn,yn)
G(xn,yn) G ′ y (xn,yn)
1
kn = −
J(xn,yn) F′ x (xn,yn) F(xn,yn)
G ′
x(xn,yn) G(xn,yn)
x0 = 1.2, y0 = 1.7
F(x0,y0) = −0.434
G(x0,y0) = 0.1956
J(x,y) =
6x2
−2y
=
8.64 −3.40
4.91 5.40 = 57.91
y 3 3xy 2 −1
h0 = 0.6349
k0 = −0.0390

Capitolul 11
Rezolvarea numerică ecuat¸iilor
diferent¸iale
Problema 11.0.4 Aproximat¸i solut¸ia problemei Cauchy
y ′ = −y +x−1, x ∈ [0,1], y(0) = 1
pentruN = 10, h = 0.1, xi = 0.1i folosind metoda lui Euler.
Solut¸ie.
Solut¸ia exactă este
y ′ = −y +x+1, x ∈ [0,1], y(0) = 1
y0 = α
yi+1 = yi +hf(xi,yi)
τ = h2
2 y′′ (ξi)
y(x) = x+e −x
y0 = 1
yi = yi−1 +h(−yi−1 +xi−1 +1) =
= yi−1 +0·1(−yi−1 +0.1(i−1)+1) =
= 0.9yi−1 +0.01(i−1)+0.1 = 0.9yi−1 +0.01i+0.09
Calculele sunt date în următorul tabel
xi yi y(xi) |yi −y(xi)|
0.0 1.000000 1.000000 0
0.1 1.000000 1.004837 0.004837
0.2 1.01 1.018731 0.008731
0.3 1.029 1.040818 0.011818
0.4 1.0561 1.070320 0.014220
164

165
Să aplicăm acum pentru aceeas¸i problemă metoda Runge-Kutta de ordinul IV.
y0 = α = y(a)
k1 = hf(xi,yi)
k2 = kf xi + h
2 ,yi + 1
2 k1
k3 = hf xi + h
2 ,yi + 1
2 k2
k4 = hf(xi +h,yi +k3), τ ∈ O(h 4 )
yi+1 = yi + 1
6 (k1 +2k2 +2k3 +k4)
xi val.exactă yi eu
0 1.0 1.0 0
0.1 1.0048374180 1.0048375000 8.1·15 −8
0.2 1.0187307531 1.0187309014 1.483·10 −7
0.3 1.0408
Problema 11.0.5 Aproximat¸i solut¸ia ecuat¸iei
y ′ = −y +1
y(0) = 0
folosind:
a) metoda Euler cu h = 0.025;
b) metoda Euler modificată cu h = 0.05;
c) metoda Runge-Kutta cu h = 0.1.
Comparat¸i rezultatele celor 3 metode în punctele 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 între
ele s¸i cu valoarea exactă.
Solut¸ie. y0 = α
yi+1 = yi + h
2 [f(xi,yi)+f(xi+1,yi +hf(xi,yi))]
x Euler Euler mod. RK4 val.exactă
0.1 0.096312 0.095123 0.0951620 0.095162582
0.2 0.183348 0.181198 0.18126910 0.181269247
0.3 0.262001 0.259085 0.25918158 0.259181779
0.4 0.333079 0.329563 0.32967971 0.329679954
0.5 0.397312 0.393337 0.39346906 0.393469340
Problema 11.0.6 Deducet¸i metode predictor corector de tip Adams de ordinul
2,3,4.

