Seminar categorii

Intrucat det(f(A)) =
σ∈Sn sgn(σ)f(a1σ(1)...anσ(n))
= f(
σ∈Sn sgn(σ)a1σ(1)...anσ(n)) = f(det(A)) si morfismele de inele unitale pastreaza
elementele inversabile, deducem ca GLn(f) este bine definit, dar si ca este comutativa
diagrama
detR
GLn(R) −→ U(R)
↓ GLn(f) U(f) ↓
GLn(R ′ ) −→ U(R
detR ′
′ )
unde detR : GLn(R) −→ U(R) asociaza chiar determinantul (si analog pentru R ′ ).
Asadar det : GLn −→ U : CRng 1 −→ Grp este o transformare naturala.
21 Echivalente de categorii
1. Aratati ca daca F : C −→ C este natural izomorf cu 1C atunci F este o echivalenta,
dar reciproca nu are loc. [Hint: un izomorfism F : A −→ A nu este neaparat natural
izomorf cu 1A (vezi ex. 3, sectiunea precedenta).
22 Intrebari admitere PhD (1972, Bucuresti)
1) Fie F : Ens 0 −→ Ens functor definit prin F(M) = P(M), F(f) = f −1 (ca functor de
submultimi) si G : Ens −→ Ens functor definit prin G(M) = P(M), G(f) = f (indus).
Care dintre ei este reprezentabil si care nu (de ce)?
Raspuns: Trebuie un obiect Ω si izomorfisme naturale α : F −→ HΩ adica bijectii
αM : P(M) −→ Hom(M,Ω).
Merge cu Ω = {0,1} si atunci unui M ′ ⊆ M ii corespunde functia caracteristica χM ′
:
′ 1 daca x ∈ M
0 daca x ∈ M \M ′ . Pentru reprezentabilitatea lui G trebuie bijectii P(M) −→
Hom(X,M) adica existenta unei multimi X pt care 2 |M| = |M| |X| . Nu exista: daca
|M| = 1 avem 2 = 1.
2) Fie C o subcategorie plina a lui Ens si I : C −→Ens incluziunea (deci functor
deplin fidel). Daca I are un adjunct (la stanga) F : Ens −→C atunci avem (i) sau (ii)
unde:
(i) I este echivalenta;
(ii) C are doar 2 obiecte si un morfism ∅ −→ {∗}.
Hint. C reflectiva.
3) Un functor F : Ens −→ Ens care are adjunct la stanga si la dreapta coincide cu
identitatea.
...
4) Orice functor F : Ens −→C pastreaza mono si epi.
27