166 Rezolvarea numerică ecuat¸iilor diferent¸iale
Solut¸ie. Predictorul cu m pas¸i se generează astfel:
xi+1
xi
(−1) k
y(xi+1) = y(xi)+
f(x,y(x))dx =
+ hm+1
m!
1
0
m−1
k=0
xi+1
xi
f(x,y(x))dx
∇ k f(xi,y(xi))h(−1) k
1
0
−s
s(s+1)...(s+m−1)f (m) (ξi,y(ξi))ds
k 0
s
ds 1
0 k
1
1
2
2
5
12
3
3
8
4
251
720
5
95
288
y(xi+1) = y(xi)+h f(xi,y(xi))+ 1
2 ∇f(xi,y(xi)+
1
Pentru m = 2 obt¸inem
+ 5
12 ∇2 f(xi,y(xi))+ 3
8 ∇3 f(xi,y(xi))+...
+h m+1 f (m) (µi,y(µi))(−1) m
1
y(xi+1) ≈ y(xi)+h
0
−s
ds
m
+
f(xi,y(xi))+ 1
2 ∇f(xi,y(xi))
=
k
ds+
= y(xi)+h f(xi,y(xi))+ 1
2 (f(xi,y(xi))−f(xi−1,y(xi−1)))
=
= y(xi)+ h
2 [3f(xi,y(xi))−f(xi−1,y(xi−1))]
h 3 f ′′ (µi,y(µi))(−1) 2
1
y0 = α, y1 = α1
yi+1 = yi + h
2 [3f(xi,yi)−f(xi−1,yi−1)]
−s
2
τi+1 = y(xi+1)−y(xi)
h
0
f ′′ (µi,y(µi)) = y (3) (µi)
ds = 5
12 h3 f ′′ (µi,y(µi))
− 1
2 [3f(xi,yi)−f(xi−1,yi−1)] =

= 1
5
h 12 h3f ′′
(µi,y(µi)) = 5
12 h2y ′′′ (µi,y(µi))
167
Pentru m = 3 avem
y(xi+1) ≈ y(xi)+h f(xi,y(xi))+ 1 5
∇f(xi,y(xi))+
2 12 ∇2
f(xi,y(xi)) =
= y(xi)+h{f(xi,yi)+ 1
2 [f(xi,y(xi))−f(xi−1,y(xi−1))]+
+ 5
12 [f(xi,y(xi))−2f(xi−1,y(xi−1))+f(xi−2,y(xi−2))]} =
= y(xi)+ 4
12 [23f(xi,yi)−16f(xi−1,y(xi−1))+5f(xi−2,yi−2)]
y0 = α, y1 = α1, y2 = α2
yi+1 = yi + h
12 [23f(xi,yi)−16f(xi−1,yi−1)+5f(xi−2,yi−2)]
h4f (3) (µi,y(µi))(−1) 3
1
0
f (3) (µi,y(µi)) = y (4) (µi)
τi+1 = y(xi+1)−y(xi)
4
−s
3
ds = 3h4
8 f(3) (µi,y(µi))
− 1
12 [23f(xi,y(xi))−hf(xi−1,y(xi−1))+
+5f(xi−2,y(xi−2))] = 1
4 3h
4 8 f(3) (µi,y(µi))
Pentru m = 4 obt¸inem
y(xi+1) = y(xi)+h
yi+1 = yi +h
= 3h3
8 y(4) (µi)
f(xi,yi)+ 1
2 ∇f(xi,y(xi))+
+ 5
12 ∇2f(xi,y(xi))+ 3
8 ∇3
f(xi,y(xi)) +
+h 5 f (4) (µi,y(µi))(−1) 4
1
0
−s
ds
4
f(xi,yi)+ 1
2 [f(xi,yi)−f(xi−1,yi−1)]+
+ 5
12 [f(xi,yi)−2f(xi−1,yi−1)+f(xi−2,yi−2)]+
+ 3
8 [f(xi,yi)−3f(xi−1,yi−1)+3f(xi−2,yi−2)−f(xi−3,yi−3)] =

168 Rezolvarea numerică ecuat¸iilor diferent¸iale
= yi + h
24 [55f(xi,yi)−55f(xi−1,yi−1)+37f(xi−2,yi−2)−9f(xi−3,yi−3)]
h 5 f (4) (µi,y(µi))(−1) 4
1
−s
ds =
4
251
720 f(4) (µi,y(µi))
0
τi+1 = 251
720 f(4) y (5) (µi)
Observat¸ia 11.0.7 Am integrat polinomul lui Newton cu diferent¸e regresive cu
nodurile
(xi,y(xi)),(xi−1,y(xi−1)),...,(xi+1−n,y(xi+1−m))
pentrumpas¸i.
Pentru corectorul cumpas¸i vom folosi formula lui Newton cu diferent¸e regresive
(xi+1,f(xi+1)),(xi,f(xi)),...,(xi−m+1,f(xi−m+1))
Pm(x) =
1
dk =
0
yi+1 = yi +h
= yi +4
m
s+k −2
∇
k
k f(xi+1,y(xi+1))
k=0
yi+1 = yi +h
s+k −2
k
m
dk∇ k f(xi+1,y(xi+1))
k=0
ds = (−1) k
1
d0 = 1, d1 = − 1
2 , d2 = − 1
12
d3 = − 1
24 , d4 = − 19
720
s = x−xi
4
x = xi +sh−m ≤ s ≤ 0
xi+1 = xi +h−m+1 ≤ s ≤ 1
f(xi+1,yi+1− 1
2
m = 2
0
−s+1
k
ds
∇f(xi+1,yi+1)− 1
12 ∇2 f(xi+1,yi+1)
f(xi+1,yi+1)− 1
2 [f(xi+1,yi+1)−f(xi,yi)]−
=

− 1
12 [f(xi+1,yi+1)−2f(xi,yi)+f(xi−1,yi−1)]
=
= yi + 4
12 [5f(xi+1,yi+1)+8f(xi,yi)−f(xi−1,yi−1)]
τi+1 = y(xi+1)−y(xi)
h
= h4
3!
f (3) (µi,y(µi))
(−1)
3!
3
yi+1 = yi +h
− 1
= yi +h
− 1
12 [5f(xi+1,yi+1)+8f(xi,yi)−f(xi−1,yi−1)] =
1
0
(−s+1)(−s)(−s−1)ds = − 1
24 h4 y (IV) (µi)
m = 4
f(xi+1,yi+1)− 1
2 ∇f(xi+1,yi+1)−
12 ∇2f(xi+1,yi+1)− 1
24 ∇3f(xi+1,yi+1)
f(xi+1,yi+1)− 1
2 [f(xi+1,yi+1)−f(xi,yi)]−
− 1
12 [f(xi+1,yi+1)−2f(xi,yi)+f(xi−1,yi−1)]−
− 1
24 [f(xi+1,yi+1)−3f(xi,yi)+3f(xi−1,yi−1)−f(xi−2,yi−2)]
= yi + h
24 [9f(xi+1,yi+1)+19f(xi,yi)−5f(xi−1,yi−1)+f(xi−2,yi−2)]
τi+1 = − 19
720 y(5) (µi)h 4
Problema 11.0.8 Deducet¸i următoarea formulă predictor-corector
y (0)
i+1 = yi−3 + 4h
3 [2f(xi,yi)−f(xi−1,yi−1)+2f(xi−2,yi−2)]
y (c)
τi+1 = 14
45 h4 y (5) (ξi), ξi ∈ (ti−1,ti+1) (Milne)
i+1 = yi−1 + h
3
[f(xi+1,y (p)
i+1 )+4f(xi,yi)+f(xi−1,yi−1)]
τi+1 = − h4
90 y(5) (ξi), ξi ∈ (ti−1,ti+1) (Simpson)
=
=
169

170 Rezolvarea numerică ecuat¸iilor diferent¸iale
Solut¸ie. Corectorul
y(xi+1)−y(xi−1) =
xi+1
xi−1
f(t,y(t))dt ≃
≃ h
3 [f(xi+1,yi+1)+4f(xi,yi)+f(xi−1,yi−1)]
τi+1 = − (b−a)5
2880 f(IV) (ξi,y(ξi)) = − 32h5
2880 y5 (ξi) = − h5
90 y(5) (ξi)
Predictorul
= h
3
y(xi+1)−y(xi−3) =
xi+1
xi−3
f(t,y(t))dt =
xi+1 −xi−3
[2f(xi−2,yi−2)−f(xi−1,yi−1)+2f(xi−2,yi−2)] =
4
= 4h
3 [2f(xi−2,yi−2)−4f(xi−1,yi−1)+2f(xi−2,yi−2)]
τi+1 = 14h5
45 y(5) (ξi)
Observat¸ia 11.0.9 Pentru predictor s-a folosit formula Newton-Cotes deschisă
de ordinul II, iar pentru corector formula Newton-Cotes închisă de ordinul II
(Simpson).